(共14张PPT)
八年级
上册
12.2
三角形全等的判定
（第4课时）
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全
等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测
量．你能帮工作人员想个办法吗？
创设情境引出“HL”判定方法
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个
问题吗？
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全
等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测
量．你能帮工作人员想个办法吗？
创设情境引出“HL”判定方法
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
问题2 任意画一个Rt△ABC，使∠C
=90°，再画
一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，
A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到
Rt△ABC上，你发现了什么？
实验操作探索“HL”判定方法
A
B
C
A
B
C
（1）
画∠MC＇N
=90°；
（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；
（3）
以B＇为圆心，AB为半径画弧，
交射线C＇
N于点A＇；
（4）连接A＇B＇．
实验操作探索“HL”判定方法
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
A＇
N
M
C＇
B＇
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
A
B
C
A＇
B＇
C＇
几何语言：
∵ 在Rt△ABC
和
Rt△A＇B＇C＇中，
AB
=A＇B＇，
BC
=B＇C＇，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△A＇B＇C＇（HL）
．
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C
和∠D
都是直角．
在Rt△ABC
和
Rt△BAD
中，
AB
=BA，
AC
=BD，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△BAD（HL）．
∴ BC
=AD（全等三角形对应边相等）．
“HL”判定方法的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC
=BD．求证：
BC
=AD．
A
B
C
D
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
）；
（4）
（
）．
AD
=
BC
AC
=
BD
∠DAB
=
∠CBA
∠DBA
=
∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
“HL”判定方法的运用
A
B
C
D
“HL”判定方法的运用
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
∠ABC
+∠DFE
=90°
“HL”判定方法的运用
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
证明：∵ AC⊥AB，DE⊥DF，
∴ ∠CAB
和∠FDE
都是直角．
在Rt△ABC
和
Rt△DEF
中，
BC
=EF，
AC
=DF，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△DEF（HL）．
“HL”判定方法的运用
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
证明：∴
∠ABC
=∠DEF
（全等三角形对应角相等）．
∵
∠DEF
+∠DFE
=90°，
∴
∠ABC
+∠DFE
=90°．
课堂练习
练习1 如图，C
是路段AB
的中点，两人从C
同时
出发，以相同的速度分别沿
两条直线行走，并同时到达
D，E
两地．DA⊥AB，EB⊥
AB．
D，E
与路段AB的距离
相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
课堂练习
练习2 如图，AB
=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E
，F，CE
=BF．求证：AE
=DF．
A
B
C
D
E
F(共26张PPT)
12.2全等三角形的判定
(第3课时)
角边角及其推论角角边
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
复习
边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个
三角形全等。
A
B
C
A
B
C
问题：
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
答：角边角（ASA）
角角边（AAS）
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了（如下图），你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？
创设情景,实例引入
创设情景,实例引入
E
B
A
C
D
探究1
E
B
A
C
D
探究1
∠A=∠A’
（已知
）
AB=A’C（已知
）
∠B=∠C（已知
）
在△ABE和△A’CD中
∴
△ABE≌△A’CD（ASA）
用数学符号表示:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
探究1反映的规律是：
如图，应填什么就有
△AOC≌
△BOD:
∠A=∠B,（已知）
,
∠1=∠2,
（已知）
∴△AOC≌△BOD
(ASA)
AO=BO
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
1
2
例题讲解
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交
于点O，AB=AC，∠B=∠C
求证：(1)AD=AE;
(2)BD=CE
证明
：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
D
B
E
A
O
C
练习1：已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AD
现在就练
1
2
3
4
C
A
D
B
探究2
如下图，在△ABC和△DEF中,∠A
＝∠D,
∠
B＝∠E,
BC＝EF,
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
E
F
D
B
A
C
在△ABC和△DEF中,
∠A
+∠B
+∠C＝1800,
∠D
+∠E
+∠F
=1800,
(三角形内角和1800)
∵
∠A
＝∠D,
∠B＝∠E,
∴
∠C＝∠F,
∴
∠B＝∠E,
（已知）
BC＝EF,
（已知）
∠C＝∠F,
（已证）
∴
△ABC
≌△DEF
（ASA）
B
A
C
E
F
D
AE=A’D（已知
）
∠A=∠A’
（已知
）
∠B=∠C（已知
）
在△ABE和△A’CD中
∴
△ABE≌△A’CD（AAS）
用数学符号表示:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
探究2反映的规律是：
例2:
如图,O是AB的中点，∠A=
∠B，
△AOC与△BOD全等吗?为什么？
O
A
B
C
D
两角和夹边对应相等
BOD
AOC
D
D
\
(已知)
(中点的定义)
(对顶角相等)
解：在
中
≌
变式:
如图,O是AB的中点，∠C=
∠D，
△AOC与△BOD全等吗?为什么？
O
A
B
C
D
两角和对边对应相等
BOD
AOC
D
D
\
(已知)
(中点的定义)
(对顶角相等)
解：在
中
∠C=
∠D
(AAS)
≌
练习2：已知如图，∠1=∠2，∠C=∠D，
求证：AC=AD
证明：
现在就练
在△ABD和△ABC中，
∠1=∠2
（已知），
∠D=∠C（已知），
AB=AB（公共边），
所以△ABD≌△ABC
（AAS）
所以AC=AD（全等三角形对应边相等）
1
2
C
A
D
B
到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:
1、边边边
(SSS)
3、角边角
(ASA)
4、角角边
(AAS)
2、边角边
(SAS)
练一练：
1、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
C
A
B
1
2
E
D
练习:
=
=
A
B
E
C
F
D
已知:
如图∠B=∠DEF,
BC=EF,
求证:ΔABC≌
ΔDEF
(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件
＿＿＿＿＿＿；
(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
(3)若要以“SSS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
∠ACB=
∠DEF
AB=DE
AB=DE、AC=DF
三步走：
①要证什么；
②已有什么；
③还缺什么。
(4)若要以“AAS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
∠A=
∠D
3.图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
35
35
110
110
A
B
C
D
DBC
ABC
D
≌
D
\
(已知)
(已知)
(公共边)
(3)
如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD.
