江苏省扬中二中2021届高三上学期数学周练（四） Word版含答案

江苏省扬中二中2020-2021第一学期高三数学周练4
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1． “”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知袋中有个除颜色外，其余均相同的小球，其中有个红球，个白球，从中任意取出个小球，已知其中一个为红球，则另外一个是白球的概率为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知的二项展开式的二项式系数之和为，则二项展开式中常数项为 （ ）
A． B． C． D．
5．设，且，则 （ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．有最小值为4
6．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递减区间是 （ ）
A． B．
C． D．
7．若函数在区间内有两个零点则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知抛物线的焦点为，点
是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点
且垂直对称轴的直线交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．如图是函数(A＞0，＞0，
＜)的部分图象，若在[0，]内有且
只有一个最小值点，的值可以为 （ ）
A． B．
C．1 D．2
10．下列说法正确的是 （ ）
A．离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的波动情况；
B．随机变量，其中越小，曲线越“矮胖”；
C．若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件；
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，
F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论正确的是 （ ） .
A.FM∥A1C1;
B.BM⊥平面CC1F;
C.存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D;
D.三棱锥B-CEF的体积为定值.
12．已知函数的定义域为，若对于分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下列四个函数中，其中为“三角形函数”的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知集合，则 .
14．已知等比数列的前项和为，前项积为，若，则的值为 .
15．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为 ．
16．已知函数，若，且，则的取值范围是 .
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求角B；
（2）若，角B的角平分线交AC于点D，BD＝，求CD的长．
18．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子
里．每个盒子里放入一个小球．
(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；
(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有种，求随机变量的分布列与期望．
19．在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知为数列的前n项和，，(n)，，且 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
20．已知椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，且过点(2，)．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若A，B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆M于另一点N（异于椭圆的右顶点），交x轴于点P，直线AN与直线x＝a相交于点Q．求证：直线PQ的斜率为定值．
21．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，且AA1＝AD．
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的大小；
（2）若EF＝AB，求二面角B－A1C－D的余弦值．
22．已知．（1）求的极值；（2）若函数有两个极值点，，且（e为自然对数的底数）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C B A C D B BC ACD ABD BCD
二、填空题．
13. ； 14．；
15. ； 16．；
三、解答题
17．解：（1）因为，由正弦定理可得，

即，
，
；
（2）由（1）知,
又，
，
在中，由余弦定理可得：，
即，
所以
18．解：（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A，
将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即120种不同的放法，
事件A共有 种放法，
答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为，
（2）随机变量的可能值为0,1,2,3,5





0 1 2 3 5





.
19．解：（1）由已知时，，两式相减得到，
即，因为，所以数列是公比为的等比数列，
，
若选①成等差数列，
由成等差数列，可得，
即；
若选②成等比数列，
即成等比数列，
；
若选③，
即；
（2），
则
20．解：（1）设椭圆的焦距为，则①
②又，
所以椭圆M的方程为；
（2）由（1）易知，直线的方程为，
因为直线不过点，
由，
所以，从而，
直线的斜率为，故直线的方程为，
令，
直线的斜率为，
所以直线的斜率为定值
21．解：（1）如图，作平面，所以,又点是的中点，所以，
是的中位线，所以点是的中点，，
连接，则即直线与平面所成的角，，
所以，即直线与平面所成的角为；
（2）设,则，
由（1）知，，
又，所以，
以点为原点，以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
，令，则，所以，
设平面的法向量，
则，，令，
则，所以，
所以向量和的夹角即二面角，
，即二面角的余弦值为.
22．解：（1）由题意知，函数的定义域为，
①当时，，所以在上单调递增，此时函数无极值，
②当时，令，得舍去或，
当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增，
所以当时，有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，，
，令，即
当即时，无极值，
当即时，设方程的两根为，则，
①当时，方程不存在两个正根，不存在两个极值点，
②当时，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有两个极值点，
且，
，
令，
当时在上单调递减，
又，
所以实数的取值范围为
1