考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2017年1月T202018年1月T112019年1月T202020年1月T15
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
正弦定理的应用
[基础知识填充]
正弦定理及其变式
(1)正弦定理：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)
(2)正弦定理的变式：sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c.
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海市学考模拟)在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin
A∶sin
B的值是( )
A．
B．
C．
D．
2．(2019·肇庆高一月考)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
3．(2019·江门市学考模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
4．(2018·肇庆市高二检测)在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是( )
A．
B．
C．
D．
5．(2018·深圳市高二月考)已知△ABC的三边分别为a，b，c，满足acos
A＝bcos
B，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
6．(2019·广州市学考模拟)在△ABC中，若BC＝，sin
C＝2sin
A，则AB＝
.
余弦定理的应用
[基础知识填充]
1．余弦定理及推论
(1)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
(2)推论：cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝.
特别关注：转化化归思想的应用(即边化角及角化边)．
2．三角形的面积公式
S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A．
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，c＝，则C＝( )
A．
B．
C．
D．
2．(2020·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝( )
A．2
B．
C．2
D．
正、余弦定理的应用原则
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
[最新模拟快练]
1．(2019·韶关市学考模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．(2020·广东学考模拟)在△ABC中，已知a＝5，b＝5.C＝30°，则角C的对边c的长为( )
A．5
B．5
C．5
D．5
3．(2019·中山市学考模拟)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．(2019·珠海市学考模拟)在△ABC中，(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝
.
5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，B＝135°，S△ABC＝4，则b＝
.
6．(2019·东莞高一月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值是
．
正余弦定理和三角函数的综合应用
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos
A＝，bc＝5.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，则a的值．
2．(2017·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若a＝2，c＝3，求sin
C的值．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin
C的值．
2．(2019·惠州市学考模拟)
在△ABC中，若c·cos
B＝b·cos
C，且cos
A＝，求sin
B的值．
3．(2019·揭阳市学考模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos
B＝3，bsin
A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2017年1月T202018年1月T112019年1月T202020年1月T15
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在解三角形中的应用，难点是综合应用正、余弦定理解三角形，学习本章时，要注意把三角恒等变换与正、余弦定理结合起来，同时注意应用三角形的性质解决问题.
正弦定理的应用
[基础知识填充]
正弦定理及其变式
(1)正弦定理：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)
(2)正弦定理的变式：sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c.
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海市学考模拟)在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin
A∶sin
B的值是( )
A．
B．
C．
D．
A [＝＝.]
2．(2019·肇庆高一月考)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
B [由正弦定理可知＝，∴sin
B＝＝＝，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.]
3．(2019·江门市学考模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
C [由＝得sin
A＝＝＝，∵0°
又∵a＜b，∴A＜B，∴A＝45°.]
4．(2018·肇庆市高二检测)在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是( )
A．
B．
C．
D．
A [由正弦定理得＝＝.]
5．(2018·深圳市高二月考)已知△ABC的三边分别为a，b，c，满足acos
A＝bcos
B，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
C [因为acos
A＝bcos
B，所以由正弦定理得：
sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，即sin
2A＝sin
2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，因此选C．]
6．(2019·广州市学考模拟)在△ABC中，若BC＝，sin
C＝2sin
A，则AB＝
.
2 [由正弦定理得：AB＝BC＝2BC＝2.]
余弦定理的应用
[基础知识填充]
1．余弦定理及推论
(1)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
(2)推论：cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝.
特别关注：转化化归思想的应用(即边化角及角化边)．
2．三角形的面积公式
S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A．
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，c＝，则C＝( )
A．
B．
C．
D．
A [由余弦定理，得cos
C＝＝＝－，又∵02．(2020·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝( )
A．2
B．
C．2
D．
B [由S△ABC＝bcsinA＝c＝2，
得c＝，
a2＝16＋2－2×4×cos＝18－8＝10，
故a＝，故选B．]
正、余弦定理的应用原则
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
[最新模拟快练]
1．(2019·韶关市学考模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C [∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos
A＝＝＝，
又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.]
2．(2020·广东学考模拟)在△ABC中，已知a＝5，b＝5.C＝30°，则角C的对边c的长为( )
A．5
B．5
C．5
D．5
D [a＝5，b＝5.C＝30°，
由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC．
可得：c2＝25＋75－25cos30°×2＝25.
∴c＝5.故选D．]
3．(2019·中山市学考模拟)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos
C，
可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．]
4．(2019·珠海市学考模拟)在△ABC中，(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝
.
[∵(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即a2＝b2＋c2＋bc，①
又在△ABC中，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，②
由①②得：cos
A＝－，又A∈(0，π)，∴A＝.]
5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，B＝135°，S△ABC＝4，则b＝
.
2 [由题知，4＝S△ABC＝acsin
B＝×2c×，解得c＝4，
∴b2＝a2＋c2－2accos
B＝22＋(4)2－2×2×4×＝52，所以b＝2.]
6．(2019·东莞高一月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值是
．
[bccos
A＋accos
B＋abcos
C＝＋＋＝＝(32＋42＋62)＝.]
正余弦定理和三角函数的综合应用
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos
A＝，bc＝5.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，则a的值．
[解] (1)cos
A＝，sin
A＝，S△ABC＝bcsin
A＝×5×＝2.
(2)∵a2＝b2＋c2－2bccos
A＝b2＋c2－2×5×＝b2＋c2－6＝(b＋c)2－2bc－6＝62－2×5－6＝20.
∴a＝2.
2．(2017·1月广东学考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若a＝2，c＝3，求sin
C的值．
[解] (1)证明：∵＝，由正弦定理得，＝，即tan
A＝tan
B，
又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知A＝B，∴a＝b＝2，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即32＝22＋22－2×2×2cos
C?cos
C＝－.
又∵C∈(0，π)，∴sin
C＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))))＝.
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin
C的值．
[解] (1)∵b2＝a2＋c2－2accos
B＝4＋25－2×2×5×＝17，∴b＝.
(2)∵cos
B＝，∴sin
B＝，由正弦定理＝，得＝，∴sin
C＝.
2．(2019·惠州市学考模拟)
在△ABC中，若c·cos
B＝b·cos
C，且cos
A＝，求sin
B的值．
[解] 由c·cos
B＝b·cos
C，结合正弦定理得，
sin
Ccos
B＝sin
Bcos
C，
故sin(B－C)＝0，∵0＜B＜π，0＜C＜π，
∴－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.
∵cos
A＝，∴由余弦定理得3a2＝2b2，
再由余弦定理得cos
B＝，又0°故sin
B＝.
3．(2019·揭阳市学考模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos
B＝3，bsin
A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知：acos
B＝3，bsin
A＝4，∴＝，即·＝.①
由正弦定理知＝代入①式得：·＝，∴sin
B＝cosB．
由acos
B＝3＞0知：B为锐角．
根据sin2B＋cos2B＝1，
得＋cos2B＝1，
∴cos
B＝，∴sin
B＝，
∴a＝＝5.
(2)设△ABC底边BC上的高为h，则h＝csin
B，
∴△ABC面积：S＝·BC·h＝·a·csin
B，
∴acsin
B＝10，∴c＝＝5.
根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B＝52＋52－2×5×5×＝20，
∴b＝2，∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝10＋2.