1.2函数及其表示方法知识讲解 教案(含答案)

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函数及其表示方法
一、知识梳理
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的
，在集合B中都有
f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做
，x的取值范围A叫做函数的
；与x的值相对应的y值叫做
，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的
.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的
完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的
无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：
、
、
；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．
区间表示：
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．
优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从
的映射；记为
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做
，a叫做
.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象
对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设
，再代入
中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
4.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使
的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母
，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数
以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有
.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解
的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用
来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
二、针对训练
类型一、函数的概念
例1：下列式子是否能确定是的函数？
（1）
（2）
3）.
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
；
（4）；
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
类型三、求函数的值及值域
例4.
已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)；
(2)f(g(2))，g(f(2))；
(3)f(g(x))，g(f(x))
例5.
求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
类型四、映射与函数
例6.
判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1，
}，对应法则是f：
类型五、函数解析式的求法
例7.
求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
类型六、分段函数
例8.函数中，若，则的值为（
）．
A．1
B．1或
C．
D．
例9．已知函数
（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．
答案：要点一、函数的概念
1.任意一个数x，唯一确定的数，自变量，定义域，函数值，值域
2．①定义域和对应关系②字母
3.开区间、闭区间，半开半闭区间
区间的表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；
；
.
要点三、映射与函数
A到B，f：A→B.a的象，b的原象，
代入，原象，对应关系
4.（1）函数解析式有意义，不为零，不为零（2）实际意义（3）不等式或不等式组，集合或区间
典型例题
例1【答案】（1）不能
（2）能（3）不能
【解析】（1）由得，因此由它不能确定是的函数，如当时，由它所确定的值有两个，即y=.
（2）由得，当在中任取一个值时，由它可以确定唯一的值与之对应，故由它可以确定是的函数.
（3）由得，
故由它不能确定是的函数.
例2：【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1)
的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3)
的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4)
的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
例3.【答案】（1）[―8，3]；（2）{－1}；（3）（－∞，0）
【解析】（1）要使函数有意义，
则
，
解得：－8≤x≤3．
故函数的定义域为[―8，3]
（2）要使函数有意义，
则，
解得：x=―1．
故函数的定义域为{－1}．
（3）要使函数有意义，
则，
解得：x＜0．
故函数的定义域为（－∞，0）．
例4：【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
例5：例5：【答案】（1）[7，28]
[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．
【解析】
(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
例6：【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
例7：【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3)
①，用代替上式中的，得
②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
例8：【答案】D
【解析】若，由，得，舍去．
若，由，得，由于，舍去，故．
若，则得，舍去．
综上知．故选D．
例9：【答案】（1）（2）如图（3）．
【解析】（1）由题意，去掉绝对值符号，则考虑x＞1和x＜1两种情况
∴
当x≥1时，
当x＜1时，
即
（2）
（3）由（2）图形可知，的值域为．
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精品试卷·第
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