2.1曲线与方程 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
2.1曲线与方程
一、单选题
1.方程
表示的图形是（
??）
A.?圆?????????????????????????????????B.?两条直线?????????????????????????????????C.?一个点?????????????????????????????????D.?两个点
2.下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（??
）
A.?（0，0）??????????????????????????B.?（1，﹣1）??????????????????????????C.???????????????????????????D.?（1，1）
3.已知
，
，则以
为斜边的直角三角形的直角顶点
的轨迹方程是（?
?）
A.?????????????
??B.????????????
C.?????????
??????D.?
4.方程
表示的图形经过点
，
，
，
中的（?
?）
A.?个?????????????????????????????????????B.?个?????????????????????????????????????C.?个?????????????????????????????????????D.?个
5.已知两点
、
，点
为坐标平面内的动点，满足
，则动点
的轨迹方程为（
??）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
6.方程
表示的曲线是(?
?
)
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????????D.?
7.曲线
的图像（????
）
A.?关于x轴对称???????????????????????????????????????????????????????B.?关于原点对称,但不关于直线
对称
C.?关于y轴对称???????????????????????????????????????????????????????D.?关于直线
对称，关于直线
对称
8.已知坐标满足方程
的点都在曲线
上，那么（?
?）
A.?曲线
上的点的坐标都适合方程
?????????
B.?凡坐标不适合
的点都不在
上
C.?不在
上的点的坐标必不适合
??????????
D.?不在
上的点的坐标有些适合
，有些不适合
9.方程为
的曲线，给出下列四个结论：
①
关于
轴对称；②
关于坐标原点对称；
③
关于y轴对称；
④
，
；
以上结论正确的个数是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是(???
)
A.?b≥2
或b≤－2
????????
????B.?b≥2或b≤－2????????????
C.?－2≤b≤2??????
??????D.?－2
≤b≤2
11.一条线段的长等于
，两端点
分别在
轴和
轴上滑动，
在线段
上且
，则点
的轨迹方程是（
??）
A.???????????
??????B.?????????????????
C.??????????????
???D.?
12.已知点
．若曲线
上存在两点
，使△
为正三角形，则称
为
型曲线．给定下列三条曲线：
①
；②
；③
．
其中，
型曲线的个数是（
???）
????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.已知曲线
，则曲线
（???
）
A.?关于
轴对称??????????
???B.?关于
轴对称?????????????
C.?关于原点对称?????????
????D.?关于直线
轴对称
三、填空题
14.一动点到
轴距离比到点
的距离小
，则此动点的轨迹方程为________.
15.如图，在△
中，已知
，
于
，△
的垂心为
，且
，则点
的轨迹方程为________.
16.设
，
是曲线
的两点，则
的最大值是________
17.数学中有许多形状优美?寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）．
给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横?纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上存在到原点的距离超过
的点；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有错误结论的序号是________．
四、解答题
18.已知B
，
C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
已知线段
与
互相垂直平分于点
，
动点
满足
.求动点
的轨迹方程．
20.已知方程
（1）判断
两点是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点
在此方程表示的曲线上，求
的值．
21.已知曲线
是动点
到两个定点
、
距离之比为
的点的轨迹.
（1）求曲线
的方程；
（2）求过点
且与曲线
相切的直线方程.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：由已知得
即
?
所以方程表示点
．
故答案为：C
【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案.
2.答案：
C
解：把（0，0）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（0，0）不在曲线上．
把（1，﹣1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，﹣1）不在曲线上．
把（0，﹣
）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，成立，所以点（0，﹣
）在曲线上．
把（1，1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，1）不在曲线上．
故选：C．
【分析】通过选项点的坐标代入方程，判断即可．
3.答案：
D
解：设
，∵△
为直角三角形，∴
∴
，整理得
.
∵
不共线，∴
，∴轨迹方程为
．
故答案为：D
【分析】根据坐标向量垂直等价于数量积为0建立等量关系得到轨迹方程；或者根据圆周角定理直接得到圆心坐标与半径，直接写出轨迹圆的标准方程；也可根据Rt三角形的勾股定理建立等量关系.
4.答案：
C
解：由方程
，可知
，
两点不符合题意；
对于点
，
，则有
；
对于点
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据对数函数的真数必须要满足正数，排除不符合的坐标；再把点代入方程检验是否成立，从而可得到答案.
5.答案：
D
解：由
，
得
，
∴
.
故答案为：D
【分析】直接根据坐标向量的模与数量积得到题设等量关系的方程.
6.答案：
D
解：因为
表示圆心在原点,半径为1的圆,
又
,说明图像在二,四象限,
故答案为：D.
【分析】结合方程表示的是圆心为（0，0），半径为1的圆，由xy＜0，可得：x＞0时，y＜0，x＜0时，y＞0，即x与y异号，根据上步分析可得（x，y）在二、四象限，结合图像即可得出答案.
7.答案：
D
解：A．
，所以不关于
轴对称；
B．
，
，
所以关于原点对称，也关于直线
对称；
C．
，所以不关于
轴对称；
D．
，
所以关于直线
对称，同时也关于直线
对称.
故答案为：D.
【分析】构造二元函数
，分别考虑
与
、
、
、
、
的关系，即可判断出相应的对称情况.
8.答案：
C
解：根据题意可以举例方程
为
，曲线
为单位圆，
可知方程表示的曲线为曲线
的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.
【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误；B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误；如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误.
9.答案：
B
解：由题意，方程
，
对于①中，用-y代替y，可得方程
，
所以方程表示的曲线关于
轴对称；
对于②中，用-x代替x，用-y代替y，可得方程
，
所以方程表示的曲线不关于原点对称；
对于③中，用-x代替x，可得方程
，
所以方程表示的曲线不关于
轴对称；
对于④中，方程
，可化为
，
可得
，解得
，
又由
，
即
，解得
.
