第二章 圆锥曲线与方程 单元测试（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
第二章
圆锥曲线与方程
一、单选题
1.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?9
2.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（???
）
A.?（
，0）????????????????????????B.?（
，0）????????????????????????C.?（1，0）????????????????????????D.?（2，0）
3.设双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1
，
F2
，
离心率为
．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
4.设双曲线
的方程为
，过抛物线
的焦点和点
的直线为l．若C的一条渐近线与
平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.设
是双曲线
的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且
，则
的面积为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
6.设O为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
的面积为8，则C的焦距的最小值为（???
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????????D.?32
7.已知F是椭圆
的一个焦点，若直线
与椭圆相交于
两点，且
，则椭圆离心率的取值范围是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
8.如图，点A是曲线
上的任意一点，
，
，射线
交曲线
于
点，
垂直于直线
，垂足为点C.则下列判断：①
为定值
；②
为定值5.其中正确的说法是（???
）
?①②都正确??????????
????B.?①②都错误?????????????????
C.?①正确，②错误??????????
???????D.?①都错误，②正确
9.设复数
是实系数方程
的根，又
为实数，则点
的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（???
）
A.?圆????????????????????????????????????B.?椭圆????????????????????????????????????C.?双曲线????????????????????????????????????D.?抛物线
10.已知点F是椭圆
的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆
相切于点Q，O为坐标原点，且
，则椭圆E的离心率为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.以双曲线
的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线
使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?3
12.已知抛物线C1：
和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（???
）
?4x-3y-22=0????????????????????B.?4x-3y-16=0????????????????????C.?2x-y-11+5=0????????????????????D.?4x-3y-26=0
二、多选题
13.已知曲线
.（???
）
A.?若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.?若m=n>0，则C是圆，其半径为
C.?若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D.?若m=0，n>0，则C是两条直线
14.已知P是椭圆
上的动点，Q是圆
上的动点，则（???
）
A.?C的焦距为
?????????
?B.?C的离心率为
?????????
C.?圆D在C的内部???????
D.?的最小值为
15.已知动点
在双曲线
上，双曲线
的左、右焦点分别为
、
，下列结论正确的是（???
）
A.?的离心率为
B.?的渐近线方程为
C.?动点
到两条渐近线的距离之积为定值
D.?当动点
在双曲线
的左支上时，
的最大值为
16.已知抛物线
：
的焦点
到准线的距离为2，过点
的直线与抛物线交于
，
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点，则下列结论正确的是（???
）
A.?的准线方程为
????????????????????????????????????B.?线段
的长度最小为4
C.?的坐标可能为
???????????????????????????????????????D.?恒成立
三、填空题
17.斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则
=________．
18.已知点M(
，0)，椭圆
与直线y＝k(x＋
)交于点A，B，则△ABM的周长为________.
19.已知F为双曲线
的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
20.已知椭圆
上有一点
，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且
，则椭圆C的离心率为________
四、解答题
21.已知椭圆C1：
(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=
|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
22.已知椭圆
的离心率为
，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线
上，且
，
，求
的面积．
23.已知A、B分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
24.如图，直线l与抛物线
相交于
两点，与x轴交于点Q，且
，
于点
.
（1）当
时，求m的值；
（2）当
时，求
与
的面积之积
的取值范围.
25.已知双曲线
(
)，直线l与
交于P?Q两点.
（1）若点
是双曲线
的一个焦点，求
的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为
，直线
的斜率等于1，且
，求双曲线
的渐近线方程.
26.如图，已知抛物线C：
的焦点为F，设点
为抛物线上一点，过点A作抛物线C的切线交其准线于点E.
（1）求点E的坐标（用
表示）；
（2）直线
交抛物线C于点B（异于点A），直线
交抛物线C于
，N两点（点N在E，F之间），连结
，
，记
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
27.已知椭圆
(
)的焦距为2，椭圆
的左?右焦点分别为
?
