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一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是。
二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点。
3.一元二次不等式的解与解集：使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解集，其解的集合，称为一元二次不等式的解集。
4.
解一元二次不等式常用的方法
（1）因式分解法：一般地，如果，则不等式的解集是；不等式的解集是。
（2）配方法：一元二次不等式通过配方总是可以变为的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
（3）判别式法：
5.
三个“二次”的关系
一元二次方程恒成立问题
一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解；
一元二次不等式f(x)≥0在上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值等于0，从而求参数的范围。
一元二次不等式对于参数恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
选择题
1.（2020·四川省三台中学高一月考）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
2.（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
不等式的解集为（
）
B．
C．
D．
4.（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
6.
在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是( )
A．(3，4)
B．(－2，－1)∪(3，4)
C．(3，4]
D．[－2，－1)∪(3，4]
7.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1]
B．[－4，3]
C．[1，3]
D．[－1，3]
8.
方程的两个不等实根都大于2，则实数k的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
已知方程的一个实根在区间内，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（
B）
A.
B.
C.
D.或
10.
不等式的解集为，则不等式的解集为（
）
A．或
B．
C．
D．或
11.（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
12.
“，”为真命题的充分必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
填空题
若0
0的解集是________.
“，”
为假命题，则实数的最大值为__________．
若，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是_____
4.不等式对恒成立，则的取值范围是______
三、解下列不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
四、解答题
1.
已知方程，根据下列条件，分别求出的范围。
①两根都大于0，
②两根都小于0，
③一根大于0，另一根小于0.
已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。
(1)方程有两个不相等的实根
(2)方程有两个相等的实根
(3)方程有实根
(4)方程无实根
3.
已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
4.
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
5.
已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
6.设函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
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一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是。
二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点。
3.一元二次不等式的解与解集：使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解集，其解的集合，称为一元二次不等式的解集。
4.
解一元二次不等式常用的方法
（1）因式分解法：一般地，如果，则不等式的解集是；不等式的解集是。
（2）配方法：一元二次不等式通过配方总是可以变为的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
（3）判别式法：
5.
三个“二次”的关系
一元二次方程恒成立问题
一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解；
一元二次不等式f(x)≥0在上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值等于0，从而求参数的范围。
一元二次不等式对于参数恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
选择题
1.（2020·四川省三台中学高一月考）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，如图函数开口向上，与轴的交点为：，，可得不等式的解集为：或.
2.（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C【解析】不等式可化为，
所以不等式的解集为.
不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】由得，即，解得，
所以不等式的解集是，故选B．
4.（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】解：因为，所以，解得，
所不等式的解集为，故选：A
5．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】解：因为，所以，解得，即
6.
在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是( )
A．(3，4)
B．(－2，－1)∪(3，4)
C．(3，4]
D．[－2，－1)∪(3，4]
【答案】D [由题意得，原不等式化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，解得1＜x＜a，
此时解集中的整数为2，3，则3＜a≤4；当a＜1时，解得a＜x＜1，
此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a＜－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．]
7.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1]
B．[－4，3]
C．[1，3]
D．[－1，3]
【答案】B [原不等式可化为(x－a)(x－1)
≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，
此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；
当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即18.
方程的两个不等实根都大于2，则实数k的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D【解析】试题分析：由题意知：，解得.
已知方程的一个实根在区间内，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（
B）
A.
B.
C.
D.或
【答案】B【解析】令，∵方程的一个实根在区间
（?1，0）内，另一个实根大于2，故选B.
10.
不等式的解集为，则不等式的解集为（
A
）
A．或
B．
C．
D．或
【答案】A【解析】不等式的解集为,
的两根为，，且，即,解得则不等式可化为
解得
11.（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】由，可得，，所以，，故选：A
12.
“，”为真命题的充分必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】“，”为真命题，对任意的恒成立，
由于函数在区间上单调递增，则，.故选：A.
已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】∵，∴或，即或，∴．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A.
填空题
若00的解集是________.
【答案】 [原不等式可化为(x－a)<0，由0“，”
为假命题，则实数的最大值为__________．
【答案】【解析】由“，”为假命题，可知，“，”为真命题，
恒成立，由二次函数的性质可知，，则实数，即的最大值为．
若，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是_____
【答案】或
4.不等式对恒成立，则的取值范围是______
【解答】解：令（a），，由题意可得（a）在恒成立，结合一次函数的单调性可得：即，解不等式可得或，
故答案为：或．
三、解下列不等式
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
【答案】（7）
（8）
（9）或
四、解答题
1.
已知方程，根据下列条件，分别求出的范围。
①两根都大于0，
②两根都小于0，
③一根大于0，另一根小于0.
【解析】设方程的两根分别为，则，，
①两根都大于0，
②两根都小于0，
③一根大于0，另一根小于0.
已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围。
(1)方程有两个不相等的实根
(2)方程有两个相等的实根
(3)方程有实根
(4)方程无实根
【解析】
(1)方程有两个不相等的实根
(2)
方程有两个相等的实根
(3)
方程有实根
(4)
方程无实根
3.
已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
【答案】解 (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2∴原不等式的解集为{a|3－2(2)f(x)>b的解集为(－1，3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
等价于解得
4.
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
【解析】（1）不等式，可化为：.
①当时，不等式的解集为；
②当时，由，则不等式的解集为；
③当时，由，则不等式的解集为；
（2）不等可化为：.
由不等式的解集为可知，1和4是方程的两根.
故有，解得.
由时方程为的根为1或4，则实数的值为1.
5.
已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解析】由，得，由得，即，
也就是或者，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或，解得或
所以的取值范围是或．
6.设函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）若，原不等式可化为，解得；
若，原不等式可化为，解得或；
若，原不等式可化为，其解得情况应由与1的大小关系确定，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由得，
∵，∴，∴
∴在上恒成立，即在上恒成立，
令，则只需
又∵，∴
∴，当且仅当时等式成立.
∴的取值范围是.
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