2.4抛物线 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学人教新课标A版
选修2-1
2.4抛物线
一、单选题
1.焦点在
轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.抛物线y＝ax2上一点
到其准线的距离为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?9
4.以抛物线
的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（???
）
A.??????????
????B.??????????????
C.????????
??????D.?
5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（???
）
A.?（
，0）????????????????????????B.?（
，0）????????????????????????C.?（1，0）????????????????????????D.?（2，0）
6.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作
于Q，则线段
的垂直平分线（???
）
A.?经过点O?????????????????????B.?经过点P?????????????????????C.?平行于直线
?????????????????????D.?垂直于直线
7.设复数
是实系数方程
的根，又
为实数，则点
的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（???
）
A.?圆????????????????????????????????????B.?椭圆????????????????????????????????????C.?双曲线????????????????????????????????????D.?抛物线
8.已知圆
与抛物线
的准线
交于A，B两点，且
，P为该抛物线上一点，
于点Q，点F为该抛物线的焦点.若
是等边三角形，则
的面积为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
9.已知抛物线
，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点
（其中
在
轴上方），
两点在抛物线的准线上的投影分别为
，若
，
，则
(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?4.
10.已知抛物线C方程为
，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则
的取值范围为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
11.已知
，
及抛物线方程为
，点
在抛物线上，则使得
为直角三角形的点
个数为（???
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
12.已知过抛物线
焦点F的直线与抛物线交于点A，B，
，抛物线的准线l与x轴交于点C，
于点M，则四边形AMCF的面积为（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、多选题
13.已知抛物线
上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和
，则
的值可以是(???
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
14.抛物线
的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点
下列结论正确的是（???
）
A.?|PM|
+|PF|的最小值为3
B.?抛物线C上的动点到点
的距离最小值为3
C.?存在直线l，使得A，B两点关于
对称
D.?若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
三、填空题
15.抛物线
的焦点到准线的距离等于________.
已知抛物线
的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为________.
17.已知抛物线C：
的焦点为F，点M(x0
，
2
)(
)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝
交于E，G两点，若sin∠MFG＝
，则抛物线C的方程是________.
18.在平面直角坐标系内有两点
，
，
，点
在抛物线
上，
为抛物线的焦点，若
，则
________
四、解答题
19.求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点
；
（2）焦点
在直线
上．
20.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点
．
Ⅰ
求抛物线C的标准方程；
Ⅱ
经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
21.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线
上存在两点G，
H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．
22.如图，已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足
.
（1）若点A坐标是
，求线段
中点M的坐标；
（2）求
面积的最小值及此时直线
的方程.
23.在平面直角坐标系xOy中，过点
的直线l与抛物线
交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为
,
与抛物线C的准线始终相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求
的取值范围.
24.如图，抛物线
的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记
，
的面积分别为
．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）求
的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：因为焦点在
轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为
，
因为焦点到准线的距离为
，所以
，
故答案为：D
【分析】根据焦点位置确定抛物线方程形式，再根据焦点到准线的距离确定结果.
2.答案：
B
解：抛物线y＝ax2上一点
，可得
，解得
；
即抛物线
，即
，所以抛物线的准线方程为y
，
所以抛物线
上一点
到其准线的距离为：
．
故答案为：B．
【分析】根据题设条件，代入抛物线的方程，求得a的值，得出抛物线方程和准线方程即可求解．
3.答案：
C
解：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，
即
，解得
.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
4.答案：
D
解：抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
圆与E的准线相切，则
，故圆方程为：
.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.
5.答案：
B
解：因为直线
与抛物线
交于
两点，且
，
根据抛物线的对称性可以确定
，所以
，
代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，
故答案为：B.
【分析】由，结合抛物线的对称性，可知，确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标得到结果.
6.答案：
B
解：如图所示：
因为线段
的垂直平分线上的点到
的距离相等，
又点P在抛物线上，根据定义可知，
，
所以线段
的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段
的垂直平分线经过点P即可求解.
7.答案：
D
解：
，
其虚部为
，
又
为实数，所以
，
复数
是实系数方程
的根，
也是实系数方程
的根，
所以
，
所以
，此时
，
即点
的轨迹在抛物线
上.
故答案为：D.
【分析】由
为实数，求出
关系，实系数方程有虚数根，
，且两根互为共轭，由韦达定理，求出
与
关系，结合
关系，即可得出
的关系式，得出结论.
8.答案：
A
解：由
可得圆心
到
的距离为
，
得
，即
，所以抛物线的方程为
，
因为
是等边三角形，焦点
到准线
的距离为2，
所以
的边长为4，
所以
，
故答案为：A
【分析】首先由条件可得出
，然后由
是等边三角形，焦点F到准线l的距离为2可得出
的边长为4，然后算出答案即可.