，过右焦点
作x轴的垂线交椭圆于A?B两点，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
作直线交椭圆于C?D两点，若△
的内切圆的面积为
，求△
的面积；
（3）已知
，
为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆
于M?N两点，试问△
的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，
即
，解得
.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
2.答案：
B
解：因为直线
与抛物线
交于
两点，且
，
根据抛物线的对称性可以确定
，所以
，
代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件
，结合抛物线的对称性，可知
，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
3.答案：
A
解：
，
，根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
，即
，解得
，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
4.答案：
D
解：由题可知，抛物线的焦点为
，
所以直线
的方程为
，即直线的斜率为
，
又双曲线的渐近线的方程为
，
所以
，
，
因为
，解得
．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点
可求得直线
的方程为
，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为
，可得
，
即可求出
，得到双曲线的方程．
5.答案：
B
解：由已知，不妨设
，
则
，因为
，
所以点
在以
为直径的圆上，
即
是以P为直角顶点的直角三角形，
故
，
即
，又
，
所以
，
解得
，所以
故答案为：B
【分析】由
是以P为直角直角三角形得到
，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到
，代入
中计算即可.
6.答案：
B
解：
，
双曲线的渐近线方程是
，
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于D，E两点，
不妨设
为在第一象限，
在第四象限，
联立
，解得
，故
，
联立
，解得
，故
，
，
面积为：
，
双曲线
，
其焦距为
，
当且仅当
取等号，
C的焦距的最小值，
故答案为：B.
【分析】由
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求得D，E两点坐标，即可求得
，根据
的面积为8，可得
值，根据
，结合均值不等式，即可求得答案.
7.答案：
A
解：如图设
分别为椭圆的左、右焦点，
设直线
与椭圆相交于
，连接
，
根据椭圆的对称性可得：四边形
为平行四边形，
由椭圆的定义有：
，
由余弦定理有：
，
即
，
所以
，
当且仅当
时取等号，又
的斜率存在，故
不可能在
轴上，
所以等号不能成立,即即
，所以
，
故答案为：A
【分析】将
与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
8.答案：
A
解：曲线
两边平方，
得
，为双曲线
的
的部分，
，
恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知
，又
，∴
，①正确；
曲线
即抛物线
，其焦点为
，准线方程为
，
由抛物线定义，知
，②正确；
故答案为：A.
【分析】曲线
的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定
正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将
转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
9.答案：
D
解：
，
其虚部为
，
又
为实数，所以
，
复数
是实系数方程
的根，
也是实系数方程
的根，
所以
，
所以
，此时
，
即点
的轨迹在抛物线
上.
故答案为：D.
【分析】由
为实数，求出
关系，实系数方程有虚数根，
，且两根互为共轭，由韦达定理，求出
与
关系，结合
关系，即可得出
的关系式，得出结论.
10.答案：
B
解：设椭圆的下焦点为
，圆
的圆心为A，线段
的中点为B，
因为
，
所以
，即
；
所以
，由于
，所以
；
因为线段PF与圆
相切于点Q，
所以
，所以
，所以
；
因为
，所以
；
根据椭圆定义可得
，
所以有
，整理得
，
所以离心率
.
故答案为：B.
【分析】根据
可得
，结合圆的相切关系可得
，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
11.答案：
B
解：双曲线
的渐近线方程为
，
由题意可得，
，
设点
到
的距离为
，
则
，
所以
，整理得
，
所以离心率
.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点
到
的距离
，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.
12.答案：
D
解：画出曲线图像如下图：
由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点
，
设直线MN的方程为：
，其中
，则
，
联立
，可得
，
则有，
，
，
根据中点坐标公式可得，
，
，
又直线MN与圆C2相切，则有
，即
①，
依题意，直线C2P与直线MN垂直，则
，
整理得
②，
将②代入①并整理得，
，
降次化简可得，
③，
令
，
则
，因为
，
所以
，即
在
单调递减，
则
在
上恒成立，即
在
无解，
从而③式的解只有一个，
，代入②式可得，
，
所以，直线MN的方程为：
，整理得，4x-3y-26=0.
故答案为：D.
【分析】先直线MN的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得
，
，利用直线MN与圆C2相切得
，再根据直线C2P与直线MN垂直列式，消去n化简，降次整理，利用导数研究单调性可证
在
无解，得
代入可求n，即可求直线MN方程.
