最大公因数和最小公倍数
学生姓名
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学科
授课教师
日期
时段
核心内容
最大公因数,最小公倍数的应用
课型
一对一/一对N
教学目标
掌握求最大公因数的多种方法和最大公因数的应用,掌握求最小公倍数的方法
重、难点
辗转相除法求最大公因数和最大公因数的应用,通过最小公倍数的知识学习概括能力和逻辑推理能力
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课首沟通
回顾最小公倍数与最大公因数的概念。让学生说说2,3,5的倍数的特征
377190273685知识导图
课首小测
求下列数的最大公因数和最小公倍数。
5和6 64和16 24和56
已知a=4b,那么a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
两个数都是合数,又是互质数,它们的最小公倍数是36,这两个数分别是( )和( )。
用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
91和56 63和42
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导学一 : 求最大公因数和最小公倍数
知识点讲解 1: 短除法,分解质因数法,辗转相除法
分解质因数:把一个合数写成几个质数相乘的形式。辗转相除法求最大公因数的步骤:
①用较大数÷较小数=商……余数
②除数÷余数=商……余数
……
以此类推,除到没有余数为止,最后一个除数就是这两个数的最大公因数
例 1. 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.
144和255 240和96
例 2. 利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数。377和221 511和1314
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用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
63和84
利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数
96和72 90和700
利用辗转相除法求出下列各组数的最大公因数。
3009和2573 1085和1178
知识点讲解 2:
例 1. 如果a、b互质(a和b都是自然数,且a,b≠0),则a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。例 2. 已知a=2×3×5,b=2×3×11,则a、b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
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m和n都是自然数,m÷n=8,m和n的最大公因数是( ),m和n的最小公倍数是( )。
A=2×3×5,B=2×5×7,A和B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
把自然数a与b分解质因数,得到a=2×5×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是210,那么m=( )。
导学二 : 最大公因数的应用
知识点讲解 1:
例 1. 将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体,分割成同样大小的正方体,并使它们的体积尽可能大且没有多 余,这些正方体的棱长是多少?可分割成多少个?
例 2. 某幼儿园大班老师借阅图书,如果借37本,平均分给每个小朋友后还剩1本;如果借56本,平均分给每个小朋友后还剩2本;如果借75本,平均分给每个小朋友后还剩3本。这个班的小朋友最多有多少人?
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有三根木棒,一根长24米,一根长8米,一根长36米,要把它们截成同样长的小段,不许剩余,每段最长是多少米? 一共可以截成多少段?
用48朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,每个花束 里最少有几朵花?
有铅笔433支,橡皮260块,平均分配给若干个小学生,分到最后铅笔余13支、橡皮余8块,问最多分给了多少个小学 生?
有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒,平均奖给若干个优秀少先队员,结果圆珠笔多出1支,笔记本少1本,笔 盒少2个,获奖的少先队员最多有多少人?
导学三 : 最小公倍数的应用
知识点讲解 1:
例 1. 用一些长3厘米、宽2厘米、高5厘米的长方体拼一个正方体,这个正方体的棱长最短是多少?
例 2. 有一个不为1的自然数,被6除余1,被8除余1,被12除也余1,这个自然数最小是多少?
例 3. 有一个自然数,被3除余2,被6除余5,被8除余7,这个自然数最小是多少?
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五年级学生人数在140到150人之间,要分成12人一组、18人一组都恰好分完,这个年级有多少人?
有一包奶糖,无论分给6个小朋友,8个小朋友,还是9个小朋友,都正好分完,这包糖至少有多少块?
同学们排队做操,不论是每行站4人,还是每行站5人,或每行站7人,最后都正好多出2人。至少有多少人做操?
航模兴趣小组去参观展览,参观队伍每行6人则多2人,每行8人则多4人,问:航模兴趣小组去参观的同学最少有几 人?
导学四 : 最大公因数和最小公倍数综合运用
知识点讲解 1:
两个数的乘积等于这两个数最大公因数与最小公倍数的乘积: 即:a×b=(a,b)×[a,b]
例 1. 两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
例 2. 两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
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两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?
两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?
求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。
已知两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
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限时考场模拟
a=2×3×m,b=3×5×m(m是自然数且m≠0),如果a和b的最大公因数是21,则m是( ),a和b的最小公倍数是
( )。
现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相 等,那么最多分给了多少个班?每个班至少分到了三种水果各多少千克?
有一筐苹果,无论是平均分给8个人,还是平均分给18人,结果都剩下3个,这筐苹果至少有多少个?
课后作业
如果a与b是两个不同的质数,那么a与b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
用长24cm、宽18cm的长方形铁片,摆成一个正方形(中间没有空隙),至少要用多少块这种长方形铁片?
3. A=2×5×7,B=2×2×3×5,A和B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
一筐苹果2个2个拿,3个3个拿,或者5个5个拿都正好拿完,这筐苹果最少有( )个。
甲数=2×3×5×7,乙数=2×3×7,甲、乙两数的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
六一儿童节那天,某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨,去看望福利院的小朋友,问用这些果品,最 多可以分成多少份同样的礼物?
有两路公共汽车,11路和8路。11路每10分钟发一次车,8路每8分钟发一次车。11路和8路的起点站都在一起,请问这 两路公共汽车同时发车以后,至少过多少分钟两路车才第二次同时发车?
