11.1 全等三角形
学习目标：1了解全等形及全等三角形的概念；
2 理解全等三角形的性质
3在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，
4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣
重 点：探究全等三角形的性质
难 点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角
学习过程
一 知识频道（交流与发现）
1 忆一忆
①我们学过三角形的组成元素有 、 、 。 ②三角形有 个顶点， 条边， 个角。
2 想一想
第一组 第二组 第三组
比较每组图片，你有什么发现？
① ②
③把他们叠放在一起能够 。
④我们把这样 的两个图形叫做全等形。 你还能说出生活中的全等图形的例子吗？
3 悟一悟
① 叫做全等三角形。
②如果两个图形全等，它们的 和 一定都相等。
4 议一议
①在图1中，把△ABC ，得到△DEF．
②在图2中，把△ABC ，得到△DBC．
③在图3中，把△ABC ，得到△AED ④把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
⑤
如图：△ABC和△DEF全等
记作：
读作：
其中点A和 ，点B和 ，点C和 是对应顶点；AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边；∠A和 ，∠B和 ，∠C和 是对应角。
⑥ ABC≌ DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的性质：
全等三角形的 相等，全等三角形的 相等
5 填一填
①
②
二 方法频道 （由解题理解知识，由知识学会解题）
1全等三角形性质的应用
例题 如图4，△ABC中，AB=6cm,∠B=50°,∠C=70°,ΔDEF≌ΔABC,EF=BC，∠E=50°，求DE的长和∠D的度数。
解：∵ΔDEF≌ΔABC，点E与点B，点F与点C，点D与点A对应，
∴DE=AB,∠D=∠A,
∵∠A=180°-∠B-∠C=108°-50°-70°=60°,AB=6cm,
∴DE=6cm,∠D=60°.
知识体验
应用全等三角形的性质时，要先确定两条：⑴两个三角形全等。⑵ 找出对应关系。本题已知两个三角形全等，但对应元素没有指定，要先找出待求量的对应元素（边或角），由已知条件求值。
巩固练习
①
如果 ABC≌ ADC，AB=AD， ∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=____，DC=____cm
②如果 ABC≌ DEF,且 ABC的周长为100cm,A、B分别与D 、E对应, AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为( )
A.45cm B.55cm C.30cm D. 25cm
2确定全等三角形对应元素的方法
例题 如图5,AB与CD相交于点O，ΔAOC与ΔBOD全等，∠A=∠B，试写出所有的对应边与对应角。
解：由∠A=∠B，得∠A与∠B是对应角。
∵∠AOB=∠BOD（对顶角相等），
∴∠AOB与∠BOD是对应角，∠C与∠D是对应角。
OC与OD，AC与BD，OA与OB分别是对应边。
解题技巧
相等的角是对应角（如对顶角，公共角等）.
巩固练习
如图6，△ABC≌△CDA，AB=CD，用等式写出两个三角形其它的对应边和对应角。
三 习题频道（自主训练才能学会解题）
1、基础训练。
（1）下列说法中错误的是（ ）。
A、能够完全重合的两个三角形是全等三角形
B、面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C、两个全等三角形的周长相等
D、全等三角形的对应边相等
（2） 下列说法：形状相同的两个图形是全等形；对应角相等的两个三角形是全等三角形；全等三角形的面积相等；若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP。其中正确的有（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（3）找出图中的全等图形：
（4）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转，边AB旋转到AD，得到△ADE，用符号“≌”表示图中与△ABC全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角。
（5）如图，把△ABC先沿直线AB翻折180°，再沿直线AB平移，得到△DEF，用符号“≌”表示图中与 △ABC全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角。
（6）如图，已知△ABC≌△DEF.求图中X、Y、Z的值.
2、拓展延伸
（1）在下列方格图中画两个全等三角形，并用符号表示出来
（2）如图，已知△ABE≌△CDF，∠A=∠C，BE∥DF，则另外两个对应角是_________________，对应边是_______________________。
（3）已知 ABC≌ DEF,∠A=50°，∠B=65°，DE=25cm，则∠F= °,
AB= cm.
