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公式的基本应用：考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。
例1：（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是（
)
A．4
B．3
C．2
D．1
条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法
例2：（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
配凑型：
1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式
例3：（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为
。
换元法
例4：（2019·河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是(
)
A．3
B．4
C．
D．
求参数
例5：（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
实际应用题
例6：（2020·浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（
）
A．米，米
B．米，米
C．米,
米
D．米，米
选择题
1．（2020·全国高一课时练习）若，则的最小值是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
若0
( )
A.aB.a<<C.a<D.3．（2020·全国高一课时练习）已知，则有
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
4.（2020·全国高一课时练习）函数的最小值为
（
）
A．3
B．2
C．
D．
5.
（2020·江西高一期末）已知a，，且满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
6.
（2020·浙江高三月考）已知实数满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(
)
A．6.5m
B．6.8m
C．7m
D．7.2m
二、填空题
若0.
（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．
3．（2020·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；
4.（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值
.
三、解答题
1.
已知x>0,y>0,且
x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
2.
已知均为正数不全相等.求证:
已知a，b都是正数，求证：．
已知a，b，c均为正数,求证:++≥3.
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
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公式的基本应用：考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一
例1：（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是
（
)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D【解析】由，即，所以，时取“=”，
条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法
例2：（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】∵，，
当且仅当，即，时取等号.故选B
配凑型：
1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数
2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式
例3：（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为
【答案】【解析】，所以，，
则，所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．
换元法
例4：（2019·河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是(
)
A．3
B．4
C．
D．
【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，
求参数
例5：（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】.若，则，从而
无最小值，不合乎题意；
若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.
故选：C.
实际应用题
例6：（2020·浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（
）
A．米，米
B．米，米
C．米,
米
D．米，米
【答案】C【解析】设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，则（元），当且仅当时，即当时，
总造价最低，
此时，污水池的宽为米，长为米.故选：C.
选择题
1．（2020·全国高一课时练习）若，则的最小值是
( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C【解析】则，，当时取“=”，
所以正确选项为C
若0( B )
A.aB.a<<C.a<D.答案:B解析:若取a=2,b=8,则=4,=5,所以a<<3．（2020·全国高一课时练习）已知，则有 D
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
【答案】D【解析】
当且仅当即时取等号，故选：．
4.（2020·全国高一课时练习）函数的最小值为
（
）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A．
5.
（2020·江西高一期末）已知a，，且满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】∵，∴．即．
当且仅当时取等号．∴的最小值为故选：C
6.
（2020·浙江高三月考）已知实数满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】设，则，
，，则，，，
设，则，，
解得，的最小值为.故选：B
7.（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(
)
A．6.5m
B．6.8m
C．7m
D．7.2m
【答案】C【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则xy＝4，
此时三角形框架的周长C为：x+y+＝x+y+
∵x+y≥2
＝4∴C＝x+y+≥4+2≈6.83故用7米的铁丝最合适．故选C．
二、填空题
若0解析:因为0①
2ab②
下面寻找②中数值在①中的位置.
因为a2+b2>2()2=,a2+b2=a·a+b2又因为2ab<2()2=,2ab>2×a=a,所以a<2ab<.所以a<2ab<（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．
【答案】【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得
3．（2020·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；
【答案】【解析】采用常数1的替换，，当
即时等号成立，所以答案为．
4.（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值
.
【答案】1【解析】∵，∴∴
所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为
三、解答题
1.
已知x>0,y>0,且
x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
解:因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy≥2+xy,
当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.
所以xy+2-30≤0.
令t=,则t>0,t2+2t-30≤0,(t+5)(t-3)≤0,
所以-5≤t≤3.
又因为t>0,所以0<≤3,所以02.
已知均为正数不全相等.求证:
解析：证明 ∵∴+≥=
+≥=
+≥=2b.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立,
又不全相等,
故上述等号至少有一个不成立.∴.
已知a，b都是正数，求证：．
【解析】∵，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
已知a，b，c均为正数,求证:++≥3.
解析：证明 ∵a，b，c均为正数,
∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得+++++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
∴（+-1）+（+-1）+（+-1）≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即++≥3.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为；
又因为，当且仅当，即时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知得，
又因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.
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