一班同学参加课外活动,如果分为4人一组,或分为6人一组,或分为9人一组,都恰好分完没有剩余,这个班至少有 多少人?
五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不能打乱,最多 每组多少人?
1、总结一下本节课的知识点。
2、把本讲的例题,习题复习一遍,完成老师规定的作业。
3、建立错题集,整理、复习错题本,做到下一讲“有备而来”。
4、周五告诉老师学校的进度和遇到的问题。
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课首小测
1.(5,6)=1,[5,6]=30;(64,16)=16,[64,16]=64;(24,56)=8,[24,56]=168 2.b,a
3.4,9
4.7,728;21,126
导学一
知识点讲解 1: 短除法,分解质因数法,辗转相除法例题
1.(144,255)= 3,[144,255]=12240;(240,96)= 48,[240,96]=480;
解析:144=2×2×2×2×3×3,255=3×5×17,最大公因数是3,最小公倍数是2×2×2×2×3×3×5×17=12240 240=2×2×2×2×3×5,96=2×2×2×2×2×3,最大公因数是2×2×2×2×3=48,最小公倍数是
2×2×2×2×3×2×5=480
2.(377,221)=13,(1314,511)=73。
解析:377÷221=1.....156,221÷156=1....65,156÷65=2 26,26÷13=2,最大公因数是13。
1314÷511=2....292,511÷292=1....219,292÷219=1 73,219÷73=3,最大公因数是73。
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1.21,252
2.(96,72)=24,[96,72]=288;(90,700)10,[90,700]=6300
解析:96=2×2×2×2×2×3,72=2×2×2×3×3,(96,72)=2×2×2×3=24,[96,72]=2×2×2×3×2×2×3=288. 90=2×3×3×5,700=2×2×5×5×7,(90,700)=2×5=10,[90,700]=2×5×3×3×2×5×7=6300
3.(3009,2573)=393;(1178,1085)=31
解析:3009÷2573=1....436;2573÷436=5 393;436÷393=43,(3009,2573)=393。
1178÷1085=1....93;1085÷93=11....62;93÷62=1....31,62÷31=2,(1178,1085)=31
知识点讲解 2: 例题
1.1,ab
2.6,330
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1.n,m 2.10,210
3.7
导学二
知识点讲解 1: 例题
1.60(个)
解析:(60,45,75)=15,(60÷15)×(45÷15)×(75÷15)=60(个) 2. 18
解析:37-1=36(本),56-2=54(本),75-3=72(本),(36,56,72)=18(人)
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每段最长为4米;17段
解析:(24,8,36)=4,所以每段最长为4米。一共可以截成:24÷4+8÷4+36÷4=17(段) 2.5
解析:(48,72)=24,48÷24+72÷24=5(朵) 3.84
解析:433-13=420(支),260-8=252(块)
(420,252)=84,所以最多分给了84个小学生。
4.136-1=135(支),89+1=90(本),178+2=180(个)
(135,90,180)=45,获奖的少先队员最多有45人。
导学三
知识点讲解 1: 例题
1.30cm
解析:3×2×5=30(厘米) 2.25
解析:[6,8,12]=24,24+1=25 3.23
解析:[3,6,8]=24,24-1=23
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1.144
解析:[12,18]=36,36×4=144(人) 2.72
解析:[6,8,9]=72,所以这包糖至少有72块。3.142
解析:[4,5,7]=140,140+2=142(人) 4.20
解析:[6,8]=24,24-4=20(人)
导学四
知识点讲解 1: 例题
7289802336801.15和90或者30和45。解析:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=20,15×3=45。所 以,这两个数是15和90或者30和45。
2.3和120或3和120
解析:我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。 根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a 和b一定是互质数,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。当a和b是1和40时,所求的数是3×1=3和3×40=120;当a和 b是5和8时,所求的数3和3×40=120
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1.72
解析:60÷12=5,5=1×5,12×1=12,12×5=60;60+12=72 2.240
解析:720÷180=4,60×4=240 3.36×24=864
解析:36、24两数的积一定等于36、24两数的最大公因数与最小公倍数的积。4.65或13
解析:78÷13=6,6=1×6=2×3,13×1=13,13×6=78;13×2=26,13×3=39。这两个数是13和78或者26和39,所以它们的差
为65或13
限时考场模拟
1.7,210
香蕉: 3(千克) 苹果: 8(千克)桔子: 5(千克)
解析: (42,112,70)=14 香蕉:42÷14=3(千克)
苹果:112÷14=8(千克) 桔子:70÷14=5(千克) 3. 75
解析:[8,18]=72,72+3=75(个)
课后作业
1.1,ab 2.12
解析:[24,18]=72,(72÷24)×(72÷18)=12(块) 3.10,420
4.30
5. 42,210
最多可以分成40份同样的礼物
解析:(320,240,200)=40,所以最多可以分成40份同样的礼物。
至少过40分钟
解析:[10,8]=40,所以至少过40分钟两路车才第二次同时发车。8.至少有36人
解析:[4,6,9]=36,所以这个班至少有36人。9.6人
解析:(36,48,42)=6,所以最多每组有6人。