课题: §3.3.2简单的线性规划
第5课时
授课类型：新授课
【三维目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
2.讲授新课
1．线性规划在实际中的应用：
在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数，满足
求4+2的取值范围．
错解：由①、②同向相加可求得：
0≤2≤4 即 0≤4≤8 ③
由②得 —1≤—≤1
将上式与①同向相加得0≤2≤4 ④
③十④得 0≤4十2≤12
以上解法正确吗 为什么
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．
(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4≤8及0≤2≤4是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．
(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么 此例有没有更好的解法 怎样求解
正解：
因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有条件有： （5）
（6）
将（5）（6）两式相加得
所以
3.随堂练习1
1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
4.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
5.评价设计
【板书设计】(共22张PPT)
3.3.1
二元一次不等式（组）与平面区域
重庆铁路中学 (400053) 何成宝
一只蚂蚁在地平面上寻找食物，蚂蚁的位置可由坐标(x,y)确定，现知在直线L：x+y-1=0左下方区域某处有一食物，如果蚂蚁运动的坐标始终满足x+y-1>0,那么蚂蚁能找到食物吗？
哈哈，我是蚂蚁！
O
x
y
L
一、问题情境：
一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来3万元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
你能列出题目中所存在的不等
关系吗？
把实际问题
数学问题：
问题1：
把文字语言
符号语言：
问题2：
把实际问题
数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
把文字语言
符号语言：
由资金总数不超过25 00万元
预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收3万元以上
（12﹪)x+(10﹪)y≥3
即12x+10y≥3 00
用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值
将①，②，③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：
①
②
③
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式
二元一次不等式组：由几个二元一次不
等式组成的不等式组
问题1：
问题2：
二、新知探究：
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3）二元一次不等式的解集：
满足二元一次不等式的有序实数对(x，y)构成的集合；
你知道二元一次不等式的解集是什么？
思考：在平面直角坐标系中, 点的集合 {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形？
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：一元一次不等式（组）的解集－－数集
图形－－－数轴上的区间。
如：不等式组
的解集为数轴上的一个区间（如图）。
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形？
二、新知探究：
（2）探究
特殊：二元一次不等式 x－y <6 的解集所表示的图形。
作出x－y =6的图像：一条直线
右下方区域
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x－y =6上的点
b)在直线x－y =6左上方区域内
c)在直线x－y =6右下方区域内
左上方区域
x
y
0
6
－6
●
6
－6
(0,0)
(3,－3)
(－2, 3)
(1,－6)
(7,0)
●
●
●
●
x
y
思考:在平面坐标系上描点 (3,－3)（0,0）,(－2,3),(7,0),(1,－6),
看看它们与直线x－y－6=0的位置关系,并计算x－y－6的值
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
从特殊到一般
（1）对直线L右下方的点(x, y)，x－y－6＞0 成立。
（2）对直线L左上方的点(x, y)，x－y－6＜0 成立。
x
y
o
6
6
猜一猜：
x－y－6>0
x－y－6<0
P(x0 ,y0)
6
6
过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
x
y
o
x－y－6=0
y= y0
A(x, y)
∵ x>x0, y=y0 ∴ x－y>x0－y= x0 －y0
∴ x－y>x0－y0 ，∴ x－y－6> x0－y0－6
又x0－y0－6=0 ∴x－y－6>0
因为点P为直线x－y－6=0上任意一点,
同理,对于直线左上方的任意一点(x,y),都有x－y－6<0
在直线 x－y+1=0上取一点P(x0, y0)，
在此直线上点P右侧的任意一点A(x,y)
证一证：
x
故对于直线x－y－6=0右下方的任意点(x,y),都有x－y－6>0
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
结论:在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y =6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6,故不等式x-y<6表示直线x-y = 6的左上方的平面区域,类似地,二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6的右下方的平面区域
直线叫做这两个区域的边界。
注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界
x
y
-6
6
O
x-y <6
x
y
O
6
-6
x-y>6
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）
结论一
二元一次不等式表示相应直线的
某一侧平面区域
O
x
y
Ax + By + C = 0
从特殊到一般
二、新知探究：
问题4：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域.
结论二
直线定界，特殊点定域.
小诀窍
如果C≠0,可取(0,0);
如果C＝0,可取(1,0)或(0,1).
从一般到特殊
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
x+4y―4=0
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）
(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，因为 0 + 4×0 – 4 = －4 < 0
所以，原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，
不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。
三、例题示范：
1
4
x
y
0
x + 4y – 4 < 0
课堂练习1:
(1)画出不等式4x―3y≤12
表示的平面区域
x
y
4x―3y－12=0
x
y
x=1
(2)画出不等式x≥1
表示的平面区域
-4
3
0
0
1
y < －3x+12
x<2y
的解集.
