12.3.1 等腰三角形
学习目标:1.理解并掌握等腰三角形的概念、性质、及判定。
2.运用性质及判定进行证明和计算。
重点:等腰三角形性质和判定的运用。
难点:等腰三角形性质、判定的证明和灵活运用。
学习过程：
知识频道（交流与发现）
想一想：
①重合图形的边是什么关系？
②如图：把一张长方形的纸对折，沿虚线剪开，再把它展开，得到的ΔABC有
什么特点？
总一总：
上述过程中，剪过的两边是相等的，即AB=AC。像这样有_______的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫____，如上图中的边___和____,另一边叫____,如边____,两腰所夹的角叫______,如_____,底边与腰所夹的角叫_____,如____和_____.
3、思考？
上面剪出的等腰ΔABC是轴对称图形吗？图形中重合的线段和重合的角分别是哪些？
重合的线段
重合的角
新发现！
等腰三角形的性质：
性质1 _________________________可以简写成______________.
性质2 __________________________________________________.
可以理解为“三线合一”。
验证一下吧！
①如图：在ΔABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD.
在ΔABD和ΔACD中 ∵
AB=_____
BD=_____
AD=_____
∴_____≌_______(_____)
∴ ∠B=∠C
如果把作中线该为作底边的高线可以吗？作顶角的平分线呢？
②自己证明性质2 （相信你一定行）
6、如图： ΔABC中 ∠B=∠C,作AD⊥BC
∵AD⊥BC ∴_____=_____=90
在ΔABD和ΔACD中 ____=_____
____=_____
____=_____
∴_____≌______ (_____)
∴AB=AC
新发现！
经过上面的推证，我们得到等腰三角形的判定方法_____________________可以简写为________.
知识频道：（由解题理解知识）
例题在ΔABC中AB=AC, ∠B=80°，∠C=____.
（根据等边对等角得∠C= 80°）
试一试： 在ΔABC中，AB=AC∠A=50°则∠B=____,∠C=____.
例题 在ΔABC中，AB=AC，周长为30，AB=12，求BC的长。
解：∵AB=AC AB=12∴AC=12 ∵周长为30∴BC=30-12-12=6
试一试： 等腰三角形的周长为30，一边长是12，求另两边的长。
三、医院频道：（及时就诊找病因）
例题 等腰ΔABC中，两边的长为4和9，求它的周长。
小明的解法： 周长为4+4+9=17
小红的解法 周长为4+9+9=22
他们的解法对吗？如果有错，错在哪里？
练一练：等腰三角形的一边长为4，另一边为2，则周长是____.如果等腰三角形的两边长分别为3和5，则周长是________.
习题频道：
基础强化
1、等腰三角形的一内角是40°，则其他两角的度数分别是
2、等腰三角形顶角的外角是138°，它的一个底角是
3、已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长为
4、等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是
5、线段AB = 4cm，M是AB垂直平分线上一点，MA = 4cm，则∠MAB =
6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高为
7、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
（二）能力突破
1．如图，在△ABC中BC=AC，CD⊥AB，DE∥BC，试说明△ADE和△CED都是等腰三角形。
2．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A 的度数。
（三）拓展提升
．已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，若AD=AB，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。
（四）直击中考：
如图，在△ABC中，∠ACB、∠CAB的平分线交于点F，过点F作DE∥AB，分别交BC，BA于D、E，
试说明：DE=CD+AE
A
C
B
D
A
D
C
B
A
D
C
B
A
B
C
D
E12.3.2 等边三角形
学习目标:1.掌握等边三角形的概念,性质及判定.
2.会根据等边三角形的性质及判定解决问题.
重 点 :等边三角形的性质和判定
难 点 :灵活运用等边三角形的性质及判定.
