2.3双曲线 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
2.3双曲线
一、单选题
1.双曲线
的焦点坐标是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2.双曲线
的渐近线方程为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
3.已知双曲线
，则
是双曲线C的离心率大于
的(???
)
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
4.设双曲线
的方程为
，过抛物线
的焦点和点
的直线为l．若C的一条渐近线与
平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.设
是双曲线
的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且
，则
的面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
6.设双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1
，
F2
，
离心率为
，P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
7.设A，B为双曲线Γ：
的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，
为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（???
）
A.?4?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
8.已知直线l与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，且
，若
，且
的面积为
，则E的离心率为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
9.知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的右支上，
与
轴交于点
，
的内切圆与边
切于点
.若
，则
的渐近线方程为(???
)
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
10.如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
是C上位于第一象限内的一点，且直线
与
轴的正半轴交于A点，
的内切圆在边
上的切点为N，若
，则双曲线C的离心率为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
11.已知双曲线
的左?右焦点分别为
，
，若双曲线上存在点P使
，则离心率的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
12.已知双曲线
的虚轴的一个顶点为
，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为
，
，点P为线段
上的动点，当
取得最小值和最大值时，
的面积分别为
，
，若
，则双曲线C的离心率为（???
）．
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.设
，
分别为双曲线
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（???
）
A.?渐近线方程为
???
????B.?渐近线方程为
????
C.?离心率为
???
????D.?离心率为
三、填空题
14.已知双曲线
的焦点坐标为
，则a的值为________.
15.设双曲线C：
(a>0，b>0)的一条渐近线为y=
x，则C的离心率为________．
16.已知双曲线
的离心率为
，则该双曲线的渐近线方程为________．
17.已知双曲线方程为
，直线
分别交双曲线左右两支于A，B两点，与
轴交于点C，则
的范围是________．
四、解答题
18.已知双曲线
(
)，直线l与
交于P?Q两点.
（1）若点
是双曲线
的一个焦点，求
的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为
，直线
的斜率等于1，且
，求双曲线
的渐近线方程.
19.已知双曲线
的虚轴长为
，且离心率为
．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点
作倾斜角为
的直线，直线与双曲线交于不同的两点
，求
．
20.已知双曲线
及直线
.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且
，求实数k的值.
21.已知双曲线
的方程为
，离心率
,顶点到渐近线的距离为
（1）求双曲线
的方程;
（2）设
是双曲线
上
点，
,
两点在双曲线
的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
，求
面积的取值范围.
22.已知双曲线
上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为
.
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆
上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于
两点，且
，是否存在
使得该椭圆的离心率为
，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.
23.直线
上的动点
到点
的距离是它到点
的距离的3倍.
（1）求点P的坐标；
（2）设双曲线
的右焦点是F，双曲线经过动点P，且
，求双曲线的方程；
（3）点
关于直线
的对称点为
，试问能否找到一条斜率为
（
）的直线
与（2）中的双曲线
交于不同的两点
、
，且满足
，若存在，求出斜率
的取值范围，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：双曲线
中，易得
，焦点在x轴，
所以焦点坐标为：
.
故答案为：D
【分析】根据双曲线方程求出
，结合焦点所处位置即可求得焦点坐标.
2.答案：
B
解：由已知
，∴渐近线方程为
，即
．
故答案为：B．
【分析】根据双曲线的标准方程得
，然后可得渐近线方程．
3.答案：
A
解：因为双曲线
，
若
，则
，
，
，
所以
，故充分性成立；
若
，则
，
，
，
所以
，故必要性不成立；
故
是双曲线C的离心率大于
的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
4.答案：
D
解：由题可知，抛物线的焦点为
，
所以直线
的方程为
，即直线的斜率为
，
又双曲线的渐近线的方程为
，
所以
，
，
因为
，解得
．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点
可求得直线
的方程为
，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为
，可得
，
即可求出
，得到双曲线的方程．
5.答案：
B
解：由已知，不妨设
，
则
，因为
，
所以点
在以
为直径的圆上，
即
是以P为直角顶点的直角三角形，
故
，
即
，又
，
所以
，
解得
，所以
故答案为：B
【分析】由
是以P为直角直角三角形得到
，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到
，代入
中计算即可.
6.答案：
A
解：
，
，
根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
，
即
，解得
，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
7.答案：
A
解：
，以原点O为圆心，
为半径的圆的方程是
，
设点M是圆与渐近线
在第一象限的交点，
，解得：
，即
，
，
轴，
中，
，
故答案为：A
【分析】先求点M的坐标，并判断
轴，这样
中，
直接求解.
8.答案：
C
解：作示意图如图所示，设
，
由题意可得
，
，
所以
，
又
，得
又因为
，得
，
则
，故
.
故答案为：C.
【分析】作示意图，设
，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得
，即可得
的等量关系，再转化为离心率即可.
9.答案：
A
解：如图所示：设
分别为
三边与其内切圆的切点，圆心为
，
已知
≌
，
≌
,
≌
，
即
，
由双曲线的定义有：
，
则
，
所以
,即
，
又
，所以
，
又
，解得
.
双曲线
的渐近线方程为：
.
故答案为：A
【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.
10.答案：
D
解：设
的内切圆在边
的切点分别为E，G，
则
，得
，
又
，则
，得
，
又
，得
，所以双曲线C的离心率为
.
故答案为：D
【分析】利用内切圆的性质和双曲线的定义，求出a，再求得双曲线的离心率.
11.答案：
B
解：根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使
,
则渐近线的斜率
,即
,
因为离心率
，
所以
,因为
，
所以离心率
的取值范围为
，
故选:B
【分析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使
,可知
,再由
即可求解.
