标准示范卷(一)
(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于( )
A．－1
B．0
C．2
D．4
2．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝x－2
D．y＝ln
x
3．复数z＝＋2＋i的虚部是( )
A．3
B．2
C．2i
D．3i
4．“sin
A＝”是“A＝30°”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
6．若点A(2,2)在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．
B．
C．2
D．
7．已知a＝(－2,2)，b＝(x，－3)，若a⊥b，则x的值为( )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
8．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cos
x与y＝－cos
x的图象之间的关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于直线y＝－x对称
9．三个数a＝0.62，b＝log20.6，c＝20.6之间的大小关系是( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
10．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于( )
A．n
B．n＋1
C．2n－1
D．2n＋1
11．已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y＋1的最小值是( )
A．－14
B．1
C．－5
D．－9
12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
13．当x>4时，不等式x＋≥m恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥8
B．m>8
C．m≤8
D．m<8
14．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )
A．84,4.84
B．84,1.6
C．85,4
D．85,1.6
16．设x0是方程ln
x＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)
17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为 .
18．函数f(x)＝－cos2的单调递增区间是 .
19．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .
20．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .
21．lg＋lg的值是 .
三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
22．(本小题满分20分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asin
Bcos
A－bsin
A＝0，
(1)求A；
(2)当sin
B＋sin取得最大值时，试判断△ABC的形状．
23．(本小题满分20分)如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点．求证：
(1)PB∥平面EAC；
(2)平面PDC⊥平面PAD．标准示范卷(一)
(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)
一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于( )
A．－1
B．0
C．2
D．4
C [∵A∩B＝A，∴A?B．∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，∴m＝2．]
2．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝x－2
D．y＝ln
x
D [函数y＝的定义域是(0，＋∞)，A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是{x|x≠0}，D中的定义域是(0，＋∞)，故选D．]
3．复数z＝＋2＋i的虚部是( )
A．3
B．2
C．2i
D．3i
B [依题意z＝＋2＋i＝1＋i＋2＋i＝3＋2i，故虚部为2，所以选B．]
4．“sin
A＝”是“A＝30°”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为sin
30°＝，所以“sin
A＝”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是，故“sin
A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故“sin
A＝”是“A＝30°”的必要不充分条件．]
5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
C [因为k＝tan
α＝－，α∈[0，π)，所以α＝.]
6．若点A(2,2)在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．
B．
C．2
D．
C [将A坐标代入抛物线方程得(2)2＝2p·2，p＝2，故焦点坐标F(1,0)，直线AF的斜率为＝2，故选C．]
7．已知a＝(－2,2)，b＝(x，－3)，若a⊥b，则x的值为( )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
D [a·b＝－2x－6＝0，解得x＝－3.]
8．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cos
x与y＝－cos
x的图象之间的关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于直线y＝－x对称
A [由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x轴对称，故选A．]
9．三个数a＝0.62，b＝log20.6，c＝20.6之间的大小关系是( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
C [易知0
1，故c>a>b.]
10．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于( )
A．n
B．n＋1
C．2n－1
D．2n＋1
B [S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝35，故a4＝5，又a＝a1a7，即(5－d)2＝(5－3d)(5＋3d)，即d＝1，故an＝a4＋(n－4)d＝n＋1.]
11．已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y＋1的最小值是( )
A．－14
B．1
C．－5
D．－9
A [作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z＝2x＋4y＋1可得y＝－x＋－，则－表示直线y＝－x＋－在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y＝－x＋－经过点A时，z最小，由，可得A，此时z＝－2×－4×＋1＝－14，故选A．]
12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C [r2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.]
13．当x>4时，不等式x＋≥m恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥8
B．m>8
C．m≤8
D．m<8
C [x＋＝＋4≥2＋4＝8，故m≤8.]
14．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
A [f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝－f(1)＝－2.]
15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )
A．84,4.84
B．84,1.6
C．85,4
D．85,1.6
D [平均数＝＝85，方差为[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]
16．设x0是方程ln
x＋x＝4的解，则x0属于区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
C [令f(x)＝lnx＋x－4，
则f(1)＝0＋1－4<0，
f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，
f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，
所以x0属于区间(2,3)，故选C．]
二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)
17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为 .
2 [由于双曲线的一条渐近线为y＝x，故＝.所以双曲线离心率e＝＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))＝2.]
18．函数f(x)＝－cos2的单调递增区间是 .
(k∈Z) [f(x)＝－cos2＝－＝－sin
2x，即求sin
2x的单调递减区间．
∵2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．]
19．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .
[基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P＝＝.]
20．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .
[不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，b)，
则l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.
由＝×2b，得3c2＝b2.
又b2＝a2－c2，所以a＝2c，故e＝.]
21．lg＋lg的值是 .
1 [lg＋lg＝lg＝1.]
三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
22．(本小题满分20分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asin
Bcos
A－bsin
A＝0，
(1)求A；
(2)当sin
B＋sin取得最大值时，试判断△ABC的形状．
[解] (1)由正弦定理＝得asin
B＝bsin
A≠0，
又2asin
Bcos
A－bsin
A＝0，∴2cos
A＝1，
即cos
A＝，∵0(2)∵A＝，∴B＝－C，
∴sin＋sin＝cos
C＋sin
C＋＝2sin
C，
∵0∴△ABC是直角三角形．
23．(本小题满分20分)如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点．求证：
(1)PB∥平面EAC；
(2)平面PDC⊥平面PAD．
[证明] (1)连接BD交AC于O，连接EO，则EO是△PBD的中位线，∴EO∥PB．又PB?平面EAC，EO?平面EAC，∴PB∥平面EAC．
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
而PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
又CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．