11-12学年高二数学：第二章 章末综合训练 （人教A版选修2-2）【含解析】
文档属性
| 名称 | 11-12学年高二数学：第二章 章末综合训练 （人教A版选修2-2）【含解析】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 22.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-09-13 09:48:56 | ||
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文档简介
选修2-2 2章末 综合训练
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．以上都不是
[答案] B
[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B.
2．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0计算a2、a3，猜想an＝( )
A．n
B．n2
C．n3
D.－
[答案] B
[解析] 当n＝1时，有(a2－a1)2－2(a2＋a1)＋1＝0
又a1＝1，解之得a2＝4＝22，
当n＝2时，有(a3－a2)2－2(a3＋a2)＋1＝0
即a－8a3＋9－2a3－8＋1＝0
解之得a3＝9＝32，
可猜想an＝n2，故应选B.
3．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．一点与一直线
D．同一条直线
[答案] D
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.
4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
[答案] B
[解析] 当n＝k时上式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3…·(2k－1)，
当n＝k＋1时原式左边为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)
所以由k增加到k＋1时，可两边同乘以2(2k＋1)．故应选B.
5．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．|a|＝|b|
D．|a|≠|b|
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝－abx2＋(a2－b2)x＋ab且f(x)的图象为一条直线，
∴a·b＝0即a⊥b，故选A.
二、填空题
6．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等；真
[解析] 类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．
7．推理某一三段论，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断：该三段论的另一前提必为________判断．
[答案] 否定
[解析] 当另一前提为肯定判断时，结论必为肯定判断，这不合题意，故应为否定判断．
8．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________________；f(n)＝______________.(答案用数字或n的解析式表示)
[答案] 12
[解析] 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝C＝.
从图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，也可以归纳出一侧棱对应底面三条线成异面，其中四条侧棱应有4×3对异面直线．所以f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝或一条棱对应C－(n－1)＝对异面直线．
故共有n·对异面直线．
三、解答题
9．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
[解析] (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)
令x＝0，得yM＝
同理得yN＝－
所以yMyN＝
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)
所以yMyN＝＝b2
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
10．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
[解析] (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式成立．
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．以上都不是
[答案] B
[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B.
2．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0计算a2、a3，猜想an＝( )
A．n
B．n2
C．n3
D.－
[答案] B
[解析] 当n＝1时，有(a2－a1)2－2(a2＋a1)＋1＝0
又a1＝1，解之得a2＝4＝22，
当n＝2时，有(a3－a2)2－2(a3＋a2)＋1＝0
即a－8a3＋9－2a3－8＋1＝0
解之得a3＝9＝32，
可猜想an＝n2，故应选B.
3．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．一点与一直线
D．同一条直线
[答案] D
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.
4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
[答案] B
[解析] 当n＝k时上式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3…·(2k－1)，
当n＝k＋1时原式左边为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)
所以由k增加到k＋1时，可两边同乘以2(2k＋1)．故应选B.
5．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．|a|＝|b|
D．|a|≠|b|
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝－abx2＋(a2－b2)x＋ab且f(x)的图象为一条直线，
∴a·b＝0即a⊥b，故选A.
二、填空题
6．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．
[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等；真
[解析] 类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．
7．推理某一三段论，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断：该三段论的另一前提必为________判断．
[答案] 否定
[解析] 当另一前提为肯定判断时，结论必为肯定判断，这不合题意，故应为否定判断．
8．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________________；f(n)＝______________.(答案用数字或n的解析式表示)
[答案] 12
[解析] 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝C＝.
从图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，也可以归纳出一侧棱对应底面三条线成异面，其中四条侧棱应有4×3对异面直线．所以f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝或一条棱对应C－(n－1)＝对异面直线．
故共有n·对异面直线．
三、解答题
9．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
[解析] (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)
令x＝0，得yM＝
同理得yN＝－
所以yMyN＝
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)
所以yMyN＝＝b2
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
10．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
[解析] (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式成立．