例2、用平面区域表示不等式组
0
x
y
3x+y-12=0
x-2y=0
三、例题示范：
4
8
4
8
12
分析：不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面点集的
交集，因而的各个不等式所表示
的平面区域的公共部分。
课堂练习2：
课本第86页的练习1、2、3。
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
课堂练习2：
课本第86页的练习1、2、3。
3、不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。
小结：本节课学习了那些内容？
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
数学思想：从特殊到一般，从一般到特殊
作业：
课本 P93 习题3.3 [A组] 第 1、2题。
补充：求由三直线x-y=0; x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。新 课 标 高 一 数 学 同 步 测 试
（必修5第三章）
姓名______________学号______________成绩______________
一、选择题：
1．若a
0,则a、b、c、d的大小关系是 （ ）
A．d2．若实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是 （ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
3．在上满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．在三个结论：①，②
③，其中正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是 （ ）
A．（－π，0） B．（－π，π） C．（－，） D．（－，）
6．设且，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．目标函数，变量满足，则有 （ ）
A． B．无最小值
C．无最大值 D．既无最大值，也无最小值
8．设M=,且a+b+c=1，(a、b、c∈R+)，则M的取值范围是 （ ）
A．[0,] B．[,1] C．[1,8] D．[8,+∞）
二、填空题：
11．设0<|x|≤3,1<|y|≤2005,是|x-y|的最大值与最小值的和是 ．
12．设 ．
13．若方程有一个正根和一个负根，则实数
的取值范围是__________________．
14．f(x)的图象是如图两条线段，它的定义域是，则不等
式 的解集是 ．
三、解答题：
15．（1）设a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；
（2）已知a、b是不等正数，且a3－b3= a2－b2 求证：1< a +b<．
16．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．
17．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
类 型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
18．（1）求的最小值；
（2）若，且，求的最大值．
19．（1）设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|x|≤2的一切实数x的取值都成立．
x
y
O
1
－1 1
－1《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
课标要求
了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义．
了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提
高解决实际问题的能力．
本节重点和学习中可能遇到的困难
重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），二元一次不等式（组）表示的平面区域及简单的二元线性规划问题．
学习中可能遇到的困难：二元一次不等式表示的平面区域的探究过程及从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
要点讲解
Ａ．二元一次不等式（组）与平面区域
1．满足二元一次不等式（组）或的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解．因为有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．所以，二元一次不等式（组）的解集是直角坐标系内的点构成的集合．
2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．当点在直线上时，；当点不在这条直线上时，则或．于是直线把平面分成两部分，此直线是这两部分平面区域的边界．若其中一部分平面的点用表示，则保持相同的符号；若另一部分平面上的点用表示，则保持相同的符号且与前者符号相反．所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由的正负即可判断表示的是直线哪一侧的平面区域．
特别地，当时，常有原点作为特殊点．
画不等式表示的平面区域是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线．
例如：画出不等式的平面区域．
先作出边界，因为这条直线上的点都不满足，故画成虚线；又因为，所以取原点代入得，所以，原点不在表示的平面区域内，其区域如图所示．
Ｂ．简单的线性规划问题
1．一般地说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．
2．线性目标函数的几何意义：是直线在轴上的截距．
3．生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
4．求线性规划问题的步骤
图解法是解决线性规划问题的有效方法，其步骤是：①设未知数；②确定目标函数；③ 列出约束条件；④画出不等式（组）表示的平面区域，即可行域；⑤作平行直线系使之与可行域有交点；⑥求最优解并作答；⑦写出目标函数的最值．
应注意的问题
易错点：对可行域、最优解的判断出现问题或对目标函数的几何意义理解不清都容
易出现错误．
课本习题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情
况，除了有唯一的最优解的情况外，还有：
无可行解：这是约束条件组成的不等式组无解的情况；
有无穷多个最优解：这是目标函数和可行域的边界线平行的情况；
有可行解，无最优解：这种情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果线性
规划中的可行域是闭区域，那么一定有最优解．
课本习题中出现的都是“截距型”目标函数（不同时为零），即线
性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数：
（1）“斜率型”目标函数（为常数）．最优解为点（）与可行域
上的点的斜率的最值；
（2）“两点间距离型”目标函数（为常数）．最优解为点（）与可行域上的点之间的距离的平方的最值；
（3）“点到直线距离型”目标函数（为常数，且不同时为零）．最优解为可行域上的点到直线的距离的最值．
www.