2.2椭圆 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
2.2椭圆
一、单选题
1.已知
?
是定点，
.若动点M满足
，则动点M的轨迹是（???
）
A.?直线??????????????????????????????????????B.?线段??????????????????????????????????????C.?圆??????????????????????????????????????D.?椭圆
2.椭圆
的焦距是2，则m的值是（
???）
A.?5???????????????????????????????????????B.?5或8???????????????????????????????????????C.?3或5???????????????????????????????????????D.?20
3.设集合
，
，则方程
表示焦点位于x轴上的椭圆有(???
)
A.?6个?????????????????????????????????????B.?8个?????????????????????????????????????C.?12个?????????????????????????????????????D.?16个
4.对于椭圆
，下面说法正确的是（??
）
A.?长轴长为2?????????????????????????B.?短轴长为3?????????????????????????C.?离心率为
?????????????????????????D.?焦距为1
5.设
是椭圆
上的任意一点，若
是椭圆的两个焦点，则
等于（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
6.已知椭圆
的离心率为
，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为
??
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
7.若曲线
表示椭圆，则
的取值范围是(
??)
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?或
8.已知椭圆
分别过点
和点
，则该椭圆的焦距为(???
)
A.????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.设
?
分别是椭圆
(
)的左?右焦点，过
的直线
与椭圆E相交于A?B两点，且
，则
的长为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.已知
、
为椭圆
：
的左、右焦点，过点
作斜率为
的直线
与
交于
、
两点，则
的面积为（???
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
11.已知点F是椭圆
的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆
相切于点Q，O为坐标原点，且
，则椭圆E的离心率为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.过原点的一条直线与椭圆
交于A，B两点，
为椭圆右焦点，且AB长度等于焦距长，若
，则该椭圆离心率的取值范围为（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
二、多选题
13.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为
，
，下列结论正确的是（???
）
?卫星向径的取值范围是
B.?卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.?卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.?卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题
14.已知点M(
，0)，椭圆
与直线y＝k(x＋
)交于点A，B，则△ABM的周长为________.
15.如图，已知椭圆C的中心为原点O，
为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足
且
，则椭圆C的标准方程为________.
16.直线
与椭圆
交于A?B两点，F为椭圆的右焦点，若
，则椭圆的离心率为________.
17.设
，
是椭圆
的两个焦点，过
的直线
与椭圆C交于A，B两点，过
与
平行的直线
与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形
面积的最大值为________.
四、解答题
18.已知椭圆C：
过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为
，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
19.已知椭圆C：
的离心率为
，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
20.已知：椭圆
的焦距为2，且经过点
，A?B是椭圆上异于M的两个动点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若
，求证：直线
过定点，并求出该定点坐标.
21.已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为F，且
，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足
，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线
与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段
的中点．求直线
的方程．
22.已知椭圆
过点
，且
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点
的直线l交椭圆C于点
,直线
分别交直线
于点
．求
的值．
23.已知椭圆
(
)的焦距为2，椭圆
的左?右焦点分别为
?
，过右焦点
作x轴的垂线交椭圆于A?B两点，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
作直线交椭圆于C?D两点，若△
的内切圆的面积为
，求△
的面积；
（3）已知
，
为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆
于M?N两点，试问△
的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：对于在平面内，若动点M到
、
两点的距离之和等于6，
而6正好等于两定点
、
的距离，
则动点M的轨迹是以
，
为端点的线段．
故答案为：B．
【分析】根据椭圆的定义即可得解.
2.答案：
C
解：因为焦距是
，所以
，
当焦点在
轴时，
，解得：
，
当焦点在
轴时，
，解得：
，
故答案为：C．
【分析】
由已知椭圆
的焦距是2，
分两种情况讨论，当焦点在
轴时和当焦点在
轴时列式，
即可分别求出m的值.
3.答案：
A
解：因为椭圆焦点在x轴上，
所以
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
一共有6个符合要求的椭圆，
故答案为：A
【分析】根据
，对A中元素进行分析即可求解.
4.答案：C
解：根据题意，椭圆的方程为：
，
其中a=
=2，b=
，则c=
=1，
则其长轴长为2a=4，短轴长2b=2
，焦距2c=2，
其离心率e=
=
，
故选：C．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而可得该椭圆的长轴长、短轴长、焦距、以及离心率；分析选项即可得答案．
5.答案：
D
解：由题,
.
