11-12学年高二数学:第三章 数系的扩充与复数的引入 综合检测 (人教A版选修2-2)【含解析】

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名称 11-12学年高二数学:第三章 数系的扩充与复数的引入 综合检测 (人教A版选修2-2)【含解析】
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文件大小 25.7KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2011-09-13 09:48:56

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文档简介

第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z是实数的充分而不必要条件为(  )
A.|z|=z    B.z=
C.z2是实数 D.z+是实数
[答案] A
[解析] 由|z|=z可知z必为实数,但由z为实数不一定得出|z|=z,如z=-2,此时|z|≠z,故|z|=z是z为实数的充分不必要条件,故选A.
2.(2010·湖北理,1)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是(  )
A.E     B.F    
C.G     D.H
[答案] D
[解析] 由图可知z=3+i,
∴====2-i,对应复平面内的点H,故选D.
3.(2010·荷泽高二期中)化简的结果是(  )
A.2+i B.-2+i
C.2-i D.-2-i
[答案] C
[解析] ==2-i.
4.在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i、-2+i、0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(  )
A.3+i B.3-i
C.1-3i D.-1+3i
[答案] D
[解析] 在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为-1+3i.
5.(2010·新课标全国文,3)已知复数z=,则|z|=(  )
A.     B.    
C.1     D.2
[答案] B
[解析] 由题知:z====-+i,可得|z|==,故选B.
6.当z=-时,z100+z50+1的值是(  )
A.1 B.-1
C.i D.-i
[答案] D
[解析] 原式=100+50+1
=50+25+1
=(-i)50+(-i)25+1=-i.故应选D.
7.复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=(  )
A.2 B.
C.- D.-2
[答案] A
[解析] (1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,∴,∴b=2.
8.复数z=-1,在复平面内z所对应的点在(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] B
[解析] z=-1=-1=-1+i.
9.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于(  )
A. B.
C.- D.-
[答案] A
[解析] z1·2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为z1·是实数,所以4t-3=0,所以t=.因此选A.
10.已知复数z=1-i,则=(  )
A.2i B.-2i
C.2 D.-2
[答案] B
[解析] ∵z=1-i,
∴===-2i,故选B.
11.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是(  )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法1:将选项代入验证即可.验证时,从最特殊的角开始.
解法2:z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)
+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1,
∴,∴2θ=2kπ+π(k∈Z),
∴θ=kπ+(k∈Z),令k=0知选D.
12.设复数z=lg(m2-1)+i,z在复平面内的对应点(  )
A.一定不在一、二象限
B.一定不在二、三象限
C.一定不在三、四象限
D.一定不在二、三、四象限
[答案] C
[解析] ∵,∴m<-1,此时lg(m2-1)可正、可负,>,故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上)
13.已知x+=-1,则x2006+的值为________.
[答案] -1
[解析] ∵x+=-1,∴x2+x+1=0.
∴x=-±i,∴x3=1.
2006=3×668+2,x2006=x3×668+2=x2,
∴x2006+=x2+=2-2=(-1)2-2
=-1.
14.若x、y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则|x|+|y|=________.
[答案] 2
[解析] ∵x、y为共轭复数,∴x+y、xy∈R
由复数相等的条件有:
设x=a+bi(a、b∈R),则y=a-bi,
∴,∴|x|+|y|=2=2.
15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数x、y的值分别为________.
[答案] x=1,y=1
[解析] 原式可以化为
(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i,
根据复数相等的充要条件,有
解得
16.下列命题中,错误命题的序号是____________.
①两个复数不能比较大小;②z1,z2,z3∈C,若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z3;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④z是虚数的一个充要条件是z+∈R;⑤若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数;⑥复数z∈R的一个充要条件是z=;⑦在复数集内,-1的平方根是±i;⑧z+z=0 z1=z2=0.
[答案] ①②③④⑤⑧
[解析] ①错误,两个复数如果都是实数,则可比较大小;②错误,当z1,z2,z3不全是实数时不成立,如z1=i,z2=1+i,z3=1时满足条件,但z1≠z3;③错误,当x=-1时,虚部也为零,是实数;④错误,此条件是必要非充分条件;⑤错误,当a=b=0时,是实数;⑥是正确的;⑦是正确的;⑧错误,如z1=i,z2=1满足i2+12=0,但z1≠0,z2≠0.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点,点A对应复数是3+i,向量对应复数是-2-4i,向量表示的复数是-4-i,求B点对应复数.
[解析] ∵表示的复数是2+4i,
表示的复数是4+i,
∴表示的复数为(4+i)-(2+4i)=2-3i,
故=+对应的复数为
(3+i)+(2-3i)=5-2i,
∴B点对应的复数为zB=5-2i.
18.(本题满分12分)已知(1+2i)=4+3i,求z及.
[解析] 设z=a+bi,则=a-bi(a,b∈R)
∴(1+2i)(a-bi)=4+3i
∴(a+2b)+(2a-b)i=4+3i
∴,∴a=2,b=1,∴z=2+i,
∴=2-i,
∴===+i.
19.(本题满分12分)虚数z满足|z|=1,z2+2z+<0,求z.
[解析] 设z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x2+y2=1.
则z2+2z+=(x+yi)2+2(x+yi)+
=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.
∵y≠0,z2+2z+<0,

又x2+y2=1.      ③
由①②③得
∴z=-±i.
20.(本题满分12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
[解析] (1)设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件得:a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i.所以点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.
当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.
所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1.即△ABC的面积为1.
21.(本题满分12分)已知复数z1,z2满足条件|z1|=2,|z2|=3,且3z1+2z2=6,求复数z1和z2.
[解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则a2+b2=4,c2+d2=9,由3z1+2z2=6,得(3a+2c)+(3b+2d)i=6,
由复数相等得
解方程组得或
所以或
22.(本题满分14分)已知复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,且a为常数,试求|z|的最小值g(a)的表达式.
[解析] |z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.
令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.
从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,
当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;
当-a<2,即a>-2时,g(a)==|a+1|.
综上可知,g(a)=