9.答案：
C
解：由题意知，
，
，则
,
由
轴，可知
，则
，
，
，
，
，则
，
，
，
为等边三角形，直线AB的倾斜角
，且
,
又因为
，
则
，.
故答案为：C.
【分析】由题意可知
，由
，可求出
，由
可求出
，由
可知
，从而可知
，
，进而可求
的值.
10.答案：
B
解：因为抛物线C方程为
，所以其焦点为
，
所以可设直线l的方程为：
，
，
（斜率不存在的直线显然不符合题意），
联立抛物线方程可得，
，所以
，
又
，
所以抛物线在A处的切线方程为：
，
即
，令
，可得点
的坐标为
，
同理可得，点
的坐标为
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即
的取值范围为
．
故答案为：B．
【分析】设直线l的方程为：
，
，与抛物线联立求出
，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到
的坐标，即可得到
的表达式，然后根据基本不等式即可求出．
11.答案：
D
解：当角
为直角时，
，
设点
坐标为
点
在抛物线上，
，即
，
则点
坐标为
，
同理，当角
为直角时，此时点
坐标为
.
当角
为直角时，此时点
的轨迹为以
为直径的圆除去与
轴的交点，
以
为直径的圆的圆心
，半径为
，则圆的方程为
.
则点
的轨迹为
（
）与抛物线
的交点.
联立
，即
，
解得
或
(舍)，
将
代入
，解得
，
此时点
坐标为
，
即使得
为直角三角形的点
个数为4个.
故选：D
【分析】分情况讨论，当角
为直角时，点
坐标为
，当角
为直角时，点
坐标为
，当角
为直角时，点
的轨迹为以
为直径的圆除去与
轴的交点，与抛物线的交点，联立
，求得点
坐标为
即可.
12.答案：
A
解：过
作
于
，过
作
于
，
设
，
，则
，
，
?，，，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据直线与抛物线的位置关系，结合抛物线的定义及平面向量的共线，即可得到四边形AMCF的面积.
二、多选题
13.答案：
A,C
解：设
的横坐标为
，
由题意，
，
，
解得
或
.
故答案为：AC
【分析】由题意得
，
，解方程即可得结果.
14.答案：
A,D
解：A．设
是抛物线的准线，过
作
于
，
则
，当且仅当
三点共线时等号成立，
所以
最小值是3，A符合题意；
设
是抛物线上任一点，即
，
，
当
时，
，B不符合题意；
假设存在直线
，使得A，B两点关于
对称，
设
方程为
，由
得
，
所以
，
，
设
，则
，
中点为
，
则
，
，
必在直线
上，
所以
，
，
这与直线
抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C不符合题意；
设
，由
即
，得
，
则切线
方程为
，
即
，同理
方程是
，
由
，解得
，
由题意
在准线
上，所以
，
，
所以
，
所以
时，
为最小值．D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
三、填空题
15.答案：
解：因为抛物线方程是
，
转化为标准方程得：
，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为
准线方程为：
，
所以焦点到准线的距离等于
.
故答案为：
【分析】先将抛物线方程
，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
16.答案：
解：解：设
，
因为四边形OFPQ的周长为7，
所以
,
因为
，
所以
，解得
，
所以点P的坐标为
，
故答案为：
【分析】设
，由已知条件结合抛物线的定义可得
，解出
，可得点P的坐标.
17.答案：
y2=4x
解：如下图所示，作
，垂足为N
，
由题意知点M(x0
，
2
)(
)在抛物线
上，则
①，
由抛物线的定义，可知
，
因为
，所以，
，
所以
，解得
②，
由①②解得
（舍去）或
，
故抛物线
的方程为
．
故答案为：
.
【分析】根据点M在抛物线上和
，列方程组可解得
和p，即可得抛物线的方程.
18.答案：
，
，
解：解：因为点
在抛物线
上，
所以
，得
，
因为抛物线
的焦点为
，准线为
，
所以
，
因为
，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
或
化简得
或
，
解得
或
或
，
因为
，
所以
，
，
，
故答案为：
，
，
【分析】由点
在抛物线
上，所以将点
坐标代入抛物线方程中，可得到
与
的关系，由
可得点
的坐标为
，准线方程为
，所以
，
而
，由
列方程可求出m的值.
四、解答题
19.答案：
（1）解：由于点
在第二象限，
∴过
的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在
轴上，设其方程为
，
将点
代入，可得
，∴
，
∴抛物线的方程为
；
若抛物线开口向上，则焦点在
轴上，设其方程为
，
将点
代入可得，
，∴
，
∴抛物线的方程为
.