知识频道
.忆一忆
等腰三角形的定义：（1）在△ABC中AB=AC（2）等边对等角：
在△ABC中∵AB=AC ∴∠B ＝ ∠C（3）等角对等边：在△ABC
中∵∠B ＝ ∠C ∴ AB=AC（4）三线合一：
想一想：
等边三角形是等腰三角形吗 2.它有什么性质 3.如何判定一个
三角形是等边三角形
学一学：
1.等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。
小学时我们学过：等边三角形的内角都相等，你知道为什么吗？
证明：等边三角形的内角都相等。
已知:在△ABC中，AB=AC=BC
求证： ∠A= ∠B= ∠C
证明：在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C (为什么 )
同理 ∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
又∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
结论:等边三角形的内角都相等,且等于60°。
2.等边三角形的性质
1）.等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个边都______，三个内角
都相等且每一个内角等于_____。
2）.等边三角形它是_______图形，有____条对称轴，它的任意角的平
分线垂直、平分对边。
悟一悟
已知： △ABC中， AB=AC，并且有一个角为60 °
求证： △ABC是等边三角形
证明：在△ABC中
∵ AB=AC. ∴ ∠B= ______
（1）当顶角∠A=60 °时,∠B= ∠C= 60 °∴∠A= ∠B= ∠C=60 °
∴ △ABC是等边三角形.
（2）当底角∠B= 60°时,_____=60 °, ∠A=180 —(60°+60 °)=60. °
∴ ∠A= ∠B=∠C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.
3.等边三角形的判定方法:
1）.三边_______的三角形是等边三角形.
2）.三个内角_______的三角形是等边三角形.（你知道为什么吗？）
3）.有一个内角等于______的______三角形是等边三角形.
做一做：
1.将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形，
找到Rt △ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2.如图：在含30°的三角板ABC中，在BA上截取BE=BC，连接EC
则△BCE是等边三角形，所以∠BEC= 60°，而∠A=30°，在△ABC中，
因为∠ECA= 30°，所以AE=EC，于是有BC= AB。
3.由此可得直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所
对的直角边等于斜边的一半。
∵AC⊥BC ，∠A= 30°∴ BC= AB
二．方法频道：
1、在Rt△ABC中， ∠B=2 ∠A，AB=6cm，
则BC=________.
2、Rt△ABC中， ∠A= 30°，AB+BC=12cm，
则AB= _______.
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC，
且BD=16cm，则CD= . 。AD=_______
4、如图， △ABC是等边三角形，
AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别
是D、E，如果AB=8cm，
则BD=________,
∠BDE= ，
BE=_______.
5、在△ABC中， ∠ACB= 90°，
BA的垂直平分线交边CB于D。
若AB=10，AC=5，
则等于 30°的角的个数为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
三、习题频道：你一定行！！
1、如图，在△ABC中， AB=AC，
∠BAC= 120°，AC的垂直平分线EF交AC
于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。
2、如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°，
∠B= 15°，AB的垂直平分线分别交BC、AB
于D、E。求证：DB=2AC
3、课外活动小组在一次测量活动中,
测得∠APB＝60°AP＝BP＝200cm,
他们便得到了一个结论:池塘最长处不
小于200cm.他们的结论对吗
4、如图：O为等边三角形ABC内一点，∠OCB=∠ABO，求∠BOC的度数。
四、中考连接：加油啊！！
1、如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B两处望小岛C，测得∠NAC=15°，∠NBC=30°，若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁的危险？
2、如图：等边三角形ABC，AD为中线，AD=AE，求∠EDC的度数
3、如图：△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，求腰上的高的长。
4、如图：已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证AE=CD。
A
C
B
A
C
B
A
E
C
B
B
A
C
A
E
C
D
B
E
A
F
C
B
B
E
D
C
A
A
）
P
60°
B
A
O
C
B
N
C
D
B
A
A
E
D
C
B
A
C
B
A
E
D
C
B七年级上数学学案
3.4实际问题与一元一次方程（1）
学习目标：掌握用一元一次方程解决销售问题；进一步熟悉列方程解应用题的一般步骤。
学习重点：列方程解决销售问题。
难点：分析问题中量与量之间的关系。
学习过程：
一、知识频道
想一想： 商品利润率=×100%
即 商品利润=商品价格×（ ）
做一做:
1.某商店进了一批商品，每件商品进价为a 元，若要获利20%，则每件商品的零售价应定为 （ ）
A. 20%a元 B. (1－20%)a元
C. (1+20%)a元 D. a÷(1+20%)元
2某商品的进价是2000元，标价3000元.
