(共7张PPT)
复习:等比数列概念
一、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
二、等比数列 的通项公式为
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b
成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
(课本P58). 例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：
用 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
解得
答：这个数列的第1项与第2项分别是
因此，
例4. 己知｛an｝、｛bn｝是项数相同的等比数列
的,仿照下表中的例子填写表格.从中你得出什么结
论 (表格和解题过程见课本P58. 掌握下面的结论和探究)
结论: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时,
数列｛an×bn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列.
探究1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时,
数列｛pan×qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗
探究2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时,
数列｛pan÷qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗
联系1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时,
数列｛pan+qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗
联系2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时,
数列｛pan－qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗
补充例题．三数成等比数列，若将第三个数减去
32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数
减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
则必有
①
②
由①得：
代入②得：
或
故原来的三个数是：2,10,50. 或
练习:已知数列
中，
是它的前
项和，并且
2 设
求证数列
1 设
求证数列
是等比数列；
是等差数列。
证:1 ∵
∴
,
5
1
4
2
1
2
2
1
=
+
=
=
+
a
a
S
a
a
∵
,两式相减得：
即：
∵
∴
即
是公比为2的等比数列
2 ∵
∴
将
代入得：
∴
成等差数列2.4《等比数列》学案
一、预习问题：
1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母表示。
2、若，则称数列为 ，为 ，且 。
3、若成等比数列，则 ；其中叫做与的 。此时与 （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、首项为正数的等比数列的公比时，数列为 数列；当时，数列为 数列；当时，数列为 数列；当时，数列为 数列。
6、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列； （ ）
②数列是公比为2的等比数列； （ ）
③若，则成等比数列； （ ）
④若，则数列成等比数列； （ ）
7、思考：如何证明一个数列是等比数列。
二、实战操作：
判断下列数列是否为等比数列：
（1）； （2）；
（3） （4）
例2、（1）求与的等比中项；
（2）等比数列中，若，，求。
例3、已知等比数列，若，求数列的通向公式。2．4等比数列
（一）教学目标
1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．
２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．
３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列与指数函数的关系
（三）学法与教学用具
学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示
[探索研究]
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1,，，，…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)
因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，,20,1.0198.
与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G2=ab
在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q
a3=a2q=(a1q)q=a1q2
a4=a3q=(a1q2)q=a1q3
… …
可得 an=a1qn-1
上式可整理为an=qn而y= qx（q≠1）是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列 {qn }中的各项的点是函数 y= qx 的图象上的孤立点
[注意几点]
不要把an错误地写成an=a1qn
对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒
公比q是任意常数,可正可负
首项和公比均不为0
[例题分析]
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1
根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗
评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了
一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系
已知{a}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论 证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[随堂练习]第59页第1、2、3题
[课堂小结]
首项和公比都不为0
分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
（五）评价设计
（1）课后思考：课本第59页[探究]
（2）课后作业：第60页第1、2、6题
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.第3课时 等比数列
1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：
⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．
例1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
解：∵{an}是等比数列，
∴a1·an＝a2·an－1，
∴，解得或
若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64
∴qn＝32q
由Sn＝，
解得q＝2，于是n＝6
若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2
∴qn＝
由Sn＝
解得q＝，n＝6
变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
解：64或1
由
或 ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1
例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴
两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1
又∵q>0，∴ q>1，a1>0
∴ {an}是递增数列．
∴ an＝27＝a1qn－1＝
解得 a1＝1，q＝3，n＝4
变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解：(1) ∵a1＋2a22＝0，∴公比q＝
又∵S4－S2＝，
将q＝－代入上式得a1＝1，
∴an＝a1qn－1＝(－) n－1 (n∈N*)
(2) an≥(－) n－1≥()4
n≤5
∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．
例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为a－d，a，a＋d，
依题意有：
解得： 或
∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案： D。解析：由得，再由。
例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．
解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d
即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2
∴a1＝0，an＝2(n－1)
又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2
即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3
∴b1＝1，bn＝3n－1
(2)
Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn
＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n－1)
设1×3°＋2×3 ＋3×32＋…＋n×3 n－1
31×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n
－21＋3＋32＋33＋…＋3 n－1－n×3 n＝－3 n·n
∴Sn＝2n·3n－3n＋1
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．
解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．
4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
基础过关
典型例题
归纳小结
