11-12学年高二数学：第一章 章末综合训练 （人教A版选修2-2）【含解析】

选修2-2 第1章章末综合训练
一、选择题
1．已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有(　　)
A．1个　　　　　　　　
B．2个
C．多于两个
D．不能确定
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，
令3x2＝1，得x＝±，
即切点坐标为或.
由点斜式可得切线方程为y－＝x－或y＋＝x＋，即y＝x－或y＝x＋.故应选B.
2．y＝sin2x＋cos2x的导数是(　　)
A．2cos2x＋2sin2x
B．2cos2x－2sin2x
C．2cos2x＋sin2x
D．2sin2x－2cos2x
[答案]　B
[解析]　y′＝(sin2x＋cos2x)′＝(sin2x)′＋(cos2x)′
＝cos2x·(2x)′－sin2x·(2x)′
＝2cos2x－2sin2x，故应选B.
3．y＝x＋sinx在(0，π)上是(　　)
A．单调递减函数
B．单调递增函数
C.上是增函数，上是减函数
D.上是减函数，上是增函数
[答案]　B
[解析]　∵y′＝1＋cosx，又x∈(0，π)
∴y′>0，∴函数为增函数，故应选B.
4．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1或x2＝1，
f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，
∴f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
5．电灯A可在点A与桌面的垂直线上移动(如图)，在桌面上另一点B离垂足O的距离为a，为使点B处有最大的照度(照度I与sin∠OBA成正比，与r2成反比，且比例系数均为正的常数)，则电灯A与点O的距离为(　　)
A.a
B.a
C.a
D.a
[答案]　B
[解析]　根据题意得I＝，
而sin∠OBA＝，r＝(OA＝x)
令I′＝0得a2－2x2＝0，∴x2＝.∴x＝a.
当00；x>a时，I′<0.
因此当电灯A与点O的距离为a，点B处有最大的照度．故应选B.
二、填空题
6．如果10N的力能使弹簧压缩1cm，那么把弹簧压缩10cm要做的功为________．
[答案]　5J
[解析]　F＝k·Δx，∴10＝k×0.01，
∴k＝1000N/m，
∴W＝∫kxdx＝kx2＝×1000×0.12＝5(J)．
7．当函数y＝x·2x取得最小值时，x＝________.
[答案]　log2
[解析]　y′＝2x＋x·2xln2.
令y′＝0得1＋xln2＝0，∴x＝log2.
当x∈时y′<0，
x∈时y′>0.
∴当x＝log2时，函数取最小值，此时x＝log2.
8．定积分cdx(c为常数)的几何意义是________．
[答案]　表示由直线x＝a，x＝b，y＝c，y＝0(a[解析]　由定积分的定义可得．
三、解答题
9．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2与抛物线C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直．
(1)求a、b的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
[解析]　(1)设两条抛物线的交点为A(x0，y0)．
由题意得x－2x0＋2＝－x＋ax0＋b
整理得2x－(2＋a)x0－b＋2＝0①
由导数可得抛物线C1、C2在点A处的切线的斜率为k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a，且k1·k2＝－1.
即(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1②
由①②消去x0得a＋b＝.
(2)由a＝－b>0知0令y＝ab，则y＝ab＝b＝－b2＋b，
y′＝－2b＋＝0.
∴b＝.
当b∈时，y′>0.b∈时，y′<0.
∴当b＝时，(ab)max＝－2＋×＝.
即当a＝b＝时，ab取得最大值.
10．(2010·全国Ⅱ文，21)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，
f′(x)＝3[(x－2＋)(x－2－)]
当x∈(－∞，2－)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)单调递增；
当x∈(2－，2＋)时，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)单调递减；
当x∈(2＋，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)单调递增．
综上，f(x)的单调递增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，
f(x)的单调递减区间是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]
当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点．
当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根．
x1＝a－，x2＝a＋
由题意知，2或2由①②解之得a∈，
综上，a的取值范围为.