二、多选题
13.答案：
A,C,D
解：对于A，若
，
则
可化为
，
因为
，所以
，
即曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示圆心在原点，半径为
的圆，B不正确；
对于C，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示双曲线，
由
可得
，C符合题意；
对于D，若
，则
可化为
，，
此时曲线
表示平行于
轴的两条直线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】结合选项进行逐项分析求解，
时表示椭圆，
时表示圆，
时表示双曲线，
时表示两条直线.
14.答案：
B,C
解：依题意可得
，则C的焦距为
，
，
设
，
则
，
所以圆D在C的内部，且
的最小值为
.
故选：BC.
【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出
的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系.
15.答案：
A,C
解：对于双曲线
，
，
，
，
所以，双曲线
的离心率为
，渐近线方程为
，A选项正确，B选项错误；
设点
的坐标为
，则
，
双曲线
的两条渐近线方程分别为
和
，
则点
到两条渐近线的距离之积为
，C选项正确；
当动点
在双曲线
的左支上时，
，
，
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】根据双曲线
的方程求出
、
、
的值，可求得双曲线
的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点
的坐标为
，利用点到直线的距离公式结合双曲线
的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.
16.答案：
B,C,D
解：焦点
到准线的距离即为
，
所以抛物线
的焦点为
，准线方程为
，A项错误.
当
垂直于
轴时长度最小，
此时
，
，所以
，B项正确.
设
，
，直线
的方程为
，
联立
，消去
可得
，
消去
可得
，所以
，
，
当
时，可得
，所以C正确，又
，
，
所以
，所以D正确.
故选：BCD
【分析】根据抛物线的几何意义判定，联立直线与抛物线方程结合韦达定理计算即可得解.
三、填空题
17.答案：
解：∵抛物线的方程为
，∴抛物线的焦点F坐标为
，
又∵直线AB过焦点F且斜率为
，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得
，
解法一：解得
??
?
所以
解法二：
设
，则
,
过
分别作准线
的垂线，设垂足分别为
如图所示：
.
故答案为：
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，再利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
18.答案：
8
解：直线
过定点N（-
），由题设知M、N是椭圆的焦点，
由椭圆定义知：
AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，
△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，
故答案为：8．
【分析】直线
过定点N（-
），确定椭圆的几何量，利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.
19.答案：
2
解：依题可得，
，而
，
，即
，变形得
，化简可得，
，解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
【分析】根据双曲线的几何性质可知，
，
，即可根据斜率列出等式求解即可．
20.答案：
解：由题意可得直线
的方程为：
，即
，
所以M到直线
的距离
，
因为
，
所以
，
而
，
因为
，
所以
，
整理可得：
，
整理可得
，解得
，
故答案为：
【分析】由题意可得直线
的方程，求出M到直线
的距离，且求出
的值，求出
的面积及
的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
四、解答题
21.答案：
（1）解：因为椭圆
的右焦点坐标为：
,
所以抛物线
的方程为
，其中
，
不妨设
在第一象限，因为椭圆
的方程为：
，
所以当
时，有
，因此
的纵坐标分别为
，
；
又因为抛物线
的方程为
，所以当
时，有
，
所以
的纵坐标分别为
，
，故
，
.
由
得
，即
，
解得
（舍去），
，所以
的离心率为
；
（2）解：由（1）知
，
，故
，
所以
的四个顶点坐标分别为
，
，
，
，
的准线为
，由已知得
，即
.
所以
的标准方程为
，
的标准方程为
.
【分析】（1）根据题意求出
的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设
在第一象限，运用代入法求出
点的纵坐标，根据
，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
22.答案：
（1）解：
，，
，
根据离心率
，解得
或
(舍)，
C的方程为：
，即
；
（2）解：
点P在C上，点Q在直线
上，且
，
，
过点P作x轴垂线，交点为M，设
与x轴交点为N，
根据题意画出图形，如图：
，
，
，
又
，
，
，
根据三角形全等条件“
”，可得：
，
，，
，
设
点为
，可得
点纵坐标为
，
将其代入
，可得：
，
解得：
或
，P点为
或
，
①当
点为
时，故
，
，，
可得：Q点为
，画出图象，如图：
,
，
可求得直线
的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得
到直线
的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
；
②当
点为
时，故
，
，，
可得：Q点为
，画出图象，如图：
,
，
可求得直线
的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得
到直线
的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
，
综上所述，
面积为：
.