求证：
A
B
C
D
O
证明:
(1)连接AD,
在△ADC和△DAB中
AD=DA（公共边）
AC=DB（已知）
DC=AB（已知）
∴△ADC≌△DAB
（SSS）
∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等）
(2)
在△
AOB
和△
DOC中
∠
B
=∠
C
（已证）
∠1=∠2
（对顶角相等）
DC=AB（已知）
∴△DOC≌△AOB
（AAS）
∴OA=OD
（全等三角形的对应边相等）
1
2
(1)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
(2)
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
知识要点：
（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
探究7
三角对应相等的两个三角形全等吗？(共21张PPT)
共21
§12.2
三角形全等的判定(二)
共21共21
复习回顾
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
在上一节课我们一起探索了:
只知道两个三角形有一组或两组对应相等
的元素（边或角），那么这两个三角形
不一定全等．
如果只知道有三组元素对应相等,则这两个三角形全等的可能性很大.
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
共21共21
(2)
三条边
(1)
三个角
(3)
两边一角
(4)
两角一边
思考并讨论1：当两个三角形满足六个条件中的三个时，有几种情况？
SSS
不能确定!
?
新知探究
共21共21
探讨两边一角能否证明三角形全等：
思考并讨论2：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
在图一中，
∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它可称为“两边及其夹角”。
符合图二的条件，
通常
说成“两边和其中一边的对角”
共21共21
画一画
1.请画出满足条件以下条件的三角形：∠A=45
°，AB=5cm,BC=4cm。
2.请画出满足条件以下条件的三角形：
∠A=45
°，AB=5cm,AC=4cm。
小组或同学之间对比一下，你有什么发现？
思考并讨论3：为什么会有这样的结果，通过这两幅图，你能得出什么？
共21共21
知识分析:
A
B
D
A
B
C
SSA不能判定全等
显然：在△ABC和△ABD中，满足SSA，但△ABC与△ABD不全等。
共21共21
三角形全等判定方法2
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
AC=DF
∠C=∠F
BC=EF
新知归纳
共21共21
两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？
①两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；
②两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
③
现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
SSS, SAS
共21共21
A
B
C
D
F
E
例.如图,给出AB=DE,AC=DF,要利用SAS判定△ABC≌△DEF，
还需增加一个什么条件？
考考你的好朋友
规则：你给出两个条件，请你的好朋友补上一个条件。使三个条件能够用SAS的判定方法判定两个三角形全等。
回答：∠A=
∠D
新知应用
共21共21
C
A
B
D
O
A
B
C
D
A
B
C
E
D
B
C
A
D
E
F
考考你的好朋友
共21共21
例题讲解
例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．
A
B
C
D
证明:
∴ ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵ AD平分∠BAC
在△ABD与△ACD中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
由△ABD≌△ACD
，还能证得∠B＝∠C，即通过证明两个三角形全等来解决分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题。
准备条件
指范围
摆齐根据
写出结论
共21共21
例题拓展
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：
∠B＝∠C
．
A
B
C
D
证明:
∴ ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵ AD平分∠BAC
在△ABD与△ACD中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）
若题目的已知条件不变，你还能证得哪些结论？
共21共21
例题拓展
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：
．
BD=CD
A
B
C
D
证明:
∴BD＝CD（全等三角形的对应边相等）
这就说明了点D是BC的中点，从而AD是底边BC上的中线。
AD⊥BC
∴
∠ADB＝
∠ADC
（全等三角形的对应角相等）
又∵
∠ADB+
∠ADC＝180°
∴
∠ADB＝
∠ADC＝
90°
∴
AD⊥BC
这就说明了AD是底边BC上的高。
“三线合一”
∴ ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵ AD平分∠BAC
在△ABD与△ACD中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
AD是底边BC上的中线。
AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵ AD平分∠BAC
在△ABD与△ACD中
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD
AD是底边BC上的高。
共21共21
因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决。
归纳
共21共21
小结：
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
A
B
C
D
E
F
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
共21共21
小结
你还学到了什么？
两边以及其中一边的对角（边边角）对应相等的两个三角形不一定全等.
