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新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.2《基本不等式
-实际应用》
审校：王伟
教学目标
掌握建立不等式模型解决实际问题.
教学重点：
掌握建立不等式模型解决实际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
分析：只要比较增加相等的面积后，窗户的总面积和占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断。
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面积好占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的值（面积单位都相同），
由题意得0
0，
则
，
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0，
又因为a0，
因此
即
答：窗户和住宅的占地同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了。
例2．由纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
分析：如果桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药药液后，桶内剩下的纯农药药液还有(x－8)升，用水加满，桶内纯农药药液占容积的 ，
第二次又倒出4升，则倒出的纯农药药液为 ，此时桶内还有纯农药药液
升
解：设桶的容积为x升，显然x>8，
则原不等式化简为:
9x2－150x+400≤0，
依题意有 ，
由于x>8，
解得
即 (3x－10)(3x－40)≤0，
从而
答：桶的最大容积为 升。
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%解：设食品消费额的平均每年的增长率为x (x>0)，
则到2005年，食品消费额为0.6(1+x)2万元,
消费支出总额为1+2×0.3=1.6万元。
依题意得
即
解不等式组中的两个二次不等式，
由x>0，解得
因此
因为
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，也就是说，平均每年的食品消费额至多是增长15.5%。
练习
1．用一根长为100ｍ的绳子能围成一个面积大于600ｍ2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形的一边长为x（ｍ），则另一边的长为50－x（ｍ），0＜x＜50．
由题意，得x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0．解得20＜x＜30．
所以，当矩形的一边长在（20，30）的范围内取值时，能围成一个面积大于600ｍ2的矩形．
用S表示矩形的面积，则
S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625（0＜x＜50）
当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25即当矩形长、宽都为25ｍ时，所围成的矩形的面积最大．
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p（元／件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？
解：由题意，得
(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解之得 20≤x≤45，
因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．
3. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40km／h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．
事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，
又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km／h）之间分别有如下关系：
s甲 ＝0.1x＋0.01x2，s乙 ＝0.05x＋0.005x2,问：甲、乙两车有无超速现象？
分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．
解：由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2000＞0，
解得x＞40或x＜－50（不合实际意义，舍去），
这表明乙车的车速超过40km／h，超过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？
解：由题意得生产销售的酒为(100－10R)万瓶，可以卖得70×(100－10R)万元，
附加税为70×(100－10R)×R%万元，
所以
70×(100－10R)×R%≥112，
即R2－10R+16≤0，
解得2≤R≤8.
答：R的取值范围为2≤R≤8。3．4 基本不等式
第一课时 基本不等式（一） ( http: / / www. / )一、教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 ( http: / / www. / )(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 ( http: / / www. / )二、教学重点、难点
教学重点：两个不等式的证明和区别 ( http: / / www. / )教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
三、教学过程 ( http: / / www. / )提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
（，） ( http: / / www. / )提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）
提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有）
1、一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？
证明:
所以
注意强调 （1） 当且仅当时,
(2)特别地,如果 用和代替、，可得,
也可写成,引导学生利用不等式的性质推导
提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式的几何解释吗？
练习、已知：求证：
例3、若，，，
比较的大小
例4、当时，求函数的值域。
例5、若实数满足求的最小值
练习：教材P100面练习1题、2题。
四：课堂小结：
比较两个重要不等式的联系和区别
五：作业：《习案》作业三十一。
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来源：高考资源网《基本不等式》同步测试
一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x>0,则的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、填空题, 本大题共小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.
11. 函数的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 设a, b, c且a+b+c=1，求证：
17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.
18. 是否存在常数c,使得不等式对任意正数x, y恒成立？试证明你的结论.
专题五《基本不等式》综合检测
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C A B C C C
二．填空题
11. 12.3600 13. 14.对
三、解答题
15． 16. 略 17. (1) (2) 18．存在，基本不等式（二）
自主学习
预习与反馈
1．已知x，y都是整数，
（1）若（和为定值），则当时，积xy取得
（2）若（积为定制），则当时，和取得
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y满足，且x,y都是正数，则的最大值是（ ）
A．40 B．10 C．4 D．2
3．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，则函数（ ）
A．有最大值-6． B.有最小值6 C有最大值-2 D.有最小值2
5．已知，则的最小值为
★利用均值不等式求最值时，应注意的问题
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。
②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。
③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。
学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值
已知，求函数的最大值。
变式 已知0【题型二】含条件的最值求法
已知整数x,y满足，求x+2y的最小值。
变式 ：已知，满足，求的最小值.
【题型三】利用不等式解应用题
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
知识拓展
1. 基本不等式的变形：
；；；；
2. 一般地，对于个正数，都有，（当且仅当时取等号）
3. 当且仅当时取等号）
巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使恒成立的实数m的最小值是（ ）
A. B. C.2 D
2．设x,y满足x+4y=40,且想，且x,y，则的最大值是（ ）
A．40 B。 10 C。4 D。 2
3．已知正项等差数列的前20项和为100，则的最大值为（ ）
A．100 B。75 C。 50 D。 25
4．函数 （ ）
A． B。 C。 D。1
5． 设x>0,则y=3-3x- 的最大值是
6． 函数f(x)=3x+lgx+ (07． 求（x>-1）的最小值。
8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
名题赏析
（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以，
又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；
由Sn1>Sn，得，，最小正整数n15．
www.