1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设
则有，，
从而==
又，所以=2
评述：在ABC中，等式
恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
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一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题
已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在中，，，，解此三角形。
例2、已知：在中，，，，解此三角形。
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1.1.1 正弦定理 课件
1、边的关系：
2、角的关系：
3、边角关系：
1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
2）在直角三角形中：a2+b2=c2
1）A+B+C=1800
1）大边对大角，大角对大边，等边对等角
2）在直角三角形ABC中,C=900,则
回顾三角形中的边角关系:
一、前提测评
1、知识目标
(1)使同学们理解正弦定理的推导过程
(2)能应用正弦定理解斜三角形
2、能力目标
培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力
二、展示目标
对任意三角形,这个等式都会成立吗
怎么证明这个结论？
A
B
C
c
b
a
在直角三角形中:
正弦定理的发现
1、当 ABC为锐角三角形时，如图（1）
证明:
过A作单位向量 垂直,
则 的夹角为________,
的夹角为________,
的夹角为________.
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.
求证:
A
C
B
a
b
c
j
方法一(向量法)
（一）正弦定理的证明
A
C
B
a
b
c
2、当 ABC为钝角三角形时，不妨设
A
B
C
a
b
c
如图,同样可证得
即等式对任意三角形都成立
证法二：(等积法)
在任意斜 ABC当中
作AD⊥BC于D
∴
∵
∴
同理可证
D
A
B
C
c
a
b
h
证法三：(外接圆法)
如图所示,作 ABC外接圆则
∴
同理
∴
（R为 ABC外接圆半径）
A
B
C
a
b
c
O
D
∠A=∠D
正弦定理
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
注意：定理适合任意三角形。
A
B
C
a
c
b
正弦定理的应用:
一、解斜三角形；
二、在三角形中实现边角互化.
（2R是三角形外接圆的直径）
正弦定理在解斜三角形中的两类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)
A
B
a
C
A
a
a
b
B
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
由 = 得 a= = =10
由 =
得 b= = = 20sin750=20×
= 5 +5
例题讲解：
例2、在ΔABC中，b= ,B=600 ,c=1,求a和A，C
解：∵ =
∴ sinC= = =
∴ B=900 a= =2
∵b>c,B=600 ∴C
∴C=300
例3、ΔABC中,c= ,A=450 a=2,
求b和B、C
解：∵ =
∴ sinC= =sinC= =
b= = = +1
∴C=600
∴当C=600时，B=750
或C=1200
24
∴当C=1200 时，B=150 ，
b= = = -1
∴b= +1, B=750 ，C=600
或b= -1， B=150 ，C=1200
请同学们思考两个问题：
1.为什么会出现两个解？
2.当a=1时C有几个解；当a= 时C有几个解；当a=3时C有几个解
25
A> 90°时 A= 90°时 A< 90°时
a>b 1解 a>b 1解 a>b 1解
a=b 无解 a=b 无解 a=b 1解
a1、bsinA2、a=bsinA3、a已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）
四、反馈练习
1、根据下列条件确定△ABC有两个解的是（ ）
A.a=18 B=300 A=1200
B.a=60 c=48 C=1200
C.a=3 b=6 A=300
D.a=14 b=15 A=450
2、根据下列条件解三角形
(1)已知在△ABC中a=8,B=600,C=450,求b
(2)已知在△ABC中b= ,c=1,B=450, 求C
由正弦定理可得：
由正弦定理可得：
答案：
1、由正弦定理可得：
A:
B：由于a>c，故A>C，无解
C：
D：
3、△ABC中，sinAD即不必要也非充分条件
A充分非必要条件
C充要条件
B必要非充分条件
解：在△ABC中，由正弦定理可知
又因为sinA所以aA所以sinA反之由A由正弦定理
可以推出sinA所以sinA综上sinA【能力达标】
一、选择题
1. 不解三角形，下列判断正确的是（ ）
A. a=7，b=14，A=30o，有两解. B. a=30，b=25，A=150o，有一解.
C. a=6，b=9，A=45o，有两解. D. a=9，b=10，A=60o，无解.
2．在中acosA=bcosB,则是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
3．在中，已知a=5，c=10，∠A＝30o，则∠B等于（ ）
A.105o B. 60o C. 15o D.105o或15o
4．在中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（ ）
A. B.0 C.1 D.
5. 在中下列等式总成立的是（ ）
A. a cosC=c cosA B. bsinC=c sinA
C. absinC=bc sinB D. asinC=c sinA
6. 在ΔABC中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b=( )
A． B．2 C． D．
7．在ΔABC中，∠A=450, a=2，b=，则∠B=（ ）
A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200
二、填空题
8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为 。
9．在ΔABC中，acosB=bcosA, 则该三角形是 三角形。
10．北京在，AB=则BC的长度是 。
11．（江苏）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 。
三、解答题:
12．在ΔABC中，已知 ==；
求证：这个三角形为等边三角形。
13．在中，S是它的面积，a，b是它的两条边的长度，S＝（a2+b2），求这个三角形的各内角。
14．在△ABC中，已知，求△ABC的面积。
参考答案：
一、选择题
1．B
2。D
3。D
4。B
5．D
6．A
7．A
二、填空题
8．
9．等腰
10．
11．4
三、解答题
12．由正弦定理得即，即，所以，得，同理得，
13．解：∵S＝absinC,∴absinC＝（a2+b2）,
则a2+b2－2absinC=0.
（a+b）2+2ab(1－sinC)=0
∵≥0，2ab(1－sinC) ≥0
∴
∴∠A＝∠B＝45o，∠C0＝90o.
14．解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
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