（4）如图，△ABC与△ADE是一对全等三角形，你知道将其中的一个三角形经过怎样的基本运动后，与另一个图形重合吗？
请用符号表示每对全等三角形，并用式子表示对应边、对应角
3 中考链接
某开发区有一正方形的空地，现在计划对这块空地进行绿化。要求种上四种不同的鲜花，使种植这四种鲜花的空地形状和大小完全相同。你有几种方案？请设计出来。
图3
图2
图1
夏津实验中学八年级上册数学学案
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
注意：对应顶点放在对应的位置上呀！
E
E
角
角
角
边
边
边
角
角
角
边
边
边
△AMC≌△BMD
图4
C
B
A
D
图5
图611.2 (3) 三角形全等的判定(ASA、AAS)
学习目标：经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“ASA”和“AAS”条件，并会应用。
学习重点：经历探索三角形全等条件的过程。学会运用“ASA”和“AAS”来说明两个三角形全等。
学习难点：对三角形全等条件的分析和探索。
学习方法：动手实践、自主探索、合作交流。
( http: / / www. / )学习过程设计
一、想一想：
一块三角形玻璃碎成如图形状4块，
配一块与原来一样的三角形玻璃
（1）要不要4块都带去？
（2）带哪一块呢？
（3）带D块，带去了三角形的几个元素？另外几块呢？
（4）恢复后的三角形和原三角形全等，那全等的条件是不是就是带去的元素呢？
二、试一试：
做实验（画一个三角形，两个角分别为50度、60度且夹边为3厘米，实践验证两个三角形全等）。
三、说一说
全等三角形的判定（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （简写成“ASA”）
四．应用观摩：
例1 已知∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，那么△ABC与△ADC全等吗？说明理由。
解：在△ABC与△ADC中
∠BAC=∠DAC （已知）
AC = AC （公共边）
∠BCA=∠DCA （已知）
∴ △ABC ≌△ADC （ASA）
强调：
格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按判定顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.
（2）在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包括两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角等）
五、探一探：
改变判定2的条件：有两角和其中一角的对边对应相等这样两个三角形是否全等呢？
提示：利用三角形内角和180°求得第三对角相等，然后利用ASA
全等三角形的判定（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“AAS”）
例2已知，M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，问MC=MD吗？说明理由.
解：∵ M是AB的中点（已知）
∴ AM = BM （中点的定义）
在△AMC与△BMD中
∠C=∠D （已知）
∠1=∠2 （已知）
AM = BM （已证 ）
∴ △AMC ≌△BMD （AAS）
∴ MC=MD （全等三角形的对应边相等）
六、牛刀小试：
1、如图,∠1＝∠2 ，BC=EF，需补 充 条件_____，才能使△ABC ≌△DEF
（A）AB=DE
（B）∠ACE=∠DFC
（C）∠B=∠E
（D）BF=EC
2、如图，已知AE=AC，∠B=∠D，说明△DEA与△BCA全等的理由。并写出其他能够得到的结论
3、AB、CD是两条平行线段，连结AC、BD交于O点，则△AOB和△COD全等吗？为什么？（用两种不同的判定方法证明）
4、要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，
使CD＝BC，再作BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，那么这样测量方法是否正确？
5. 如图在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE.
D
B
C
A
夏津实验中学八年级上册数学学案
C
A
D
B
M
A
B
C
D
1
2
B
D
C
E
A
A
D
M
C
N
B
E七年级上数学学案
3.4实际问题与一元一次方程（1）
学习目标：掌握用一元一次方程解决销售问题；进一步熟悉列方程解应用题的一般步骤。
学习重点：列方程解决销售问题。
难点：分析问题中量与量之间的关系。
学习过程：
一、知识频道
想一想： 商品利润率=×100%
即 商品利润=商品价格×（ ）
做一做:
1.某商店进了一批商品，每件商品进价为a 元，若要获利20%，则每件商品的零售价应定为 （ ）
A. 20%a元 B. (1－20%)a元
C. (1+20%)a元 D. a÷(1+20%)元
2某商品的进价是2000元，标价3000元.
①此时的利润是________元，利润率是_________.
②若商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员最低可以打_____折出售。（提示：实际售价=标价×打折率，例如，标价3000元的商品打八折，实际售价=3000× =2400(元) ）。
二、方法频道
预习课本104页“探究1”
分析：卖两件衣服共卖了120（=60×2）元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服共花了多少钱。如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
由以上分析我们需求出两件衣服的进价，若设盈利25%的衣服的进价为x元，则可列方程：
___________________________
可求得: x=______
类似地，设亏损25%的衣服的进价为y元，则可列方程:
__________________________
可求得: y=_______
由上可得两件衣服的进价是x+y=_____元，而两件衣服的售价是120元，
由此可得结论.
请同学们写出完整的解答过程：
小结：列一元一次方程的步骤：
①审清题目中数量关系和相等关系.
