(共18张PPT)
复习回顾：
请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等差中项
定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列的公差。 公差通常用字母 d表示.
由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。
引例：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8
16
…
引例：
②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：
1
…
再来看两个数列：
（3）3，9，27，81，……；
可以发现：
（4）
1
…
1
2
4
8
16
…
(2)
(1)
类比等差数列项与项之间的关系，说说这四个数列它们都有什么共同特点？
数列（1）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
数列（2）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 2
数列（3）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 3
数列（4）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
也就是说，这4个数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 一个常数
2.4.1等比数列
龙泉中学
讲课人：王莹
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母 q表示。
(q≠0)
注意:
(1)等比数列中无零项
(2)等比数列中q R且q 0
(3)既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列
等比数列的定义
2.
或
1.
思考：
与
这两个式子有什么不同？
1
1
2
4
8
16
…
(2)
(1)
（3）3，9，27，81，……；
（4）
q=
q= 2
q= 3
q=-
…
2、等比数列的通项公式：
递推法:
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
类比
2、等比数列的通项公式：
叠加法:
……
由此等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
类比
叠乘法：
……
由此等差数列的通项公式可得：
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列的定义得到
等比数列的通项公式为
拓展：
可得
可得
等差数列
等比数列
类比
等比数列的通项公式还可以写成
an=a1qn－1
等比数列的通项公式
指数型的函数
q>1 递增数列
0q<0 摆动数列
q=1时，是个什么数列呢？
范例讲解
例1：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
分析：设首项为a1，公比为q，则有
解得
所以a2 = 8。
例2．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20.
解：由a15=a5q10，得
所以
因此
或
小结
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式： ，（n ≥ 2，n ∈N）；
2、要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用；
课 后 作 业
教科书P53 习题2.4A组1、2、3、4题等比数列
教学内容分析
这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．
教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．
2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．
3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．
任务分析
这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．
教学设计
一、问题情景
在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：
1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1，2，4，8，…
2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是
本利和＝本金×（1＋利率）存期
例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：
表47-1
时 间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198 10000×1.01982
第3年 10000×1.01982 10000×1.01983
第4年 10000×1.01983 10000×1.01984
第5年 10000×1.01984 10000×1.01985
各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：
１００００×１?０１９８，１００００×１?０１９８２，１００００×１?０１９８３，１００００×１?０１９８４，１００００×１?０１９８５．
问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？
二、建立模型
结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即
［问 题］
1. ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？
2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．
对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．
3. 你如何论证上述公式的正确性．
证法1：同等差数列———归纳法．
证法2：类比等差数列，累乘可得，即
各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．
归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．
（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．
三、解释应用
［例 题］
1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？
解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．
设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．
两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．
用计算器计算，得ｎ≈4．
答：这种物质的半衰期大约为4年．
2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．
解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么
注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．
3. 已知数列｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａnbn｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．
解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·bn｝也是等比数列．
证明如下：
设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛bn｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·bn｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得
显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·bn｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．
特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．
［练 习］
1. 在等比数列｛ａn｝中，
（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．
（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．
2. 设｛ａn｝是正项等比数列，问：是等比数列吗？为什么？
3. 三个数成等比数列，并且它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．
4. 设等比数列｛ａn｝，｛bn｝的公比分别是ｐ，ｑ．
（1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
（2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
四、拓展延伸
引导学生分析思考如下三个问题：
（1）如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？
（2）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．对比一下，你发现了什么？
（3）已知数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n（ｎ≥2），数列｛bn｝满足，你会求它们的通项公式吗？
五、回顾反思
1. 在这节课上，你有哪些收获？
2. 你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试看．
点 评
这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法非常相似，但设计者从类比入手，让学生亲自去发现，猜想，解决，无论从问题的提出，还是在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生可以更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．
美中不足的是，等比数列的现实模型比较多，而这篇案例在对比方面的运用略显单薄．
www.等比数列·例题解析
【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．
[ ]
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列
分析 由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，
an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1
但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．
说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注
【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．
解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q
∴2＝1·q2n+1
x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
∴a4＝2
【例4】 已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求
证明 设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1
【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．