故答案为：D
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
6.答案：
D
解：依题意椭圆
：
的离心率为
，得
，
椭圆
的长轴长与焦距之和为6，
，
解得
，
，则
，
所以椭圆
的标准方程为：
，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆的离心率为
，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质
，列出关于a
、b
、c的方程组，求出a
、b，即可得结果.
7.答案：
D
解：
曲线
表示椭圆，
，
解得
，且
，
的取值范围是
或
，
故答案为：D．
【分析】根据椭圆标准方程可得
，解不等式组可得结果.
8.答案：
C
解：因为椭圆过点
和点
所以
，且
，
可得：
，
所以
，所以焦距
，
故答案为：C.
【分析】根据椭圆过点
和点
，得到
，
联立求解.
9.答案：
C
解：由椭圆的定义得：
，
，
又
，
，所以
，
由椭圆
知
，所以
.
故答案为：C
【分析】由椭圆的定义得：
，
，结合条件可得
，即可得答案.
10.答案：
A
解：椭圆
的左焦点为
，右焦点为
，
设点
、
，由题意可知，直线
的方程为
，即
，
将直线
的方程与椭圆
的方程联立
，
消去
得
，
，
由韦达定理得
，
.
所以，
的面积为
.
故答案为：A.
【分析】设点
、
，可得出直线
的方程为
，与椭圆
的方程联立，列出韦达定理，从而可得出
的面积为
，代入计算即可.
11.答案：
B
解：设椭圆的下焦点为
，圆
的圆心为A，线段
的中点为B，
因为
，所以
，即
；
所以
，由于
，所以
；
因为线段PF与圆
相切于点Q，
所以
，所以
，所以
；
因为
，所以
；
根据椭圆定义可得
，所以有
，整理得
，
所以离心率
.
故答案为：B.
【分析】根据
可得
，结合圆的相切关系可得
，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
12.答案：
B
解：由题可知，AB长度等于焦距长且直线AB过原点，
由椭圆的对称性可知，四边形
是矩形，
则
，
又因为点A在椭圆上，则
，
即
，
因为
，即
，
则
，
故
故答案为：B
【分析】由椭圆的对称性可知四边形
是矩形，用角
分别表示
，利用椭圆的定义构建方程并表示离心率，再由三角函数求值域方式即可求得取值范围.
二、多选题
13.答案：
A,B,D
解：根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是
，A符合题意；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B符合题意；
，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C不符合题意.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，
在远地点时向径最大，故速度最小，D符合题意.
故答案为：
ABD
.
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
三、填空题
14.答案：
8
解：直线
过定点N（-
），
由题设知M、N是椭圆的焦点，
由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线
过定点N（-
），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义即可求△ABM的周长.
15.答案：
解：由题意设椭圆的标准方程为
，
因为
为椭圆C的左焦点，所以
，
因为
，所以
，
设点P的坐标为
，
则
，
解得
，则
，
所以点P的坐标为
，
因为
为椭圆
上一点，所以
因为
，所以解得
，
所以椭圆的标准方程为
，
故答案为：
【分析】由已知可得
，而由
，
，可求出点P的坐标，再将点P的坐标代入椭圆方程中，再结合
，可求出
的值.
16.答案：
解：设点
，椭圆如图所示：
直线
，
即
，
又
，
为
中点，
，
点
，即
，
点
在椭圆上，
，
结合
化简可得
，
由
可得
，
解得
或
（舍去），
.
故答案为：
.
【分析】由题意转化条件为点
，代入椭圆方程可得
，化简后即可得解.
17.答案：
4
解：，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
设直线的方程
，
，
则，得
，
，
令
，
，
令
，
，
令
，
，
则在
上为减函数，在
上为增函数，
，即
，
，
，
四边形
面积的最大值为4，
故答案为：4
【分析】四边形
为平行四边形
，设直线的方程与椭圆方程联立，得
，利用列式，再用换元法求其最大值即可.
四、解答题
18.答案：
（1）解：由题意可知直线AM的方程为：
，
即
，
当y=0时，解得
，所以a=4，
椭圆
过点M(2，3)，
可得
，解得b2=12，
所以C的方程：
；
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为：
，
如图所示：
当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，
此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程
与椭圆方程
，
可得：
，
化简可得：
，
所以
，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：
，
直线AM方程为：
，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：
，
由两点之间距离公式可得
.