①此时的利润是________元，利润率是_________.
②若商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，则售货员最低可以打_____折出售。（提示：实际售价=标价×打折率，例如，标价3000元的商品打八折，实际售价=3000× =2400(元) ）。
二、方法频道
预习课本104页“探究1”
分析：卖两件衣服共卖了120（=60×2）元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服共花了多少钱。如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
由以上分析我们需求出两件衣服的进价，若设盈利25%的衣服的进价为x元，则可列方程：
___________________________
可求得: x=______
类似地，设亏损25%的衣服的进价为y元，则可列方程:
__________________________
可求得: y=_______
由上可得两件衣服的进价是x+y=_____元，而两件衣服的售价是120元，
由此可得结论.
请同学们写出完整的解答过程：
小结：列一元一次方程的步骤：
①审清题目中数量关系和相等关系.
②用未知数表示题目中的一个量，根据等量关系列方程.
③解方程，求未知数，检验后写答案.
④简单地说为：审. 设. 列. 解. 验. 答.
三、习题频道
（一）巩固训练
★ 1.一家商店将某种服装进价提高50%作为标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍可获利30元，这种服装每件的进价应为多少元？
★2.某商店一天内销售两种书，甲种书共卖了1560元，为了照顾贫困山区学生，乙种书共卖了1350元，已知甲种书盈利25%，乙种书亏损了10%,则该书店是盈还是亏？亏或盈多少？
（二）拓展提高
★3.某市百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给予优惠，超过200元，而不足500元优惠10%，超过500元，其中500元按九折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元.
此人两次所购买的物品如果不打折值多少钱？
在此次活动种，他节省了多少钱？
若此人将两次购物的钱合起来购物，是节省还是亏损？说明你的理由.
（三）中考链接
某厂投入200000元购置生产某新型工艺品的专用设备和模具，共生产这种工艺品x件，又知生产每件工艺品还需投入350元每件工艺品以销售价550元全部售出，生产这种工艺品的销售利润＝销售总收入－总投入.
则下列说法错误的是：
A.若产量x＜1000,则销售利润为负值
B.若产量x＝1000，则销售利润为零
C.若产量x＝1000，则销售利润为200000元
D.若产量x＞1000，则销售利润随着产量的增大而增加12.2.2 用坐标表示轴对称
学习目标：
1、能理解平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律；
2、能作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形
3、通过现实情景的创设，使学生体验到数学就在我们身边，从而培养审美情趣。
4、在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习的乐趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点：用坐标表示某点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点：找对称点的坐标之间的关系、规律。
方式：采用小组合作、交流，让学生动手实践，形成自己的学习方式；画图时，标出正确的坐标 。
双边过程：
一．动手画一画：
已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗
二 发现之旅
1、在平面直角坐标系中画出下列已知点。课本43
A（2，-3）；B（-1，2）；C（-6，-5）；
D（3，5）；E（4，0）；F（0，-3）。
2、画出这些点分别关于x轴、y 轴对称的点。并填写表格。
已知点 A(2,-3) B(-1，2） C(-6,-5） D（3，5） E（4，0） F(0,-3)
关于x轴对称点
关于y轴对称点
3、请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？
4、尝试再找几个点，分别画出它们的对称点
5、小组合作，总结规律
在平面直角坐标系中：关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
即：点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为(x, - y)；
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)
三 学以致用
1 有关用坐标表示的生活中的轴对称图例：
一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
2、说出下列各点关于x轴、y轴对称的点的坐标：
(2,-3)；(-1,2)；(-6,-5)；(0,-1.6)； (4,0)。
3、如下图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），说出点B的坐标。
4、 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、 C（－2，5） 、D（－5，4），分别作出四边形关于x轴与y轴对称的图形。
4、归纳画法（1）求出对称点的坐标；
（2）描点；
（3）连接点。
四 巩固提高
如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,画出△ABC和y轴对称的图形.