证法一 ∵a、b、c、d成等比数列
∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2
=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)
＝a2－2ad＋d2
＝(a－d)2＝右边
证毕．
证法二 ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：
b＝aq，c＝aq2，d=aq3
∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2
＝a2－2a2q3＋a2q6
=(a－aq3)2
＝(a－d)2=右边
证毕．
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．
【例6】 求数列的通项公式：
(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0
思路：转化为等比数列．
∴{an＋1}是等比数列
∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1
∴{an+1－an}是等比数列，即
an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到
说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．
证 ∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数
∴上述方程的判别式Δ≥0，即
又∵a1、a2、a3为实数
因而a1、a2、a3成等比数列
∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．
【例8】 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．
解 设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有
整理，得
∴b＋d=2b－2d 即b=3d
代入①，得
9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)
9d2=(2d＋1)·4d
解之，得d=4或d=0(舍)
∴b=12
【例9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：
(1)求a1与d的值；
(2)b16是不是{an}中的项？
思路：运用通项公式列方程
(2)∵b16=b1·d15=－32b1
∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则
－32a1=a1＋(k－1)d
∴(k－1)d=－33a1=33d
∴k=34即b16是{an}中的第34项．
解 设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d
解这个方程组，得
∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2
∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3
当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n
【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2
由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列
即：2(aq＋4)=a＋aq2 ①
a，aq＋4，aq2＋32成等比数列
即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)
解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d
由已知：三个数成等比数列
即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)
b－d，b，b＋d＋32成等比数列
即b2=(b－d)(b＋d＋32)
解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3
由已知：a1，a2，a3成等比数列
a1，a2＋4，a3成等差数列
得：2(a2＋4)=a1＋a3 ②
a1，a2＋4，a3＋32成等比数列
得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) ③
说明 将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成
简化计算过程的作用．
【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条
方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．
方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法三 设四个数依次为x，y，12－y，16－x．
这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．
解 设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126
∴b=42
这三个数可写成42－d，42，42＋d．
再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得
解这个方程组，得
a1=17或a2=68
当a=17时，q=2，d=－26
从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．
【例14】 已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．
证明 由已知，有
2a2=a1＋a3 ①
即 a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)
所以a1、a3、a5成等比数列．
【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．
(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．
(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
证明 (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0
∴b－c=a－b=－d，c－a=2d
代入已知条件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0
∴logmx＋logmz=2logmy
∴y2=xz
∵x，y，z均为正数
∴x，y，z成等比数列
(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1
∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：
(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0
变形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0
∵q≠1 ∴logmq≠0
∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c
即a，b，c成等差数列
版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com)
版权所有：高考资源网(www.)
高考资源网(www.)
www.
来源：高考资源网《等比数列》BCA案
考纲要求
1、理解等比数列的概念
2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质
3、并能利用有关知识解决相应问题
B案（基础回归）
1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么
A、b=3，ac=9 B、b=—3，ac=9
C、b=3，ac=—9 D、b=—3，ac=—9
2、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为
A、2 B、3 C、4 D、8
3、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于
A、—1 B、1 C、0 D、2
4、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。
5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn= 。
6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。
C案（典型例题分析）
题型一、等比数列的基本量
例1：等比数列{an}中，Sn为前n项和，若S3+ S6=2S9，求q的值。
二、等比数列的证明
例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an
（1）求证：数列{bn}为等比数列。
（2）求数列{bn}的前n项和Tn。
引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。
三．等比数列的综合应用
例3：已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上。其中n=1，2，3……
（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列。
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an）求Tn。
当堂检测：
1、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3a1，则数列{an}的公比q的值为 。
2、（1）例题2中如果Cn=
求证：{cn}为等差数列
（2）求{an}的通项公式。
A案
必做题：
1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于
A、48 B、72
C、145 D、192
2、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是
A、递增数列 B、递减数列
C、常数列
D、无法确定增减性
3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=
A、 B、
C、或 D、—或—
4、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10=
A、5 B、10
C、20 D、40
5、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=
A、33 B、72
C、84 D、189
6、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。
7、等比数列{an}中，S3=3，S6=9，则a13+a14+a15= 。
8、在等比数列{an}中，若a1·a5=16，a4=8，则a6= 。
9、已知数列{log2（an—1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明
选做题：
1、若数列{an}满足（P为正常数，n∈N*），则称{an}为“等比方数列”。甲：数列{an}是等比方数列；乙：数列{an}是等比数列，则
A、甲是乙的充分但不必要条件
B、甲是乙的必要但不充分条件
C、甲是乙的充要条件
D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2、在等比数列{an}中，公比q=2，前99项的和S99=30，则a3+a6+a9+……+a99= 。
3、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，是与（an+1）2的等比中项。
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为T n，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由。
www.
