1.1.2余弦定理 测试题
一、选择题
1. 在中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. 4
3. 在ΔABC中，已知 ，则角A为（ ）
A B C D 或
4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
5.中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
6．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=
(A)1 (B)2 () －1 (D)
二、填空题
7.已知的三边分别为a，b，c，且＝，那么角C＝ .
8.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________
三、解答题
9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）∠CAB；（4）∠ABC。
10． 在中，已知＝,且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
试确定的形状.
11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。
12． 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
参考答案：
一选择题
D
2。D
3．C
4．B
5．D
6．B
二、填空题
7．450
8．3
三、解答题
9．（1）900，（2），（3）450，（4）450。
10．＝,由正弦定理得；
os(A－B)＋cosC＝1－cos2C.sinAsinB=sin2C ，由正弦定理得ab=c2.
综上得所以是直角三角形
11．解：由A=2C，得sinA=2sinCcosC，由余弦定理得
，又，，整理得
，得或。又，
因A>C，，
12．解：由余弦定理，因此．
在中，．由已知条件，应用正弦定理
，解得,从而．
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【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理得c2= = = ；同理得a2= ；b2= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。
【典例解析】
在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精确到0.1）
例2 三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1）
例3已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
【双基达标】
1. 已知a,b,c是三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
A. 60o B. 90o C. 120o D.150o
2．已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3．已知，求证：
（1）如果=，则∠C为直角；
（2）如果>，则∠C为锐角；
（3）如果<，则∠C为钝角.
4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。
5．在△ABC中，已知，求△ABC的面积
6．在,求
（1）
（2）若点
【预习达标】
sinC,cosC,-bcosC. AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2=a2+b2-2abcosC;b2+c2-2bccosA;a2+c2-2accosB.
;;.
【课前达标】
1.(1)，（2） 2．C 3．0
【典例解析】
例1略
例2略
例3解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得
由余弦定理，得
，所以．
【双基达标】
C
2．B
3．用余弦定理
4。直角三角形
5．解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
故所求面积
解法2：同解法1可得c=8.
又由余弦定理可得
故所求面积
6．解：（1）由
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
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教学目标：
1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程；
2．使学生能初步运用它解斜三角形。
教学重点：
余弦定理的证明，
余弦定理的应用。
教学过程
一、复习引入：
复习正弦定理及其证明
复习正弦定理的应用
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
推导过程：
如图在中，、、的长分别为、、
∵
∴
即
同理可证 ，
方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系
。
由两点的距离公式有：
两边平方，得
同理可证另两式
2、正弦定理、余弦定理与射影定理：
O为ΔABC的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC＝sin（90o－∠OBC）＝cos∠OBC 。
（A1）在ΔOBC中，利用射影定理： ＝cos∠OBC＋cos∠OCB ＝2Rcos∠OBC
（A2）在ΔOBC中，利用余弦定理：2＝2＋2－2cos∠BOC＝4R2cos2∠OBC
∵ ∠OBC必为锐角 ∴ ＝2Rcos∠OBC
由上可知：在ΔABC中，＝＝＝2R
同理：＝2R；＝2R
故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。
另：先將余弦定理转化如右：cosA＝ ；cosB＝ ；
cosC＝
整理b cosC＋c cosB＝b ×＋c ×＝＝a
同理：b＝a cosC＋c cosA；c＝a cosB＋b cosA
故可利用余弦定理证得射影定理。
三、例题自学
四、小结：学生分组小结：
知识上：
方法上：
课堂练习：教材p8 练习A 1、2、3、4；
教材p9 练习B1、2、3。
课后作业：教材p9 习题A、B。
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A
B
C
O
c
a
b
A
B
C
O
c
a
b
o
o
A
B
C
O
c
a
b(共15张PPT)
1.1.2 余弦定理 课件
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即 = = =2R（R为△ABC外接圆半径）
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
在Rt△ABC中(若C=90 )有：
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在 中， 、 、 的长分别为 、 、 。
即
同理可证
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即
2．余弦定理可以解决的问题
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
解：∵ ＝0.725， ∴ A≈44°
∵ ＝0.8071， ∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
(∵sinC＝ ≈0.5954,∴ C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在ΔABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.
解：由 ，得 c≈4.297.
∵ ≈0.7767， ∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
(∵sinA＝ ≈0.6299∴ A=39°或141°(舍).)
，
例 3 ΔABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.
解法一：
∵ |AB| ＝
|BC| ＝
|AC| ＝
∴ A≈84°.
解法二：∵ ＝(–8，3)， ＝(–2，–4).
∴ cosA＝ = ,∴ A≈84°.
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形?D.等边三角形
C
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB?,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2?,∴a2＝b2?,∴a＝b，
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.?∵bcosA＝acosB?
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA?，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0?∴sin（A－B）＝0?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?，∴A－B＝0 即A＝B?
故此三角形是等腰三角形.?
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2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 。
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 。
4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A= 。
直角三角形
等腰三角形
锐角三角形
钝角三角形
120°
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2 ，试判断此三角形的类型.?
解：∵sinB·sinC＝cos2 , ∴sinB·sinC＝
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得?
cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1?
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π?∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
A
C
B
余弦定理及其应用