②用未知数表示题目中的一个量，根据等量关系列方程.
③解方程，求未知数，检验后写答案.
④简单地说为：审. 设. 列. 解. 验. 答.
三、习题频道
（一）巩固训练
★ 1.一家商店将某种服装进价提高50%作为标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍可获利30元，这种服装每件的进价应为多少元？
★2.某商店一天内销售两种书，甲种书共卖了1560元，为了照顾贫困山区学生，乙种书共卖了1350元，已知甲种书盈利25%，乙种书亏损了10%,则该书店是盈还是亏？亏或盈多少？
（二）拓展提高
★3.某市百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给予优惠，超过200元，而不足500元优惠10%，超过500元，其中500元按九折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元.
此人两次所购买的物品如果不打折值多少钱？
在此次活动种，他节省了多少钱？
若此人将两次购物的钱合起来购物，是节省还是亏损？说明你的理由.
（三）中考链接
某厂投入200000元购置生产某新型工艺品的专用设备和模具，共生产这种工艺品x件，又知生产每件工艺品还需投入350元每件工艺品以销售价550元全部售出，生产这种工艺品的销售利润＝销售总收入－总投入.
则下列说法错误的是：
A.若产量x＜1000,则销售利润为负值
B.若产量x＝1000，则销售利润为零
C.若产量x＝1000，则销售利润为200000元
D.若产量x＞1000，则销售利润随着产量的增大而增加11. 2.2 三角形全等的判定(2)
学习目标：1掌握边角边公理的内容；
2运用边角边公理判定两个三角形全等。
重点：边角边公理的运用。
难点：边角边公理的运用。
一知识频道
1 做一做：
按照教材第8页探究3的要求作图并比较，探究3的结果反映了什么规律？
2想一想：
（1） 两边和它们的夹角 的两个三角形全等。
（2） 简写成“边角边”或“ ”
3悟一悟：
到现在为止证明两个三角形全等的方法有： 。
二 方法频道
例、下面小红的证明正确吗？如不正确，请指出错因，并改正过来。
如图，D是ABC中BC边上的中点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中
EB=EC
∠ABE=∠ACE，
AE= AE
所以△AEB≌△AEC，所以∠BAE=∠CAE。
巩固练习：
1如图，已知AD∥BC,AD=BC
求证：△ADC≌△CBA.
2如图，已知D、E分别为 AB、AC的中点，EF=DE.
求证：FC∥AB.
三、习题频道
（一）自测自评。
1选择题。
(1)如图，只要满足下列哪个条件，则△ABC≌△ADC ( )
AB=AD,∠B=∠D
AB=AD,∠ACB=∠ACD
AB=AD,∠BAC=∠DAC
(2)如图，若 线段AB、CD互相平分交于点O,则下列结论错误的是 （ ）
(A)AD=BC (B)∠C=∠D
(C)AD∥BC (D)OB=OC
2填空题。
（3）如图所示，BD、AC相交于O，若OA=OD，
用“SAS”说明△AOB≌△DOC，还需
（4）如图，已知∠B=∠DEF，BC=EF，要证△ABC≌△DEF，
以“SAS”为依据，还缺条件
3如图。AB=AD，AC=AE，，∠BAD=∠CAE，
求证：BC=DE。
（二）综合提升（选做题）
4、已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE。
求证：AC⊥CE。
5已知C是线段BE上一点，△ABC和△DCE是等边三角形。
求证：BE=AD。
B
E
C
F
D
A
A
B
D
C
E
A
E
B
C
D
A
B
C
D
E11.2.4直角三角形全等的判定（HL）
学习目标
已知斜边和一直角边会作直角三角形.
掌握“斜边直角边公理”，会熟练利用这个公理及一般三角形全等的判定方法判定直角三角形全等.
学习重点和难点
“斜边直角边公理”的掌握和灵活运用.
学习过程设计
讨论直角三角形全等的判定方法
１．可用判定一般三角形全等的方法．
练习1 判断下列直角三角形是否全等？为什么？
（1）两直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（2）一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
（4）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（5）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
分析：（1）判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件.
（２）由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用.
(３)由于直角三角形与一般三角形相比增加了一个特殊条件——直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减少到两个，“SSS”对直角三角形来说条件多余.
2．探求判定直角三角形全等的特殊方法.
对直角三角形中的两对对应元素进行分类，探求有无判定全等的其它方法.
