3.1.2 不等式的性质 测试题
选择题：
1．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab>0,bc－ad>0，则－>0 ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0 ③若bc－ad>0, >>0，则ab>0．其中真命题的个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
2．若a>b>c，则一定成立的不等式是（ ）
Ａ．a│c│>b│c│ Ｂ．ab>ac Ｃ．a－│c│>b－│c│ Ｄ． <<
3．若a、b∈（0，＋∞），且a>b，则（ ）
Ａ．a2>b2 Ｂ．<1 Ｃ．lg(a－b)>0 Ｄ．<
4．若a>b>c，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．> Ｂ．< Ｃ．ac>bc Ｄ．ac
5．若aＡ． > Ｂ．> Ｃ．│a│>│b│ Ｄ．a2>b2
6．若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若1< <，则下列结论中不正确的是（ ）
A．log> log B．│log＋log│>2
C．(log)2<1 D．│log│＋ │ log│>│ log ＋ log│
8． “a>b>0” 是“ab< ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设a>0，b>0，则不等式－b<A．－ < x <0或0C．x<－或x> D．x<－或x>
二．填空题：
10．设a>1，－111．以下结论：（1）a>b│a│>b；（2）a>ba2>b2；（3）│a│>ba>b；（4）a>│b│a>b，其中正确结论的序号是___________________．
12．已知－≤α<β≤，则的范围为 ．
三．解答题：
13．已知a>b>0,c>d>0，（1）求证：ac>bd （2）试比较与的大小．
14．设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0
求证：（1）a>0，－2<<－1
（2）函数f(x)在（0，1）内有零点．
参考答案：
1．D解析：①∵bc－ad>0∴bc>ad同时除以ab∵ab>0∴>∴－>0
②∵－>0∴>∵ab>0同时乘以ab得bc>ad ∴bc－ad>0
③ >>0 ∴－>0得>0又bc－ad>0 ∴ab>0
C解析：A需要c≠0，B需要a>0，D需要a、b、c同号
3．D
4．B解析：∵a-c>b-c>0∴ <；
5．B解析：∵a；∵a―a>0∴│a│>│b│ ，a2>b2
6．A
7．D解析：∵1< <∴08．A解析：ab< 即a2＋b2-2ab>0即(a-b)2>0，只能得到a≠b
9．D解析：若x>0，则由；若x<0，则由－b<知x<－
二．填空题：
10．a>-ab>-b>b>-a解析：依题意知a>-b>b>-a，只需考虑-ab，它是个正数，依题意│b│<－ab<│a│即-b<-ab11．（1）（4）解析：（1）∵│a│≥a而a>b∴│a│>b（2）必须均正（3）如a=-3,b=2（4）∵│b│≥b而a>│b│∴a>b
12．解析：∵－≤β≤∴－≤－β≤，同向可加性得，从而得到结论．
三．解答题：
13．证明：(1)∵a>b>0,c>d>0∴ac>bc,bc>bd∴ac>bd
(2)∵a>b>0,c>d>0∴>0，>0∴>0 ∴>
14．证明：（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b，得a>c>0；消去c，得a+b<0,2a+b>0．故－2<<－1
（2）抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（，）．∵－2<<－1
∴．由于f()===<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，）和（，1）内各有一个零点．
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www.3.1.2 不等式的性质 学案
【预习达标】
1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．
2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________．
3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ．
4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变形。如：a6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如－3<5,那么倒数大小关系为 。
【典例解析】
例⒈适当增加不等式条件使下列命题成立：
⑴若a>b，则ac≤bc； ⑵若ac2>bc2，则a2>b2；
⑶若a>b，则lg(a+1)>lg(b+1)； ⑷若a>b，c>d，则>．
例⒉设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．
【达标练习】
一．选择题：
⒈若a>b，c>d，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．a+d>b+c Ｂ．ac>bd Ｃ．> Ｄ．d－a ⒉若aＡ．> Ｂ．> Ｃ．> Ｄ．│a│>－b
⒊对于0log③<④>，其中成立的是（ ）
Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④
⒋若a=，b=，c=则（ ）
Ａ． a ⒌下列命题正确的是（ ）
Ａ．若a>b则ac2>bc2 Ｂ．若> 则a>b
Ｃ．若a>b,ab≠0则> Ｄ．若a>b，c>d则ac>bd
二．填空题：
⒍1；ab的范围是 ；的取值范围是 。
⒎若a>b>0,c ⒏α∈（0，），β∈（，），则α－2β的取值范围是 。
三．解答题：
⒐f(x)=ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
⒑已知1≤a+b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围。
参考答案：
【预习达标】
1．若a>b则ba；
2．若a>b，b>c则a>c；
3．若a>b则a+c>b+c；若a>b，c>d则a+c>b+d；
4．若a>b，c>0则ac>bc；若a>b，c<0则acb>0，c>d>0则ac>bd；
5．>，<，<
6．若ab>0且a>b则；。
【典例解析】
例1．（1）c≤0 解析：乘以负数不等号方向才会改变
（2）b≥0解析：∵ac2>bc2 ∴a>b但只有均正时，才有a2>b2
（3）b>－1解析：∵a>b∴a+1>lb+1但作为真数，还需为正，∴需要b>－1
（4）b>0，d>0解析：同向同正具有可除性
例⒉解析：∵f(－1)=a-b，f(1)=a+b∴a=[f(1)+f(-1)]，b=[f(1)－f(-1)]∴f(-2)=4a－2b=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
解二：设f(2)=mf(－1)+nf(1)即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)比较系数可得m=1,n=3∴4a-2b=(a-b)+3(a+b)即f(2)=f(-1)+3f(1) ∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
评注：严格依据不等式的基本性质和预算法则，是正确解答此类题目的保证。由a【达标练习】
一、1．D解析：∵a>b，c>d ∴a+c>b+d即a-d>b-c即d-a2．C解析：∵a-b>0∴>
3．D解析：∵01>a>0,从而1＋>1+a>1 ∴log>log，>。
4．C解析：a=ln ,b=,c=而＝<=，
＝>=，∴c5．B 解析：由> 知c2>0，∴a>b
二、6．解析：∵17．解析：∵c-d>0 ∴a-c>b-d>0 ∴ (a-c)2>(b-d)2 ∴ ∵e<0 ∴
8．解析：∴
三、9．∵f(1)=a-c，f(2)=4a-c ∴a=[f(2)-f(1)]，c=f(2)－f(1)
∴f(3)=9a－c=f(2)－f(1)，∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，∴－1≤f(3)≤20。
10．设4a-2b=x(a+b)+y(a-b)比较系数可求得x=1，y=3∴4a-2b=(a+b)＋3(a-b)，∵1≤a+b≤4，－1≤a－b≤2 ∴－2≤4a－2b≤10
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3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等式的问题，本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.