所以△AMN的面积的最大值：
.
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
答案：
（1）解：由题意可得：
，
解得：
，
故椭圆方程为：
；
（2）解：设点
，
因为AM⊥AN，∴
，
即
,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为
,如图1.
代入椭圆方程消去
并整理得：
,
???
②,
根据
,代入①整理可得：
将②代入，
，
整理化简得
,
∵
不在直线
上，∴
，
∴
，
于是MN的方程为
，
所以直线过定点直线过定点
.
当直线MN的斜率不存在时，可得
,如图2.
代入
得
,
结合
,解得
,
此时直线MN过点
,?
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足
为定值（AE长度的一半
），
由于
，故由中点坐标公式可得
，
故存在点
，使得|DQ|为定值.
【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为
,
联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
20.答案：
（1）解：因为椭圆
的焦距为2，且经过点
，
所以
解得
，所以
；
（2）解：设
?
，
①直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
与椭圆方程联立可得，
，
∴
(
)且
，
∵
，∴
，
即
，
化简得
，
将(
)式代入，得
，
，
∴
，即
或
(舍，此时直线
过点
)
∴直线
的方程为
，过定点
；
②直线
的斜率不存在时，设直线
的方程为
，
，
可设
，且
，
由
，
即
，解得
或
(舍)，
此时直线
的方程为
，也过定点
；
综上，直线
过定点
.
【分析】（1）通过椭圆的焦距为2，求出c．结合椭圆经过点
，列出方程组求解a，b，得到椭圆方程．（2）设
，
、
，
，①直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，与椭圆方程联立可得，
，利用韦达定理推出m，k的关系式，利用向量的数量积推出
，得到直线系，然后求解直线
经过的定点；②直线
的斜率不存在时，设直线
的方程为
，
，
，
，判断直线经过的定点即可．
21.答案：
解：（Ⅰ）
椭圆
的一个顶点为
，
，
由
，得
，
又由
，得
，
所以椭圆的方程为
；
（Ⅱ）
直线
与以C为圆心的圆相切于点P，所以
，
根据题意可知，直线
和直线
的斜率均存在，
设直线
的斜率为k，则直线
的方程为
，即
，
由，消去
可得
，
解得
或
.
将
代入
，得
，
所以，点
的坐标为
，
因为P为线段
的中点，点
的坐标为
，
所以点P的坐标为
，
由
，得点
的坐标为
，
所以，直线
的斜率为
，
又因为
，所以
，
整理得
，解得
或
，
所以，直线
的方程为
或
.
【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助
，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到
，设出直线
的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据
，求出直线
的斜率，从而得解.
答案：
解：(Ⅰ)设椭圆方程为：
，
由题意可得：，解得：
，
故椭圆方程为：
；
（Ⅱ）设
，
，直线
的方程为：
，
与椭圆方程
联立可得：
，
即：
，
则：
，
直线MA的方程为：
，
令
可得：
，
同理可得：
，很明显
，且，
注意到：，
而：
，
故
.
从而
.
【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得
，从而可得两线段长度的比值.
23.答案：
（1）解：由椭圆焦距为2可得
，
，
又过右焦点
作
轴的垂线交椭圆于
、
两点，
，
不妨设点
，则
，解得
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）解：由题意△
的周长
，
又△
的内切圆的面积为
，所以△
的内切圆的半径为
，
所以△
的面积
；
（3）解：由题意
，圆心为
，半径为
，
若
斜率不存在时，不妨设点
，
此时△
的周长
；
当直线
斜率存在时，设
，
，
则
即
，
则
，
同理，
，
由
消去y得
，
，
则
，
由直线
与
相切可得
，即
，
所以
，
因为
在
轴右侧，所以
，
所以
，
所以△
的周长
；
综上，△
的周长为一定值，且周长
.
【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得
，再由点
即可求得
、
，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△
的周长
，再由
（
为内切圆半径）即可得解；（3）按照
斜率是否存在讨论，当直线
斜率存在时，设
，
，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径
、
，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得
，再由直线
与圆相切可得
，代入运算即可得解.
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精品试卷·第
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