除练习1的（1）和（2）之外，还有以下两种情况：
两锐角对应相等；
斜边和一直角边对应相等.
对第①句，由教师和学生手中的含30°的直角三角板可说明它不成立，因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等.
对第②句，通过画图寻找答案.
３．画图得出公理.
如图3-80，已知线段a,c(a★ 注意选择合理的画图顺序来确定三角形的三个顶点：
画直角确定顶点C→在直角一边上截取线段a确定B点→以点B为圆心，线段c为半径作弧与另一直角边相交确定点A.
说明：（1）画出的直角三角形存在且唯一，因此，可以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”
（你能仿照所学定理口述公理的内容吗？）
(2)“HL公理”实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不一定成立，因此，在“HL公理”的使用过程中要突出直角三角形这个条件，对于图3-81，在Rt△ABC与Rt△AˊBˊCˊ中，
AB=AˊBˊ
BC=BˊCˊ（或AC=AˊCˊ）
∴Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ
应用举例
已知：在△ABC与△AˊBˊCˊ中，CD和CˊDˊ分别是高，并且AC=AˊCˊ，CD=CˊDˊ，∠ACB=∠AˊCˊBˊ.
求证：△ABC≌△AˊBˊC
练习2 如图3-83，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于H.
求证：（1）AH平分∠ABC；（2）CH=BH；（3）AH⊥BC；（4）连结BC与AH的延长线交于D，图中有多少对全等三角形？为什么？（5）交换“AB=AC”与“AH平分∠BAC”，以上命题是否成立？为什么？
说明：（1）通过二次全等证明所需结论，并培养学生逆向思维能力.
（2）通过此题全面复习直角三角形全等的判定方法（SAS，AAS，ASA，HL）.
练习3 已知：如图3-84，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE=DF.
例3 求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.
说明：要求根据文字叙述画图，分析已知、未知条件，根据直角三角形的判定方法来证明两次全等．
三、想一想
一般三角形与直角三角形证明全等的方法有什么区别与联系？
四、 补充题：
如图3-85，A，F和B三点在一条直线上，CF⊥AB于F， AF＝FH， CF＝FB．求证： BE⊥AC．
夏津实验中学八年级上册数学学案11.2三角形全等的判定（1）
学习目标：1掌握判定两个三角形全等的条件
2会证明线段相等或角相等
学习重难点：1重点：“边边边”判定及应用
2难点：已知三边画三角形（尺规作图）
学习过程：
一 交流与发现
1忆一忆：
全等三角形的性质：1全等三角形的 相等；2全等三角形的 相等。
2想一想：
要判定两个三角形全等需要几个条件呢？一定是六个条件吗？
3试一试：一个条件可以吗？
两个条件可以吗？ 三个条件呢？
二方法频道
1 已知 △ABC,画一个△A1B1C1，使A1B1=AB, B1C1=BC, C1A1 =CA,则画好的△A1B1C1与△ABC全等吗？
巩固小结： 对应相等的两个三角形 。（简称 或 ）。
2运用结论解题
例1如图，AC=BD，AB=DC。求证：∠B=∠C。
证明：连接AD，
在ΔABD与ΔDCA中，
AB=DC
DB=AC
∴ΔABD≌ΔDCA（ ）
∠B=∠C。
3巩固练习：
如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE，则△ABD≌
ABE≌ （图见右边）。
例2已知：如图，AD=CB，AB=DC，BE⊥AC，垂足为E，
DF⊥AC，垂足为F。
求证：（1）△ABC≌△CDA；（2）BE=DF。
证明：（1）在△ABC和△CDA中，
AD=CB，
AB=CD，
AC=CA。
所以△ABC≌△CDA（SSS）。
（2）因为△ABC≌△CDA，所以S△ABC=S△CDA。
因为S△ABC=AC×BE，S△CDA=AC×DF，所以BE=DF。
4思考:怎样作一个角等于已知角（尺规作图)
三、习题频道：
(一)自测自评（全做）。
选择题：
1若△ ABC的三边长分别为整数且均不相等，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长是（ ）。
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
2如果△ ABC的三边长分别为3，5，7，△ DEF的三边长分别为3，3x-2,2x-1,若这两个三角形全等，则x等于（ ）。
（A） （B）3 （C）4 （D）5
填空题：
3已知三角形的两边长分别为2和7，周长是一个平方数，那么第三边长为________.