1．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：
2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
3. 同向不等式与异向不等式
同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式.
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：a>b，c一、不等式的几个基本概念
二、不等式的基本性质
性质1：如果a>b，那么bb．(对称性)
即：a>b b性质2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c a>c
不等式的传递性可以推广到n个的情形．
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>b a+c>b+c
点评：(1)性质3的逆命题也成立；
(2)利用性质3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d a+c>b+d．
例1 已知a>b，cb-d．(相减法则)
性质4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；
如果a>b，且c<0，那么ac推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)
说明：
这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
例2 已知a>b,ab>0,求证：
例3 已知a>b>0,0性质4推论2 若
性质5 若
例4 已知a>b>0，c<0，求证：
例5 已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1,
-1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。
不等式的基本性质总结
作业： 习题6.1 4~6.
补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是
A．a-d>b-c B． C．a+d>b+c D．ac>bd
2. 如果a、b为非0实数，则不等式 成立的充要条件是 [ ]
A．a>b且ab<0 B．a0 C．a>b,ab<0或ab<0 D．a2b-ab2<0
3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 [ ]
A．ab>ac B．(a-b)∣c-b∣>0 C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣ab∣>∣bc|
4.已知a、b为实数，则“a+b>2”是“a、b中至少有一个大于1”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 不充分也不必要条件
5．log m2> log n2的充要条件是 [ ]
A．n>m>1或1>m>n>0 B．1>m>n>0
C．n>m>1或1>n>m>0 或m>1>n>0; D．m>n>13.1.2不等式的性质 教案
教学目标：
掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论.
进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决有关问题.
教学重点：
不等式的性质及证明
教学过程
1、复习：
2、不等式的性质及证明
定理1：a>bb定理2：a>b,b>ca>c(或c说明：（1）相等关系的第一条性质是“自反性”；任何一个数量都等于它自身，即a＝a。不等关系“>”、“<”没有自反性，但“非常格”不等关系“≥”、“≤”具有自反性。
（2）相等关系的第二条性质是“对称性”：a＝b必须且只需b＝a。不等关系“>”、“<”没有对称性（例如a＞b不是必须且只需b＞a）；不等关系“≠”与非常格不等关系“≥”、“≤”具有对称性，其中“≥”、“≤”显然同时具有反对称性。
（3）相等关系的第三条性质是“传递性”：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c。不等关系“>”、“<” 与非常格不等关系≥”、“≤”也有些传递性，但不等关系“≠”没有传递性（例如2≠3，且3≠2，但2=2）
定理3：a>ba+c>b+c(或a定理3说明：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
推论1：a+b>ca>c-b(移项法则)
也就是说：不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.
推论2：a>b,c>da+c>b+d
显然，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向
定理4、若a>b,且c>0，那么ac>bc；若a>b,且c<0，那么ac推论1、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd
显然，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，即两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，还可以得到：
推论2、若a>b>0,则an>bn (n∈,且n>1)
推论3、若a>b>0,则 (n∈,且n>1)
例⒈适当增加不等式条件使下列命题成立：
⑴若a>b，则ac≤bc； ⑵若ac2>bc2，则a2>b2；
⑶若a>b，则lg(a+1)>lg(b+1)； ⑷若a>b，c>d，则>．
（1）c≤0 解析：乘以负数不等号方向才会改变
（2）b≥0解析：∵ac2>bc2 ∴a>b但只有均正时，才有a2>b2
（3）b>－1解析：∵a>b∴a+1>lb+1但作为真数，还需为正，∴需要b>－1
（4）b>0，d>0解析：同向同正具有可除性
例⒉设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．
解析：∵f(－1)=a-b，f(1)=a+b∴a=[f(1)+f(-1)]，b=[f(1)－f(-1)]∴f(-2)=4a－2b=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
解二：设f(2)=mf(－1)+nf(1)即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)比较系数可得m=1,n=3∴4a-2b=(a-b)+3(a+b)即f(2)=f(-1)+3f(1) ∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
评注：严格依据不等式的基本性质和预算法则，是正确解答此类题目的保证。由a小结：本节课我们学习了不等式的性质及其推论
课堂练习：第71--72页练习A、B
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