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等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，
2.两个实数大小的比较：
（1）；（2）；（3）。
3.作差比较法步骤：(1)
作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式：一般地，
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)
性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)a>b，ab>0?<；
(2)若a>b>0，m>0，
<
利用不等式性质判断命题真假
例1：（2020·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．
若，则．
（2）若，则．
（3）若，则．
（4）若，则．
若，，则．
利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.．
利用不等式的性质求取值范围
例3：(1)已知2
（2） 已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
选择题
1.（2020·全国高一课时练习）已知，那么的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C.>1
D．a3>b3
已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有( )
A．cB．bC．aD．c设，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
下列不等式中成立的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
若且,则的值与的大小关系是(?
?
)
A.
B.
C.
D.
已知实数，满足，，则a=的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
填空题
已知不等式:①a2b0>；③a30>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是 .?
2.（2020·全国高一课时练习）已知，则的取值范围是________．
3．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac
0.(填“>”“<”或“＝”)
已知，则的取值范围为_____．
5．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
6．设a，b为正实数，有下列命题：其中正确的命题为
(写出所有正确命题的序号)．
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
三、解答题
1.
已知a>b>c>0，求证：>>.
已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)>；
(2)>.
若实数满足求的取值范围.
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等式的性质与不等式的性质一
1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，
2.两个实数大小的比较：
（1）；（2）；（3）。
3.作差比较法步骤：(1)
作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。
4.重要不等式：一般地，
等式的性质与不等式的性质二
1.等式的性质
(1)
性质1
如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5
如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)
3.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)a>b，ab>0?<；
(2)若a>b>0，m>0，
<
利用不等式性质判断命题真假
例1：（2020·浙江高一课时练习）对于实数，判断下列命题的真假．
（1）若，则．
（2）若，则．．
（3）若，则．
（4）若，则．
（5）若，，则．
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.
【解析】（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．
（2），，，，故该命题为真命题．
（3）,又,故该命题为真命题．
（4），，，．故该命题为真命题．
（5）由已知条件，得，，．又，．故该命题为真命题．
利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
利用不等式的性质求取值范围
例3：(1)已知2【答案】－8【解析】∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.
又2（2） 已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
【答案】5≤4a－2b≤10
【解析】 令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.由解得
因为4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.所以5≤4a－2b≤10.
选择题
1.（2020·全国高一课时练习）已知，那么的大小关系是（
C
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】试题分析：由，则，所以，所以，故选C.
与a>b等价的不等式是( D )
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C.>1
D．a3>b3
【答案】D
【解析】可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.
再令a＝－3，b＝－1，
则C正确而不满足a>b，故选D
已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有( A )
A．cB．bC．aD．c解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<.因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c设，则下列不等式恒成立的是（
D
）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，所以当时，A,B不成立，当时，C不成立，选D.
下列不等式中成立的是（
D
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解析】解：A中，时，，故A不一定成立；B中，，可得，故B不一定成立；
C中，令，则，显然，故C不一定成立；由不等式的性质知D正
若且,则的值与的大小关系是(?
A?
)
A.
B.
C.
D.
解析：,
∵,∴,,因此.故.
已知实数，满足，，则a=的取值范围是（
B
）
A．
B．
C．
D．
【解析】令，，,则
又，因此，故本题选B.
填空题
已知不等式:①a2b0>；③a30>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是 .?
解析：因为a>0>b且a2>b2,所以a>|b|>0.
①化简a2bb2,显然正确;
②>0>显然正确;
③化简a32.（2020·全国高一课时练习）已知，则的取值范围是________．
【答案】【解析】因为，则，又由，
根据不等式的基本性质，可得，所以的取值范围是.
3．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac
0.(填“>”“<”或“＝”)
解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，
∴b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.∵a>c，
∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0.
已知，则的取值范围为_____．
解析：∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，
即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]
5．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
解析：∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}．
6．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为
(写出所有正确命题的序号)．
解析：对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.
若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2，即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0三、解答题
1.
已知a>b>c>0，求证：>>.
证明：∵b>c，∴－b<－c.∴a－bb>c，
∴0>0.
又b>0，∴>.∵b>c>0，>0，
∴>，∴>>.
已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)>；
(2)>.
证明：(1)因为c>d>0，所以>>0.又a>b>0，所以>.
(2)因为a>b>0，c>d>0，所以>>0，>>0，所以＋>＋>0，
即>>0，所以>.
若实数满足求的取值范围.
解析：令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,则解得
因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n).
由-1≤2m+3n≤2得≤(2m+3n)≤.
由-3所以--<3m+4n≤+,
即-2<3m+4n≤3.
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