中小学教育资源及组卷应用平台
1.集合与元素
一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。
2．集合的特征
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A；不属于()，a?A．
(3)自然数集：N；正整数集：N
或N＋；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.
(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn图图示法．
3．集合的基本关系
集合与集合：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例1：用适当的方法表示下列集合．
(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；
(2)绝对值等于6的数组成的集合；
(3)所有三角形组成的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点组成的集合；
(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(6)24的所有正因数组成的集合；
(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．
(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．
(3)用描述法表示为{x|x是三角形}或{三角形}．
(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x，x≠0}．
(5)用描述法表示为{x|2＜x＜5，且x∈Q}．
(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(7)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|到y轴的距离为|x|所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
例2：下列各组集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】对于A，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合；
对于B，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合；
对于C，集合的元素是数，集合的元素是等式；
对于D，，集合的元素是点，，
集合的元素是点，集合不表示同一集合．
一、选择题
1．下列各组对象中能构成集合的是（
C
）
A．充分接近的实数的全体
B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数
D．未来世界的高科技产品
2.
下列命题中正确的是( C )
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4A．①和④ B．②和③
C．②
D．②和④
解析：选C ①中的0不是集合，故①错；由集合中元素的无序性知②正确；由集合中元素的互异性知③错；因为集合{x|43．下列各组中的M、P表示同一集合的是( C )
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} ②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)} ③M＝{y|y＝x2－1}，P＝{t|t＝x2－1}
④M＝{y|y＝x2－1}，P＝{(x，y)|y＝x2－1}
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：选C 在①中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故①错误；
在②中，M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故②错误；在③中，M＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，
P＝{t|t＝x2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故③正确；在④中，M＝{y|y＝x2－1}表示数集，
P＝{(x，y)|y＝x2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故④错误，故选C.
4．集合用描述法可表示为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 由3，，，，即，，，，从中发现规律，x＝，n∈N
，故可用描述法表示为.
5．(2019·济南高一检测)集合{x|x2－6x＋9＝0}中的所有元素之和为( )
A．0
B．3
C．6
D．9
解析：选B ∵{x|x2－6x＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.
6．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（
B
）
A．1或－1
B．1或3
C．－1或3
D．1，－1或3
7．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( B )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
解析：选B 因为M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{(2,2)，(5,0)}，所以M为有限集．
N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}中有无限多个点满足4x－3y＝1，故N为无限集．
8．下列集合中，是空集的是（
B
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】对于A选项，，不是空集，对于B选项，没有实数根，
故为空集，对于C选项，显然不是空集，对于D选项，集合为，故不是空集．
9．集合中的不能取的值的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】由题意可知，且且，故集合中的不能取的值的个数是个．
二、填空题
1．（2018?重庆期中）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
【答案】{4,9,16} [由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]
以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②??{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈?；⑤A∩?=A，正确的个数有
2
个。
已知集合M＝{a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是
等腰
三角形。
如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是
0或﹣1
若集合为{1，a，
}={0，a2，a+b}，则b﹣a=
1
．
6．(2019·新乡高一检测)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为________．
答案：－。解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题意．所以m＝－.
解答题
1.
已知,
,求实数的值.
【解析】因为，所以有或，
显然，
当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，
故.
2．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3,1}，
所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.
由根与系数的关系得
解得所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
3.
在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？
（1）小于100的全体素数组成的集合；
（2）线段内包含中点的所有线段组成的集合；
（3）；
（4）.
【解析】（1）因为小于100的全体素数为:
其个数可数,故该集合为非空的有限集;
（2）因为线段内包含中点的所有线段个数不可数,故该集合为无限集;
（3）因为方程无实数根,故该集合为空集;
（4）因为直线上有无穷多个点,故该集合为无限集.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.集合与元素
一般地，把研究对象称为元素，通常用小写拉丁字母a,b,c,...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示。
2．集合的特征
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，a∈A；不属于()，a?A．
(3)自然数集：N；正整数集：N
或N＋；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.
(4)集合的表示方法：自然语言表示法、字母表示法、列举法、描述法、Venn图图示法．
例1：用适当的方法表示下列集合．
(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；
(2)绝对值等于6的数组成的集合；
(3)所有三角形组成的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点组成的集合；
(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(6)24的所有正因数组成的集合；
(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
例2：下列各组集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
一、选择题
1．下列各组对象中能构成集合的是（
）
A．充分接近的实数的全体
B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数
D．未来世界的高科技产品
2.
下列命题中正确的是( )
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4A．①和④ B．②和③
C．②
D．②和④
3．下列各组中的M、P表示同一集合的是( )
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} ②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)} ③M＝{y|y＝x2－1}，P＝{t|t＝x2－1}
④M＝{y|y＝x2－1}，P＝{(x，y)|y＝x2－1}
A．①
B．②
C．③
D．④
4．集合用描述法可表示为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2019·济南高一检测)集合{x|x2－6x＋9＝0}中的所有元素之和为( )
A．0
B．3
C．6
D．9
6．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（
）
A．1或－1
B．1或3
C．－1或3
D．1，－1或3
7．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
8．下列集合中，是空集的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．集合中的不能取的值的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．（2018?重庆期中）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②??{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈?；⑤A∩?=A，正确的个数有
个。
已知集合M＝{a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是
三角形。
如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是
若集合为{1，a，
}={0，a2，a+b}，则b﹣a=
．
6．(2019·新乡高一检测)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为________．
解答题
已知,
,求实数的值.
2．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
3.
在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？
（1）小于100的全体素数组成的集合；
（2）线段内包含中点的所有线段组成的集合；
（3）；
（4）.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
