2．5等比数列的前n项和(1)
一.选择题：
1.等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是 ( )
A.179 B.211 C.243 D.275
2.等比数列中,, 前3项和,则公比q为 ( )
A.3 B. 4 C.3或 4 D. 3或4
3.等比数列的前n项和,则等于 ( )
A.3 B.1 C.0 D. 1
4.已知等比数列的前项和,前项和,则前项和( )
A.64 B.66 C. D.
5.等比数列中,,a5a6=9,则( )
A.12 B.10 C.8 D.
6.若是等比数列,前n项和,则 ( )
A. B.
C. D.
二.填空题：
7.等比数列4， 2，1， 的前10项和是 .
8. .
9.在等比数列中,,,则 .
10．数列0.9,0.99,0.999,…的前n项和是 。
11.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .
三.解答题
12.在等比数列中,,a2an-1=128,且前n项和，
求n以及公比q.
13.等比数列中前n项和为,,,求的值.
2．5等比数列的前n项和(2)
一.选择题：
1.已知数列的通项公式为,则数列的前5项和 ( )
A. B.62 C. D.682
2.已知等比数列的通项公式为，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和 ( )
A. B. C. D.
3.等比数列中,,前三项和,则公比q的值为 （ ）
A.1 B. C.1或 D.或
4.在公比为整数的等比数列中，如果, ,则这个数列的前8项之和 ( )
A.513 B.512 C.510 D.
5. 在等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则数列中前n个偶数项的和等于………… （ ）
A、3n-1 B、3（3n-1） C、（9n-1） D、（9n-1）
6.数列的前99项和为 （ ）
A. B.
C. D.
二.填空题：
7.数列满足,,,…, 是以1为首项，为公比的等比数列，则的通项公式 .
8. 已知lgx+lgx2+…+lgx10=110，则lgx+lg2x+…+lg10x= .
9.某工厂月生产总值的平均增长率为,则年平增长率为 .
10.在等比数列中，,,前n项和为，则满足的最小自然数n的值是 .
三.解答题
11．求和Sn=1+2x+3x2+…nxn-1 （x∈R）
12.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项的和的4倍,第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍,求该数列的通项公式.
13.某放射性物质，它的质量每天衰减3%,则此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要的天数是多少？（lg0.97= 0.0132, lg0.5= 0.3010）
2.5等比数列的前n项和(1)
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 7. 8. 9.27 10。n- 11.
12. 由a2an-1=a1an=128,又得, 是方程的两根,解这个方程得,或,由得或.
13.∵等比数列中,,,……仍成等比数列,∴,,,……也成等比数列,而则是这个等比数列中的第5项,由,得∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴.
2.5等比数列的前n项和(2)
1.D 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7. 8. 2046 9. 10.8
11. x=0时Sn=1;x=1时Sn=;x≠1时，Sn=
12．∵在项数为偶数的等比数列中,,∴,解得,又由得, ,∴.
13.由得,即,∴,
故答: 此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要23天.等比数列前项和(1)
一、学习目标 （1）掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．二、学法指导推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法。一般地，设等比数列的前n项和是，由 得∴,当时， 或 当q=1时，（错位相减法）说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况．三、课前预习1．等比数列的前n项和：等比数列中的和，即2. 推导等比数列前n项和公式的方法：------------------------3．等比数列前n项和公式：---------------------------------------------------------------------三、课堂探究如何推导等比数列前n项和公式的方法四．数学运用例1．求等比数列中，（1）已知；，，求；（2）已知；，，，求．例2．求等比数列中，，，求；例3．求数列的前项和．例4．（选讲）设是等比数列，求证：成等比数列．四、巩固训练（一）当堂练习（52页书后练习） （二）课后作业选做1．{an}为等比数列，前n项和为Sn，，S4=4，求S8 2．在等比数列中，表示该数列的前项和，若，，求五、反思总结
等比数列前项和(2)
一、学习目标 （1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。二、学法指导1.对于等比数列可以用类比等差数列前项和的性质，得到等比数列前项和的性质，2．要注意等比数列与等差数列之间存在的差异性。3．对于前项和Sn的公式形式，等差数列与二次函数有关，而等比数列与指数函数有关。三、课前预习1．若某数列前项和公式为则是 数列。2．若数列是公比为q的等比数列，则（1） （2）在等比数列中，若项数为 三、课堂探究例1．水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占．国家确定年西部地区退耕土地面积为万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？例2．某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果年还清，那么每月应还贷多少元？例3：已知数列为等差数列（公差d≠0）, 中的部分项组成的数列，…………恰为等比数列，其中的值。例4．（选讲） 在等比数列中，已知四、巩固训练（一）当堂练习(书后练习)（二）课后作业1、在等比数列{an}中，a3=，S3=求{an}的通项和前n项和。2．设等比数列{an}前n项和Sn，且S3+S6=2S9，求该等比数列的公比。五、反思总结
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来源：高考学习网课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（1课时）
●三维目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记(共14张PPT)
等差数列 {an}
等比数列 {an}
定义
an+1 - an = d ( 常数 )
an+1 ／ an = q ( 不为零的常数 )
通项
an = a1 + ( n – 1 ) d
an - am = ( n – m ) d
an = a1 qn-1
an ／ am = qn-m
⑴公式
⑵推导
方法
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累加法
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累乘法
性质
若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N*
则 am + an = ar + as
