2.2.1等差数列学案
一、预习问题：
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母表示。
2、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的 ，
即 或 。
3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
4、等差数列的通项公式： 。
5、判断正误：
①1，2，3，4，5是等差数列； （ ）
②1，1，2，3，4，5是等差数列； （ ）
③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； （ ）
④数列是公差为的等差数列； （ ）
⑤数列是等差数列； （ ）
⑥若，则成等差数列； （ ）
⑦若，则数列成等差数列； （ ）
⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列； （ ）
⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。 （ ）
6、思考：如何证明一个数列是等差数列。
二、实战操作：
例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2)是不是等差数列中的项？如果是，是第几项？
（3）已知数列的公差则
例2、已知数列的通项公式为，其中为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求这5个数。2．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10 000 10 072
第2年 10 000 10 144
第3年 10 000 10 216
第4年 10 000 10 288
第5年 10 000 10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
…
所以
……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
……
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
……
两边分别相加得
所以
（迭代法）：是等差数列，则有
……
所以
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。
[随堂练习]
例1之后：课本45页“练习”第1题；
例2之后：课本45页“练习”第2题；
[课堂小结]
本节主要内容为：
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
(五）评价设计
1、已知是等差数列.
⑴ 是否成立？呢？为什么？
⑵ 是否成立？据此你能得出什么结论？
是否成立？据此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列的公差为d.求证：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
（n-1）个等式(共26张PPT)
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等差数列(二)
课前自主学案
心学习目标
概念、性质解决
1.等差数列的常用设法
①若有四个数成等差数列,则一般设为a-3d,a-dl,
②若有三个数成等差数列,则一般设为a-a,a
2.已知等差数列{an}的项an1,an以及公差t,则a2=an+
d
3.在等差数列{an中,若mn-= pt g(rn, n, g、力∈N“),则a
4.若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(入、b是常数)是公差为入d的等差数列
5.若数列{an}、{b}都是等差数列,则数列{a
a
D自主探究
等差数列在实际中的
C例1
果某人乘
等差数列在实际中的
C例1
果某人乘
解
那
将实
移
第一年起,第
销
将
例2
解
等差数列通
第61项
等差数列性质的应用
C例3在等
等差数列性质的应用
C例3在等
方法
故
悟吾
要
→随堂反馈练习→◇
等差数列{an}中,a1=4,49=36,则c5等于
A.40
B.32
C.20
2.在等差数列51,47,43,…,第一个负数项为
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.第16项
解析数
3.已知等差数列{an}中,a4=-8,4=-20,则数列{an}的通
项公式a
4.已知等差数列{an}中,c与a是方程x2-4x+3=0的两
根,则a3+as
质,将会简
提高解题
活页作业一
.若{an}为等差数列,则下列数列中
①{pa};②{pan+q;③{n·an};④{a2n};⑤{a1+an+1}(其
中力、q为常数),等差数列的个数为
角
是
已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m
和n的等差中项是
A.2
B.3
D.9
解
的等
设m,a1,a2,成等差数列,m,b,b,b,n也成等差数列,其
中m≠n,则2的值为
A
B
4
D
4
解
择
4.设等差数列{a2}的前n项和为S3,若S3=9,S=36.则a+
a+c等于
A.63
B.4
C.36
D.27
解
等差数列{an}中,a3,a9是方程2x2-x-7=0的两根,则c
于
B
D
知
6.在公差为c的等差数列{an}中,an+=an+
(用
n,d表示,其中m,n∈N“)
在a,1(a≠b)之间插入两个数,使它们组成等差数列,则公
差l
8.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数
为第2课时 等差数列
1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：
⑴ an＝a1＋ ×d
⑵ an＝am＋ ×d
3．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn
(a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：
⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
例1. 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
解：(1)方法一：
∴a60＝a1＋59d＝130．
方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．
(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，
∴
∴Sn＝2n2－17n
∴S28＝2×282－17×28＝1092
(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，
又S6＝
∴15＝即a1＝－5
而d＝
∴a8＝a6＋2 d＝16
S8＝
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
解：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10＝
例2. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．
⑵ 求数列{an}的通项公式．
解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2)
∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2)
∴ 数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b1＝＝
故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝
即：＝ 得：an＝a(1＋)
变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若，求数列的前n项和
解：1），即 为等差数列。
（2）。
例3. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
解：设{an}首项为a1公差为d，由
∴ Sn＝
∴ ∴Tn＝
变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
解：B 解析：。
例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n
＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n
＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000
S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1) n∈N*
∴ a＞＝250＋≥250＋
＝
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．
2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．
3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．
4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．
基础过关
典型例题
归纳小结
