标准示范卷(五)
(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝( )
A．(3,1)
B．(－3,7)
C．(3，－7)
D．(1，－1)
2．等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝( )
A．7
B．8
C．9
D．10
3．已知集合P＝{y|y＝x2＋2x－1，x∈N}，Q＝{y|y＝－x2＋2x－1，x∈N}，则( )
A．P∩Q＝?
B．P∩Q＝{－1}
C．P∩Q＝{0}
D．P∩Q＝N
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x
B．y＝cos
x
C．y＝x
D．y＝－x2
5．若cos
x＝－，且x＋sin
x的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
6．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )
A．8
B．4
C．2
D．1
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin
C＝1，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3
B．3∶2∶1
C．2∶∶1
D．1∶∶2
11．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．
C．
D．
12．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么数列{an}的前7项和S7＝( )
A．22
B．24
C．26
D．28
13．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
14．若正方形ABCD的边长为1，则·等于( )
A．
B．1
C．
D．2
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4
B．
C．3
D．
16．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为( )
A．6
B．4
C．2
D．8
二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)
17．设复数z满足＝i，则|z|等于 .
18．设f(x)＝，则f(f(2))的值为 .
19．计算：log21＋log24＝ .
20.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为 .
21．已知空间直角坐标系中，A是x轴上的一点，点B(－1,1,0)，且|AB|＝，则点A的坐标是 .
三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
22．(本小题满分20分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．
(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．
23．(本小题满分20分)如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M.
(1)求证：PC∥平面EBD；
(2)求证：
BE⊥平面AED．标准示范卷(五)
(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝( )
A．(3,1)
B．(－3,7)
C．(3，－7)
D．(1，－1)
B [a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]
2．等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝( )
A．7
B．8
C．9
D．10
D [公差为d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.]
3．已知集合P＝{y|y＝x2＋2x－1，x∈N}，Q＝{y|y＝－x2＋2x－1，x∈N}，则( )
A．P∩Q＝?
B．P∩Q＝{－1}
C．P∩Q＝{0}
D．P∩Q＝N
B [由x2＋2x－1＝－x2＋2x－1得x＝0，∵当x＝0时，x2＋2x－1＝－x2＋2x－1＝－1，∴P∩Q＝{－1}，故选B．]
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－x
B．y＝cos
x
C．y＝x
D．y＝－x2
D [函数y＝－x是奇函数，y＝cos
x在(0，＋∞)上不具有单调性，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x2在(0，＋∞)上单调递减，故选D．]
5．若cos
x＝－，且x＋sin
x的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
B [由题意，知cos
x＝－，且所以sin
x＝＝，则tan
x＝＝－，
所以tan
x＋sin
x＝－＋＝－．]
6．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
B [如图，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．
∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°，故选B．]
7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
A [如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，
∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]
8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )
A．8
B．4
C．2
D．1
C [这组数据的平均数＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，
s2＝[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s＝2.]
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
A [e＝，即c＝a，a＝b，渐近线方程为－＝0，即y＝±x，
因为左顶点到一条渐近线的距离为＝，
解得a＝2，b＝2，
即该双曲线的标准方程为－＝1，故选A．]
10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin
C＝1，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3
B．3∶2∶1
C．2∶∶1
D．1∶∶2
D [在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin
C＝1，
可得A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∴a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝∶∶1＝1∶∶2.]
11．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．
C．
D．
A [∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴－＝－2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，
则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.]
12．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么数列{an}的前7项和S7＝( )
A．22
B．24
C．26
D．28
D [∵等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，解得a4＝4，
∴S7＝＝＝7a4＝28.]
13．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
C [在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，
联立解得即A(3,2)．
将z＝x＋2y变为y＝－＋，作直线y＝－.
由图可知，当直线l移动到点A(3,2)时，z有最大值，此时zmax＝3＋2×2＝7，故zmax＝7.]
14．若正方形ABCD的边长为1，则·等于( )
A．
B．1
C．
D．2
B [因为正方形ABCD的边长为1，所以·＝||||cos〈，〉＝×1×＝1.]
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4
B．
C．3
D．
D [cos
C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.]
16．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为( )
A．6
B．4
C．2
D．8
B [∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.]
二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)
17．设复数z满足＝i，则|z|等于 .
1 [1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1.]
18．设f(x)＝，则f(f(2))的值为 .
2 [f(f(2))＝f(log3(22－1))＝f(1)＝2e1－1＝2.]
19．计算：log21＋log24＝ .
2 [原式＝log21＋log222＝log21＋2log22＝0＋2×1＝2.]
20.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为 .
4 [圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．]
21．已知空间直角坐标系中，A是x轴上的一点，点B(－1,1,0)，且|AB|＝，则点A的坐标是 .
(1,0,0)或(－3,0,0) [设A(x,0,0)，因B点坐标为(－1,1,0)，
则|AB|＝＝，
解得x＝1或x＝－3.]
三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
22．(本小题满分20分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．
(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．
[解] (1)抽取的5人中男同学的人数为5×＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．
(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.
从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．
用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，
所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝＝.
23．(本小题满分20分)如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M.
(1)求证：PC∥平面EBD；
(2)求证：
BE⊥平面AED．
[证明] (1)连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴M为AC的中点．
∵E是PA的中点，
∴EM是三角形PAC的中位线，
∴EM∥PC．
∵EM?平面EBD，PC?平面EBD，
∴
PC∥平面EBD．
(2)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，
∴AD⊥BE.
又∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，
∴BE⊥AE,
又AE∩AD＝A，∴BE⊥平面AED．