综上所述，抛物线的标准方程为
或
；
（2）解：①∵直线
与
轴的交点为
，
∴抛物线的焦点是
，∴
，∴
，
∴抛物线的标准方程是
.
②∵直线
与
轴的交点为
，即抛物线的焦点是
，
∴
，∴
，∴抛物线的标准方程是
.
【分析】注意分类讨论是关键；
（1）中点M的象限决定开口向左或向右，利用待定系数法代入点M直接得到两个标准方程；
（2）中直线与x、y轴各有一个交点，所以要注意有两种情况，利用待定系数法代入点M求出答案.
20.答案：
解：
Ⅰ
由题意设抛物线C的标准方程为
，
又经过点
，则
，解得
，
抛物线C的标准方程为
；
Ⅱ
抛物线C的标准方程为
，
焦点
，准线方程为
；
过焦点且斜率为2的直线l方程为
，
由
，消去y整理得
，
由根与系数的关系得
，
线段AB的长为
．
【分析】
Ⅰ
利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；
Ⅱ
写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得
的值，结合抛物线定义再求线段AB的长．
21.答案：
（1）解：设抛物线
的标准方程为
，焦点
，
则
，解得
，
抛物线
的标准方程为
；
（2）解：设
，
则由
中点
在抛物线上，可得
，
整理得
，
同理得
，
是方程
的两个实根，且
，
，
，
弦长
，
点
到
的距离，
令
，
.
在
上递增，
时面积最大时，此时点
【分析】（1）设抛物线
的标准方程为
，焦点
.由抛物线的定义可求
，即得抛物线C的标准方程；（2）设
.求出线段MG，MH的中点坐标，代入抛物线方程，可得
是方程
的两个实根，根据韦达定理求出
的取值范围.
求出
，点
到
的距离
，则
，即求
取最大值时点M的坐标．
答案：
（1）解：设
，
，
,
则
，由题意得
，直线
：
，
又
，得
，则
，
又
，得
，
得
，又
得
，即
解得
，即
，
由
，得
，
，
，
故
，
，
线段
中点
的坐标为
；
（2）解：由（1）可知
，
，
，
设直线
方程为
，即
，
由
得
，所以
，
，
点
到直线
的距离是
，
所以
而
等号成立当且
，解得
.
此时
，
或
，
.
因此
面积的最小值是16，
此时直线
的方程是
或
.
【分析】（1）设
，
，
,则
，由题意得
，直线
：
，与抛物线方程
联立，则可得
的值，再根据A，C均在抛物线上，代入并作差，可得
的中点坐标与
斜率的关系，再利用
，求得线段
中点M的坐标.（2）将直线
的方程用
表示出来，并与抛物线方程
联立，再根据弦长公式求出
，利用点到直线的距离公式，求出点B到直线
的距离为d，运用
，结合均值不等式可求得
面积的最小值及此时直线
的方程.
23.答案：
（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，
设抛物线焦点为F，
由题意知圆M的半径
，
且
，即
，
所以A，B，F三点共线，即
，所以
，
所以抛物线C的方程为
；
（2）由（1）知抛物线
，
设直线
，点
，
，
联立可得：
，
，
所以
，
，
所以
，
则
，
，
故点N到直线AB距离
又
，
所以
，
当
时，
取最小值为32.
故所求三角形
面积的取值范围
.
【分析】（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得
，即可得A，B，F三点共线，即可得解；（2）设直线
，联立方程可得
、
、
，利用弦长公式可得
，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.
24.答案：
（1）解：∵抛物线的焦点为
，∴
，
∴抛物线方程为
；
（2）解：由已知可得
，
，
由于直线AB的斜率不可能为0，故可设
，
联立
，消去x并整理得：
，
设
，
，则
，
．
所以，
，
而
，
所以
（定值）；
（3）解：直线
，可得
，同理
，
∴
，
即
，
∴
，
令
则
，
由对勾函数的性质知
在
上是增函数，在
上是增函数，
所以
时，
，此时
，
故
的最小值是5，此时直线
轴．
【分析】（1）由焦点坐标得焦参数
后可得抛物线方程；（2）由于直线AB的斜率不可能为0，故可设
，代入抛物线方程整理后得一元二次方程，设
，
，则
，
．由
计算
和
，并计算
可得定值；（3）在（2）基础上，由
点坐标求出
点坐标，同理得
坐标，得
（仍然代入
），这样
可用
表示，换元设
（
），利用函数的单调性可得最小值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)