第1课时 数列的概念
1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
⑴ －，，－，…；
⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3，
解： ⑴ an＝(－1)n
⑵ an＝
（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得
⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为
∴
变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：
① an＝[1＋(－1)n] ② an＝
③ an＝
其中可作为{an}的通项公式的是 （ ）
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解：D
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴ Sn＝3n－2
⑵ Sn＝n2＋3n＋1
解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1
解得：an＝
⑵ an＝
变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
解：当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝
例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)
解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．
⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝．
(3)∵
∴an＝
变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．
解：方法一：由an＋1＝得
，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)·,即an＝
方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明．
例4. 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．
解：
得
变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．
(1) 证明数列{an＋1}是等比数列；
(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)．
解：(1) 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得：
Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1
从而an＋1＋1＝2(an＋1)
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝2a1＋6,
又a1＝5，∴ a2＝11
∴ ＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.
(2) 由(1)知an＝3×2n－1
∵ ＝a1x＋a2x2＋…＋anxn
∴ ＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1
从而＝a1＋2a2＋…＋nan
＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)
＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)
＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－
＝3(n－1)·2n＋1－＋6
1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．
基础过关
典型例题
归纳小结
PAGE数列的概念
一.知识回顾
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.
数列的通项公式.
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
二、基本训练：
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、数列4，－１，，－ ，，…的一个通项公式是
A、 B、 C、 D、
3、 已知数列的通项公式为，那么是这个数列的
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
4、已知，则在数列的最大项为____________.
5、在数列中，，且Sｎ＝9，则n＝_____________.
6、（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
三、例题分析
例１.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式
①；
②
③数列｛an｝中，，对所有的n≥2都有
变题：已知数列满足，，则数列的通项 .
例2 （1）已知数列，，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明.
变题：(A计划例4) 在数列中，，，求an
（2）数列中，，前n项和满足，求数列的通项公式.
例3 、已知数列的通项。试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.
例4 、设函数，数列的通项满足()，试讨论数列的单调性.
四、作业 同步练习 数列的概念
1. 设数列则是这个数列的
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为
A. B. C. D.
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列中，，，则的值是
A. B. C. D.
5.设数列， ，其中a、b、c均为正数，则此数列
A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减后增
6. 数列的一个通项公式是 。
7. 数列的前n项和，则 。
8. 数列满足，则 。
9. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
10. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，
（1）若，求的值； （2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.
11. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
12. 已知数列的通项公式为（）
①0.98是否是它的项？
②判断此数列的增减性与有界性.
13. 已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围.
答案：
基本训练：
1、C 2、D 3、A 4、 5、99
6、3； 当n为偶数时，；当n为奇数时，.
例题分析：
例1、(1) (2) (3) 变题： 例2、（1） （2） 例3、最大项为第9、10项 例4、递增数列
作业：
1—5、BDDA A 6、 7、 8、161 9、8、
10、（1）36 （2） 11、 12、（1）第7项 （2）递增数列，有界数列 13、
www.
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
PAGE
- 1 -(共20张PPT)
.
返回
www.
数列的概念与简单表示法
课前自主学案
高考赘源网
高考资源
边的高考专家!
1.理解数列的定义、数列的项、项数、数列的通项公式等概
2.能区别有穷数列和无穷数列,能区别递增数列、递减数
列、常数列、摆动数列
3.能根据数列的通项公式,写出这个数列的某些项,也能
根据数列的某些项,写出这个数列的一个通项公式
数列的定义:按照
排列起来的一列数称为数
2.数列的表示:数列的一般形式可以写成
其中an是数列的第n项,叫做
常把一般形
式的数列简记作
3.数列与函数:如果数列的第n项a与n之间的关系可
以用一个函数
来表示,那么这个公式叫做这个数列的
通项公式,数列可以
的函数.它的图象是相应的曲线上
的一群孤立的点
的函数.它的图象是相应的曲线上
的一群孤立的点
4.数列的分类:(1)数列按项数可分为
和
项数的数列叫做有穷数列,项数的数列叫做无穷
数列
(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减
数列、常数列和摆动数列.从第二项起,每一项都它的前
项的数列,叫做递增数列;从第二项起,每一项都它的前
项的数列,叫做递减数列;各项的数列叫做常数列.从第
项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
4做摆动数列
1.类比数列与函数的概念,找出数列与函数的区别与联系
2.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗
答数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N(或它
的有限子集),值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的
对应值.反之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3
有意义,这些函数值也可以组成一个数列.数列的表示方法
与函数类似,有通项公式(解析式)法、列表法、图象法、简单
的递推公式.任一数列都是函数,但任一函数并不都是数列
数列的图象是一系列孤立的点,而函数的图象一般是连续
的,不间断的
答仅根据数列的前若干项写出的数列的通项公式的形式
可能不唯
课堂对半讲练
几项写出数列的
例D
解
文
摆
项
项
的通项
项与各
序
系
变式迁移1
的
数
第
按
项公式的应用
例2已知数
的
迁移
C例3
数
项
第
填“是”或
解
数列中第
◇随堂反馈练习→
下列判断不正确的是
A.任何数列{an}的通项a1都是项数n的函数
B.任何数列都有唯一的通项公式
C.如果给出了数列的一个通项公式,那么就可以求出这个
数列的任意项
D.一天内24小时的气温可以形成一个数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●三维目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记
PAGE
- 1 -