【分析】（1）因为
，可得
，
，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线
上，且
，
，过点P作x轴垂线，交点为M，设
与x轴交点为N，可得
，可求得P点坐标，求出直线
的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得
的面积.
23.答案：
（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程
可得：
，
，
，
，
，
，
，
椭圆方程为：
；
（2）证明：设
，
则直线
的方程为：
，即：
，
联立直线
的方程与椭圆方程可得：
，
整理得：，
解得：
或
将
代入直线
可得：
，
所以点
的坐标为
，
同理可得：点
的坐标为
，
直线
的方程为：
，
整理可得：
，
整理得：
，
故直线
过定点
.
【分析】（1）由已知可得：
，
，
，即可求得
，结合已知即可求得：
，问题得解.（2）设
，可得直线
的方程为：
，联立直线
的方程与椭圆方程即可求得点
的坐标，同理可得点
的坐标，即可表示出直线
的方程，整理得到直线
的方程，即可证明直线
过定点
.
24.答案：
（1）解：当直线l与抛物线
相交于
两点时，斜率不为零，
设直线
方程为
，其中
，
由
，消去
得
，
设
，
，
则有
，
，
，，即
，
，直线
为：
，点
，
，，即
而
，解得
；
（2）解：由（1）得
，
，
，
，且
，
所以直线
与直线
斜率均存在，
又
，，即
，
又由（1）
，，
，
，
，
，
当
时，
去最大值
，
当
时，
去最小值
，
的取值范围为
.
【分析】（1）设直线
方程为
，与抛物线联立，
，
，利用韦达定理，代入
，可得
，再根据
，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得
，再根据
，求出
，结合（1）中的
消去n，通过三角形面积公式可得
，
，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
答案：
（1）解：依题意
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以双曲线
的渐近线方程为
；
（2）解：依题意可得直线l的方程为：
，
将其代入
并整理得：，
因为直线l与
交于P?Q两点，所以
，
，
设
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，解得
或
，
因为
，所以双曲线的渐近线方程为
或
.
【分析】（1）
，
,根据双曲线中
求出b，则可得渐近线方程；（2）联立直线与双曲线，利用韦达定理求出弦长与已知弦长相等，可解得b，则可得到渐近线方程.
26.答案：
（1）解：由
求导，
，∴
.
∴点
处的切线方程为：
，准线方程：
，
代入切线方程得
，∴点
（2）解：∵
，
，∴
：
，
联立
，得
，
∴
，易知
：
，
联立
，得
，
即
，
∴
，
，由上知
，即
，
∴
，设
，
则
，
当且仅当
，即
时，
取到最小值
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后即可求出
点坐标；
（2）写出直线
方程与抛物线方程联立求得
点坐标，同样写出
方程与抛物线方程联立解得
坐标，计算
为
的函数，令
换元后应用基本不等式即可求出最小值．
27.答案：
（1）解：由椭圆焦距为2可得
，
，
又过右焦点
作
轴的垂线交椭圆于
、
两点，
，
不妨设点
，则
，解得
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）解：由题意△
的周长
，
又△
的内切圆的面积为
，所以△
的内切圆的半径为
，
所以△
的面积
；
（3）解：由题意
，圆心为
，半径为
，
若
斜率不存在时，不妨设点
，
此时△
的周长
；
当直线
斜率存在时，设
，
，
则
即
，
则
，
同理
，由
消去y，
得
，
，
则
，
由直线
与
相切可得
，即
，
所以
，
因为
在
轴右侧，所以
，
所以
，
所以△
的周长
；
综上，△
的周长为一定值，且周长
.
【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得
，再由点
即可求得
、
，即可得解；（2）由题意结合椭圆的性质可得△
的周长
，再由
（
为内切圆半径）即可得解；（3）按照
斜率是否存在讨论，当直线
斜率存在时，设
，
，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径
、
，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得
，再由直线
与圆相切可得
，代入运算即可得解.
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精品试卷·第
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