注意:要充分利用图形中“对顶角相等,公共角，公共边”这些条件.
判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。
共21共21
1、根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．
（1） AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；
（2） BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．
(1)全等（ＳＡＳ）
(2)全等（ＳＡＳ）
巩固训练
共21共21
2、已知：如图，AD=AE,AC=AB
求证：△ABD≌△ACE
共21共21
3、已知：如图，AB=CD,∠ABC＝∠DCB。
求证：△ABD≌△ACE
共21共21
4、已知：如图，AC∥DF，AE=BD，AC=DF.
（1）求证：△ABC≌△DEF
（2）探究BC与EF的位置关系？
共21共21
课后作业
课本内容
共21(共19张PPT)
共19页
共19页共19页
【学习目标】
1.掌握三角形全等的判定定理——SSS，并能正确运用“SSS”定理证明三角形全等.
2.理解三角形的稳定性.
共19页共19页
【自主学习】
预习课本Ｐ35--37的内容，完成下面问题：
1．两个三角形三角、三边六个元素中，满足一个或两个元素相等是
全等的，我们这节课探讨的是三个元素
中
相等的情况。
2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则____________。
3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝________
共19页共19页
复习回顾
1、全等三角形的定义
2、已知△ABC≌
△A’B’C’
A
B
C
A’
B’
C’
问题1：其中相等的边有：
问题2：其中相等的角有：
AB=A
’
B’
BC=B
’
C
’
AC=A
’
C
’
∠A=∠A
’
∠B=∠B
’
∠C=∠C
’
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
共19页共19页
两个三角形全等
三组对应边、三组对应角
六个条件分别相等。
问题1：若两个三角形三组对应边、三组对应角分别相等，则这两个三角形是否一定全等？
两个三角形全等
三组对应边、三组对应角
六个条件分别相等。
问题2：两个三角形满足六个条件中的几个条件才能确保这两个三角形全等呢？
共19页共19页
?探究一
?
1.给定一个条件：
（1）一条边
（2）一个角
失
败
2.给定两个条件：
（1）两边
（2）一边一角
（3）两角
4cm
6cm
4cm
6cm
6cm
30?
30?
6cm
30?
20?
30?
20?
失
败
共19页共19页
千万别泄气哦！
俗话说：失败是成功之母！
我们继续探究：
?探究二
?
给定三个条件：三边对应相等
画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、
4cm、6cm
,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
画法:
1.画线段AB=3㎝;
2.分别以A、B为圆心,4㎝和6㎝长为半径画弧,两弧交于点C;
3.
连接线段AC、BC.
结论:三边对应相等的两个三角形全等.
可简写为”边边边”或SSS
共19页共19页
如何用符号语言来表达呢
在△ABC与△DEF中
A
B
C
D
E
F
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
共19页共19页
例1
已知：如图，AB=AD，BC=CD，
求证：△ABC≌
△ADC
A
B
C
D
AC
AC
≌
AB=AD
BC=CD
∴
△ABC
△ADC（SSS）
证明：在△ABC和△ADC中
=
（已知）
（已知）
（公共边）
共19页共19页
例2：如图所示，△ABC是一个钢架AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。
求证：△ABD≌△ACD。
A
B
C
D
证明：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
分析：要证明两个三角形全等，需要那些条件？
若要求证：∠B=∠C，
你会吗？
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
共19页共19页
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明全等的书写步骤：
共19页共19页
∴
△ABD
≌△DCB(
)
AB
=
CD
AC
=
BD
=
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
BC
CB
A
B
C
D
练习1
SSS
解：△ABC≌△DCB
理由如下：
共19页共19页
2、如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠
A=
∠
C.
D
A
B
C
证明：在△ABD和△CDB中
AB=CD
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△ACD（SSS）
（已知）
（已知）
（公共边）
∴
∠
A=
∠
C
（全等三角形的对应角相等）
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
共19页共19页
已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D
证明：连接AC,
AB＝CD（已知）
AC＝AC（公共边）
BC＝AD（已知）
∴
△
ABC≌
△
CDA（SSS）
∴
∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？
在原有条件下，还能推出什么结论？
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
A
B
C
D
A
B
C
D
在△ABC和△
ADC中
小结：四边形问题转化为三角形问题解决。
变形题：
共19页共19页
练一练
?
工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。为什么？
课本第37页练习
共19页共19页
小结
2.
三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3.书写格式：①准备条件；
②三角形全等书写的三步骤。
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
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课堂小测
1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定(
)
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
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课堂小测
2.如图，已知
．求证：△ABC≌△DCB.
A
C
D
B
O
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课本内容
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