2020年中考真题汇编 勾股定理（word版，含答案）

2020年中考真题汇编
《勾股定理》
一、选择题
1.（2020.湖州）数4的算术平方根是（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．
2.（2020.宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
3.（2020.常州）8的立方根是（
）
A.
2
B.
±2
C.
±2
D.
2
4.（2020.台州））把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（　　）
A．7+3
B．7+4
C．8+3
D．8+4
5.（2020.金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+
B．2+
C．5﹣
D．
6.（2020.河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（
）
A.
1，4，5
B.
2，3，5
C.
3，4，5
D.
2，2，4
7.（2020.嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）
A．2
B．
C．
D．
8.（2020.淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是
A．12
B．24
C．36
9.（2020.大庆）.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A.
或
B.
15
C.
D.
10.（2020.陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
11.（2020.淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
12.（2020.南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
13.（2020.重庆B）.如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A.
B.
3
C.
D.
4
二、填空题
1.（2020.贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝
。
2.（2020.台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为
　．（用含a，b的代数式表示）
3.（2020.绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　　．
4.（2020.黔西南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　
　．
5.（2020.黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　
　．
6.（2020.淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　
　cm．
三、解答题
1.（2020.温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
2.（2020.重庆B）.△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=
．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG
，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN．在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．
2020年中考真题汇编
《勾股定理》答案
一、选择题
1.（2020.湖州）数4的算术平方根是（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
2.（2020.宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
3.（2020.常州）8的立方根是（
）
A.
2
B.
±2
C.
±2
D.
2
【答案】D
4.（2020.台州））把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（　　）
A．7+3
B．7+4
C．8+3
D．8+4
【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝2，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，
由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，
∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++2++4＝8+4，
故选：D．
5.（2020.金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+
B．2+
C．5﹣
D．
【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝＝，
∴＝．
故选：B．
6.（2020.河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（
）
A.
1，4，5
B.
2，3，5
C.
3，4，5
D.
2，2，4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
7.（2020.嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）
A．2
B．
C．
D．
【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝；
故选：C．
8.（2020.淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是
A．12
B．24
C．36
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
9.（2020.大庆）.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A.
或
B.
15
C.
D.
【答案】A
10.（2020.陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
11.（2020.淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
12.（2020.南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
13.（2020.重庆B）.如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A.
B.
3
C.
D.
4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
二、填空题
1.（2020.贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝　　．
【分析】依据△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，即可得到A1C＝BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．
【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，
∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，
∴∠DA1B1＝∠CA1D，
又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，
∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），
∴A1C＝A1B1，
∴BA1＝A1C＝BC＝2，
∴Rt△A1CD中，CD＝＝，
∴AB＝，
故答案为：．
2.（2020.台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为　a+b　．（用含a，b的代数式表示）
【分析】如图，正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
故答案为a+b．
3.（2020.绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为　4　．
【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：＝，
故阴影部分的面积是：＝4，
故答案为：4．
4.（2020.黔西南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　2　．
【分析】首先证明DB＝AD＝CD，然后再由条件BC＝3可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝3，
∴CD+2CD＝3，
∴CD＝，
∴DB＝2，
故答案为：2．
5.（2020.黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　　．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2＝∠4，再利用平行线的性质得出∠1＝∠2＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG＝AM，故AN＝NG，
∴∠2＝∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝×90°＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE＝AD＝BC＝1，
∴AG＝2，
∴EG＝＝，
故答案为：．
6.（2020.淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　
　cm．
【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AC，FC．
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），
故答案为5．
三、计算题
1.（2020.温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝13．
2.（2020.重庆B）.△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=
．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG
，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
解：（1）∵△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，
∴∠DAC=30°,CD=，
∴
，
∴
，
∴
，
∵三角形AEF是等边三角形，
∴
∴
∵N为CE的中点
∴．
（2）∠DNM的为定值120°．
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图，
∵D、N、M分别为BC、CE、EF中点，
∴DN、MN分别为△BCE、ECF中位线，
∴BE∥DN，MN∥CF，
∵△ABC、△AEF都是等边三角形，
∴AB=AC,AE=AF,
∴
∴△ABE≌△ACF．
∴∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM，
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°．