·
A
M
N
·
A
B
C
D12.2.1 作轴对称图形
学习目标：1.认识轴对称变换的特征。
2.能够作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.
3.能够利用轴对称变换进行简单的图案设计，感受数学美.
4.体会轴对称变换在现实生活中的应用.
重点： 能够作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.
难点： 体会轴对称变换在现实生活中的应用.
学习过程：
一 知识频道（交流与发现）
想一想
在一张半透明的纸的左半部分画一张笑脸，把纸对折后描图，就会得到相应的笑脸。这时两张笑脸成（ ），（ ）就是它们的对称轴，连接任意一对对应点的线段被对称轴 （ ）.
2. 试一试
同理，可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程可以得到美丽的图案.
3.议一议
对称轴方向和位置发生变化时，得到图形的（ ）和（ ）也会变化.
4.悟一悟
像上面，（ ）叫轴对称变
换.
轴对称变换是一种变换，是由一个图形得到与他轴对称的图形的运动过程.
理解两点：一是轴对称变换前后两个图形（ ）
二是对应点连线被对称轴（ ）.
二 方法频道
1.作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.
已知：△ABC和直线L。
求作：△A/B/C/与△ABC关于直线L成轴对称。
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线L的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。
归纳：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出特殊点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴
对称图形。
感悟：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过（ ）得到的。
2．补图
例2．把下图补成以L为对称轴的轴对称图形。
感悟：一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经（ ）扩展而成的。
三．思维频道
要在管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供汽，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输汽管线最短？
分析：首先把数学问题转化为实际问题，把管道近似看成直线L，两个小镇看作A ，B两点，问题就是要在l上找一点C，使AC+BC和最小。
我们知道“两点之间线段最短”，可连接AB与直线没有交点。那么A点不动，能否在直线的另一侧找到一点B/，使B/与B到直线上同一点的距离相等，求AC+BC就是求AC+B/C和最小.
·
作法：（1）作点B关于直线l的对称点B/
（2）连接AB/交直线于点C。
思考：怎样证明AC+BC最小呢？
四．练习吧
基础练习
41页1题，45页1题。
拓广探索
46页8，9题。
A B
l
B
A
∟ L
C
· B/12.1轴对称
教学目标：1通过观察实物图形 及折纸游戏，得到轴对称图形的概念。2掌握图形轴对称的性质。3掌握线段垂直平分线的性质。
重点：上面的两条性质。
难点：性质的应用。
教学过程：
知识频道
1观察并填空：请同学们欣赏图片
4阅读课本并填空：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对
______所连线段的 。
轴对称图形的 ，是任何一对对应点所连 的 。
二：方法频道：
先自学课本例题，再小组讨论疑难问题。
三：习题频道： 1．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来。
2．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：
3．如图，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗？实际中这个算式是什么？（写出即可）
4复习巩固：课本124页练习，125页1至8题
5拓展延伸：课本9至12题
6中考链接：⑴如图，△ABC与△A1B1C1关于直线L对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2。由此得出下列判断：①AB∥A2B2；②∠A=∠A2；③AB=A2B2；其中正
确的是（ ）。
A①② B②③ C①③ D①②③
⑵如图，已知直线L及同旁的两点A、B，在直线L取一点C，使AC+BC最小。
⑶如图，两条公路交汇于点O，公路旁有两个小镇C、D，现修建一个加油站到两条公路的距离相等，到两个小镇C、D的距离也相等，请你找出符合条件的加油站位置。
2这些图形有什么共同特点？ 请你利用手中的工具制作一个具有轴对称特征的图形 。
轴对称图形：如果 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
练习:下面的图形是轴对称图形吗 如果是,你能指出它的对称轴吗
请大家仔细观察两个图形是否也有这样的特征呢？
你观察到了什么？
3、试一试：标出图中点A、B、C的对称点A1、B1、C1。
B
C
C
B
Ｎ
Ｍ
A
B
C
A
C
B
D
A
B
A
C
O
B
L