若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N*
则 am · an = ar · as
前n项和Sn
⑴公式
⑵推导
方法
（ a1 + an ）n
Sn =
2
= na1 +
n(n – 1)
2
d
化零为整法
问题：等比数列｛an｝，如果已知a1 , q , n 怎样表示Sn
Sn = a1 + a2 + · · · + an
解：
= a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1
= a1 ( 1 + q + q2 + · · · + qn-1 )
尝试：
S1 = a1
S2 = a1 + a1q = a1 ( 1 + q )
S3 = a1 + a1q + a1q2 = a1 ( 1+ q + q2 )
讨论q≠1时
a1
( 1 – q3 )
1 - q
=
a1
( 1 – q2 )
1 - q
=
a1
( 1 – q1 )
1 - q
=
猜想：
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
验证：
an = Sn - Sn-1
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
-
a1
( 1 – q n-1 )
1 - q
= a1 qn-1
a1
(q n-1 – qn )
1 - q
=
当n≥2时
当n=1时
a1 = S1 亦满足上式
∴ an = a1 qn-1
∴ Sn ( q≠1 )
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
Sn = a1 + a2 + · · · + an
= a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1
= a1 ( 1 + q + q2 + · · · + qn-1 )
当 q≠1 时
即 1 + q + q2 + · · · + qn-1 … … … …（＊）
1 – qn
1 - q
=
证明（＊）式
( 1 + q + q2 + · · · + qn-1 ) ( 1 - q )
= 1 + q + q2 + · · · + qn-1
- ( q + q2 + · · · + qn-1 + qn )
= 1 - qn
∴ （＊）式成立
相减
( 1 – q ) Sn = a1 - a1 qn
= a1 ( 1 – qn )
∴当 1 – q ≠ 0 , 即 q ≠ 1 时，
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
当 q = 1 时，
Sn = n a1
错项相减法：
Sn = a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1
q Sn = a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1 + a1qn
等比数列｛an｝前n项和公式为
当q≠1时
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
当q＝1时
Sn = n a1
=
a1 - an q
1 - q
练习：
（1） 1＋2＋4＋ … ＋263 ＝
（2）1－2＋4 ＋ … ＋(－2)n-1 =
（3）等比数列 {an} 中，a1 = 8 , q = , an = , 则Sn=
（4）等比数列 {an} 中，a1 = 2 ，S3=26 , 则 q =
264-1
1 – ( - 2 ) n
3
31
2
- 4 或 3
例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和
解：
设 bn = 2n , 且对应的前n项和为
Cn=2n-1 , 对应的前n项和为
′
S n
″
S n
则 an = bn ＋Cn ，Sn = +
′
S n
″
S n
∴
′
S n
=
2 ( 1 – 2 n )
1 – 2
= 2 ( 2n – 1 )
= n2
∴
Sn =
′
S n
″
S n
+
=
2n+1 + n2 - 2
∴
″
S n
=
1 + ( 2n - 1 )
2
n
例2：求和 ( x + ) + ( x2 + ) + ( x3 + ) + … +( xn + )
1
y
1
y2
1
y3
1
yn
（1） 当 x ≠ 0 , y ≠1 时
（2） 当 x ≠ 0 时
解：
当 x = 1 时
Sn = ( x + x2 + … + xn ) + ( + + … + )
1
y
1
y2
1
yn
（1）
Sn =
1
y
( 1 - )
1
yn
1 -
1
y
= n +
yn+1 - yn
yn - 1
当 x ≠ 1 时
Sn =
x ( 1 - xn )
1 - x
1
y
( 1 - )
1
yn
1 -
1
y
+
x ( 1 - xn )
1 - x
yn+1 - yn
yn - 1
+
=
n +
( 2 ) 只须注意再讨论y是否等于1的取值情况
例3： 求数列：1 , 2x , 3x2 , … ，nxn-1 ,… （x≠0) 的前n项和
解：
当 x = 1 时 Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
n(n+1)
2
当 x ≠1 时 Sn = 1 + 2 x+ 3x2 + … + nxn-1
x Sn = x+ 2x2 + … + (n-1)xn-1 + nxn
错项相减
( 1 – x ) Sn = 1 + x + x2 + … + xn-1 - nxn
=
1 - xn
1 - x
- nxn
∴ Sn
=
1 - xn
(1 - x)2
-
nxn
1 - x
=
( 1 – x )2
1 – ( 1 + n ) xn + xn+1
综上所述：
当 x = 1 时 Sn =
n(n+1)
2
当 x ≠1 时 Sn
=
( 1 – x )2
1 – ( 1 + n ) xn + xn+1
等差数列 {an}
等比数列 {an}
定义
an+1 - an = d ( 常数 )
an+1 ／ an = q ( 不为零的常数 )
通项
an = a1 + ( n – 1 ) d
an - am = ( n – m ) d
an = a1 qn-1
an ／ am = qn-m
⑴公式
⑵推导
方法
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累加法
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累乘法
性质
若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N*
则 am + an = ar + as
若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N*
则 am · an = ar · as
前n项和Sn
⑴公式
⑵推导
方法
（ a1 + an ）n
Sn =
2
= na1 +
n(n – 1)
2
d
化零为整法
当q＝1时
Sn = n a1
当q≠1时
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
=
a1 - an q
1 - q
①归纳猜想验证法
②错项相减法
方法三：
Sn = a1 + a2 + · · · + an
= a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1
= a1 + q ( a1 + a1q + · · · + a1 qn-2 )
= a1 + q Sn-1
= a1 + q ( Sn – an )
∴ ( 1 – q ) Sn = a1 – q an
∴当q≠1时
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
=
a1 - an q
1 - q
当q＝1时
Sn = n a1
方法四：
∵
…
∴当q≠1时
Sn
a1
( 1 – qn )
1 - q
=
=
a1 - an q
1 - q
当q＝1时
Sn = n a1