综上可得①④是正确的.
故答案为：B.
【分析】①中，用y代替y，可判定曲线关于x轴对称；②中，用-x代替x，用y代替y，可判定曲线不关于原点对称；③中，用-x代替x，可判定曲线不关于x轴对称；④中，化简方程
和
，得出不等式，即可求解.
10.答案：
B
解：因为方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2分别表示直线和圆，
所以方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，
可转化为直线与圆至多有两个交点，
当圆x2＋(y－b)2＝2与两条直线
都相切时，
根据圆心到直线的距离等半径可得
，
即
?或
时，圆与直线有两个交点，
当圆与直线相离时无交点，此时
或
，
综上可知
b≥2或b≤－2，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得直线与x2＋(y－b)2＝2相切或相离，利用点到直线的距离公式即得。
11.答案：B
解：设
?
则
.∵
，
，
∴
即
代入
，
得
，即
，
故答案为：B.
【分析】A,B坐标满足斜边为10的勾股定理可建立等量关系，A,B,M三点共线联立题设向量的等量关系可直接得到轨迹方程.
12.答案：
C
解：结合图象定性分析：
表示一条线段，线段上存在两点
，使△
为正三角形；
②
表示圆
位于第二象限的一部分，不存在满足条件的点；
③
表示位于第四象限的一支双曲线，结合其对称性知存在满足条件的点.
故答案为：C.
【分析】阅读理解型问题一定要理解题设的要求；题目所给的三条曲线要根据曲线方程与取值范围通过数形结合的思想方法作出图像；结合组成正三角形的条件即可判断。
二、多选题
13.答案：
A,B,C,D
解：
，则
；
；
成立，
故曲线关于
轴对称，关于
轴对称，关于原点对称；
取曲线
任一点
关于直线
轴对称点为
，
则成立.
故答案为：
【分析】根据
；
；
；
都成立得到答案.
三、填空题
14.答案：或
解：设动点为
，则由条件得
，
平方得
，
当
时，
；当
时，
，
所以动点的轨迹方程为
或
.
【分析】假设动点的坐标后，根据等量关系建立方程，即可得到答案.
15.答案：
解：设点
的坐标为
，
点坐标为
，则
，
则又
故
，
，
故点
的轨迹方程为
.
【分析】构建平面直角坐标系，联立题设条件，通过坐标向量的共线与垂直得到轨迹方程.
16.答案：
解：由题意，
的面积为
，
所以
的最大值为的最大值，
曲线
，
即
表示以
为圆心，以
为半径的圆，
当圆内接等边三角形，三角形的面积取得最大值，
此时圆
，内接正三角形的边长为
，
此时圆内接正三角形的最大面积为
，
所以
的最大值为
.
【分析】根据题意得的面积，得出
的最大值为
的最大值，根据已知条件得出当圆内接等边三角形，三角形的面积取得最大值，求得圆内接正三角形的最大面积即可得出结果.
17.答案：
②③
解：将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，
当
时，代入可得
，解得
，
即曲线经过点
，
当
时，方程变换为
，
由
，解得
，
所以
只能去整数
，当
时，
，
解得
或
，即曲线经过
，
根据对称性可得曲线还经过
，
所以曲线一共经过6个整点，所以①是正确的；
当
时，由
，可得
，
当且仅当
时取等号，
所以
，所以
，
即曲线C上
轴右边的点到原点的距离不超过
，
根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
，所以②不正确；
如图所示，
在x轴上图形的面积大于矩形
的面积：
，
x轴下方的面积大于等腰三角形
的面积：
，
所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于
，所以③不正确的.
故答案为：②③.
【分析】将x换成-x方程不变，得到图形关于y轴对称，根据对称性分类讨论，逐一判定即可求解.
四、解答题
18.答案：
以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，
因此点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上，
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以点A的轨迹方程为
(y≠0)．
【分析】利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
答案：解：以
为原点，分别以直线
为
轴，
轴建立平面直角坐标系，
则，
设
为轨迹上任意一点，
则
，
，
，
.
因为
，
所以
化简得
，
所以所求轨迹方程为
.
【分析】在求轨迹方程时，首先建立适当的平面直角坐标系；根据题设条件把每个端点的坐标表示出来；再根据题设的等量关系联立，得到轨迹方程.
答案：
（1）解：因为
，而
，
所以点
在方程表示的曲线上，点
不在方程表示的曲线上；
（2）解：因为点
在方程
表示的曲线上，
所以
解得
或
.
【分析】由方程可知这是圆的标准方程，可得到圆心坐标与半径的大小；
（1）将点代入方程看是否符合方程成立，若成立则说明点在曲线上，否则就不在；
（2）将点带入方程即可建立等量关系，根据等量关系得到参数m的解。
21.答案：
（1）解：设点
，
由
及两点间的距离公式，得
，
①
将①式两边平方整理得
，
即所求曲线方程为
；
（2）解：由（1）得
，表示圆心为
，半径为
的圆.
（i）当过点
的直线的斜率不存在时，直线方程为
，显然与圆相切；
（ii）
当过点
的直线的斜率存在时，
设其方程为
，即
，
由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，
即，解得
，
此时直线方程为
，
所以过点
且与曲线
相切的直线方程为
，
.
【分析】（1）可根据题设所给的条件建立等量关系，直接得到曲线的方程；
（2）用点斜式假设直线方程时，必须要讨论斜率的存在问题；再根据题设的条件与所假设的直线方程得到最后答案.
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精品试卷·第
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