人教版数学九年级上册：24.1.2 垂直于弦的直径 教案

24．1.2　垂直于弦的直径
学习目标：
1．进一步认识圆是轴对称图形．
2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．
3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程：
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？
二、基础知识
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵是⊙的直径
又∵
∴
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧
符号语言：∵是⊙的直径
又∵
∴
三、合作探究
探究点一：垂径定理
【类型一】垂径定理的理解
如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　)
A．2cm
　　　　B．3cm
C．4cm
　　　　D．4cm
变式1.如图，在⊙中，弦的长为8，圆心到的距离为3.求⊙的半径。
【类型二】垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
变式1..你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
探究点二：垂径定理的推论
【类型一】利用垂径定理的推论求角
如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
变式1.如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.
求证：四边形为正方形。
【类型二】利用垂径定理的推论求边
如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
变式1.如图所示，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、。求证：。
变式2.如图，在⊙中，是弦，于.
⑴若，，求的长；
⑵若，，求的长；
⑶若，，求⊙的半径；
⑷若，OA
=10，求的长。
【类型三】动点问题
如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
变式1.⊙的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。
4、习题
1.如图，已知的直径于点E，下列结论中一定正确的是（
）
?
2.如图，CD是的直径，AB是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（
）
3.如图，圆O的弦中最短的是
.
4.一名伐木工人锯一根圆木，如图，当圆木半径，弦时，则圆木被锯部分的最大高度为
.
5.如图，圆O的直径为，弦AB的长为，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有
个.
6.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm
，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升
.
7.如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面宽AB为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径OA是
.
8.如图，两个0为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，于H，则图中相等的线段共有
组。
9
高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，净高CD=9米，则此圆的半径OA=
。
10.
如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为
5m
，则圆拱形门所在圆的半径为________．
11.如图，的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，,点E在上，
，则
的面积为________．
12．如图，的弦AB垂直于CD，E为垂足，且，则圆心O到CD的距离是________．
13.如图，若排水管中水面的宽度米，水深0.2米，则排水管的直径为_____米．
14.如图，CD是的直径，弦为垂足，，则AE=________．
15.如图，已知的半径为5，弦，点E在AB上运动，连结OE，过点E作交于点F，当EF最大时，的值为________．
16.如图，水平放着的圆柱形排水管的截面为，其中水面宽，则水的最大深度为________．
?
17.如图，在中，直径则______。
18.如图，在中，AE是直径，半径，垂足为C，连接CE，若的面积为12，则CD=________．
19.如图，已知AB和CD是的两条弦，且，连接OC，作的平分线交于P，连接，求证：．
20.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
21、如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
22、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
23、如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
24.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．