12.答案：
A
解：由题意可知
，
，则直线
所在直线的方程为
，
因为点P在线段
上，可设
，其中
，
设双曲线C的焦距为
，则
，
，
，
从而
，
，
故
，
因为
，所以当
时，
取得最小值，
此时，
．
当
，即
时，
无最大值，所以
不符合题意；
当
，即
时，
在
处取得最大值，此时，
，
因为
，所以
，解得
，符合题意．
综上，
，
，
，故双曲线C的离心率
．
故答案为：A.
【分析】设直线
所在直线的方程，得到向量表示形式，求出两向量的数量积的表达式
，
，由二次函数的性质可求出取得最小值，从而可求
；当
时，
在
处取得最大值，由
可求出
，进而可求离心率.
二、多选题
13.答案：
A,C
解：设
，
由
，可得
，
由
到直线
的距离等于双曲线的实轴长
，
设
的中点
，
由等腰三角形
的性质可得，
，
即有
，
，即
，
可得
，即有
，
则双曲线的渐近线方程为
，即
，
离心率
．
故答案为：AC．
【分析】设
，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．
三、填空题
14.答案：
-2
解：双曲线
的焦点坐标为
，
可得
，解得
．
故答案为：-2．
【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
15.答案：
解：由双曲线方程
可得其焦点在
轴上，
因为其一条渐近线为
，
所以
，
.
故答案为：
【分析】根据已知可得
，结合双曲线中
的关系，即可求解.
16.答案：
y=±x
解：由题知：
，双曲线的渐近线方程为
，
故答案为：
【分析】根据离心率公式和双曲线的
的关系进行求解.
17.答案：
解：联立
，消去
并整理得
，
恒成立，
设
，
，
，
，
则
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
设
，
，
则
，
所以
，所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，即
.
故答案为：
.
【分析】联立直线与双曲线，根据韦达定理得
，
，求出
的取值范围，根据
解不等式即可求出
的范围.
四、解答题
18.答案：
（1）解：依题意
，所以
，所以
，所以
，
又
，所以双曲线
的渐近线方程为
，
（2）解：依题意可得直线l的方程为：
，
将其代入
并整理得：，
因为直线l与
交于P?Q两点，所以
，
，
设
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，解得
或
，
因为
，所以双曲线的渐近线方程为
或
.
【分析】（1）
，
,根据双曲线中
求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
19.答案：
（1）解：双曲线
的虚轴长为
，离心率为
，
∴
解得
，
，
，
∴双曲线的方程为
；
（2）解：由（1）知双曲线
的右焦点为
，
设经过双曲线右焦点
且倾斜角为
的直线的方程为
，
，
，
由
，得
，其中，
，
，
.
【分析】（1）由题意可得
，
，解方程可得
，
，
，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点
且倾斜角为
的直线的方程为
，联立双曲线方程，可得
的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
20.答案：
（1）解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组
有两个不同的实数根，
整理得
，
，
解得
且
.
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是
；
（2）解：设交点
，直线l与y轴交于点
，
，
，
，即
，
整理得
，解得
或
，
或
.又
，
或
时，
的面积为
.
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设
，由（1）可得
关系，再由直线l过点
，可得
，进而建立关于
的方程，求解即可.
21.答案：
（1）解：由双曲线方程可知其渐近线方程为
，顶点坐标
顶点到渐近线距离
，
由
，得：
??，
双曲线
的方程为：
；
（2）解：由（1）知：双曲线渐近线方程为
，
设
，
，
，其中
，
，
则
，
，
由
得：
???
，，
，整理可得：
，
设
，，，
，
?，，
又
，
，
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，，
即
面积的取值范围为
.
【分析】（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线
的关系可构造方程求得
，进而得到双曲线方程；（2）假设
三点坐标，利用
可表示出
点坐标，代入双曲线方程整理可得
；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得
，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于
的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围.
22.答案：
解：（I）设
，
由
，知
，
所以，
，
得
，即
，
即双曲线渐近线方程为
；
（Ⅱ）由
，
设
，则PM方程为
，
由
，得
；
由
，得
?
，
又
，所以
，
所以
，
，
同理可得，
，
由
是平行四边形，知
，
所以
，即
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为
.
【分析】（I）由
可得
，进一步得到渐近线方程；（Ⅱ）设
，PM方程与渐近线方程联立，得到
，进一步得到，，再利用
计算即可得到答案.
答案：
（1）解：因为点
在直线
上，
所以设点P的坐标为
，
因为P到点
的距离是它到点
的距离的3倍，
所以
，
所以
，
化简得，
，解得
，
所以
，
所以点
的坐为
；
（2）解：因为
，所以
，
所以点
的坐标为
，即
，
因为点
在双曲线上，所以
，
由
，得
，
所以双曲线方程为
；
（3）解：因为点
关于直线
的对称点为Q，
所以点Q的坐标为
，
设直线为
为
，
，
由
得，
，
因为直线
与双曲线交于不同的两点，
所以
，
化简得
，
由根与系数的关系得，
所以
，
所以线段
的中点为
，
因为
，
所以
，化简得
，
所以
，得
，
解得
或
，又因为
，
所以解得
的取值范围为
【分析】（1）由于点
在直线
上，所以设点
的坐标为
，然后由
到点
的距离是它到点
的距离的3倍列方程求出
，从而可得点
的坐标；（2）由
可知
，由此可
，再将点
坐标代入双曲线方程中，解方程组可得
；（3）由
可知线段
的中垂线过点Q，再利用两直线斜率的关系可得结果.
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精品试卷·第
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（共
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