4如图，已知AB=DC，只需添加一个条件 ，就可用“边边边”证明△ ABC≌△DCB 。
思考题：
5如图，AB=DC，AC=DB，用三角形全等的条件“边边边”可证明图中哪两对三角形全等？
6画一个三角形，使其边长分别为4cm,5cm,6cm.
（二）能力提高。（选做题）。
1已知AB=BC，AD=CD，∠ABC=80°，∠ADC=50°，则∠A=
∠C= 。
2如图，若OA=OB，AC=BC，∠1=30 ，则∠ACB=
3如图，A、C、F、D在同一条直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，那么AB∥DE吗？并说明理由。
E
D
C
B
A11.3 角的平分线
学习目标
知识与技能：（1）掌握角的平分线的性质；（2）掌握角的平分线的判定；（3）综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
过程与方法：经历画图、猜测、归纳、发现和解决问题的过程，总结和探索几何规律的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：经历了动手、猜测和证明的过程，充分体验数学知识来源于生产和生活的实际，反过来又服务于生产、生活。
重 点
重点是角的平分线的性质。
难 点
难点是角的平分线的判定及角的平分线的性质的综合运用。
第 一 课 时
学习过程
一 知识频道（交流与发现）
1 忆一忆
⑴什么是角的平分线？如何用折纸的方法确定角的平分线？
⑵如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AD和AB沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理
,
在△ADC和△ABC中 ,
.
∴△ADC≌△ABC( )
∴∠ =∠
∴AE平分∠DAB
2 悟一悟
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法。
例1.已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOB的平分线
作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于M，交OB于N；
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在
∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC.射线OC即为所求。
3 想一想
请问：怎样证明OC是∠AOB的平分线？
4 练一练
⑴已知：如图，∠AOB。
求作：OD平分∠AOB。
(不写作法，保留作图痕迹)
5 动一动
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
6总一总
角的平分角线的性质：
。
几何语言描述：∵ 平分∠ ，
PD⊥OA， PE⊥OB
∴ =
注意：垂直条件可不能丢!!!
二 方法频道（由解题理解知识，由知识学会解题）
例：已知：如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于E，且OE
平分∠AOB。
求证：EA=EB
证明：∵OB平分∠AOB，BC⊥OA,,AD⊥OB
∴ = 。（ ）
∠ =∠ =90°
，
在△ACE和△BDE中 ，
。
∴△ ≌△ ( ) ∴EA=EB
巩固练习
如图，已知∠C=90°AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若DB=2DE=6cm，求
BC的长。
第 二 课 时
学习过程
一 知识频道（交流与发现）
1想一想
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
猜测：点P在 上。
你能证明你的猜测吗？
2 悟一悟
角平分线的判定方法：到角的两边距离相等的点在 上。
几何语言描述：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且 = ，
∴ 平∠
3 练一练
⑴如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，且BE=CF。
求证：AD平分∠BAC。
⑵如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路的交叉处500米。这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置比例尺为1：20000)？
二 方法频道（由解题理解知识，由知识学会解题）
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：点P也在∠A的平分线上。
证明：过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC, 垂足分别为E，D，F，
知识体验
★ 三角形的三条角平分线交于一点。
辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。
巩固练习
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P在∠A的角平分线上。
三 习题频道
基础训练
1.已知OC是∠MON的平分线，P在OC上，P到OM的距离为3cm，则Ｐ到ＯN的距离为 cm。
2.在△ABC中，∠C=90，AD是角平分线，DE⊥AB于E且DE=5.6，BC=11.8m，则BD＝ cm。
3.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若∠B=∠C写出你认为正确的两个结论：
4.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A 1处
B 2处
C 3处
D 4处
拓展延伸
5.图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求△ABC的面积。
。
6.△ABC中，AD是它的角平分线。且BD=CD ,DE,DF分别垂直于AB，AC。垂足分别是E，F。求证：EB=FC
中考链接
7.图，在四边形ABCD中， ∠ B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。求证：AM平分∠DAB。
A
O
B
A
O
B
A
P
D
C
E
O
B
AAQA吖6666 AAA
O
O
E亨宁
C
D
O
B
A
C
E
D
A
C
A
P
D
E
O
B
B
F
A
D
C
E
公路
铁路
S
F
E
B
N
A
C
P
M
D
∵BM，CN，是△ABC的角平分线
∴PE=PD， PD=PF.( )
∴ .
∴点P也在∠A的平分线上。(
)
B
A
CA
P
B
F
A
D
C
E
L3
L1
L2
M
B
A
O
C
D
N
G
B
F
A
D
C
E
D
C
M
B
A
