等差数列·例题解析
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．
代入an＝a1＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知：a1＝－1，a5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解 设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N
得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3
∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．
解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．
可能是等差数列．
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．
又∵ a、b、c不为0，
∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a、b、c不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；
分析与解答
(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0
∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2
∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0
∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0
∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数
(2)由条件得 2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC
分析至此，变形目标需明确，即要证
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
证明 设该数列的公差为d，则
a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d
∴a1－an+1=－nd
∴ 原等式成立．
【例10】 设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，
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来源：高考资源网学案（3）等差数列
目标
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．已知中的三个，求第四个的问题。
新课
观察下面两个数列有什么共同特点？
鞋的尺码，按照国家统一规定，有22,22.5,23,23.5,24,24.5,…;①
某月星期日的日期为2,9,16,23,30； ②
一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm）为
89,83,77,71,65,59,53,47。 ③
1．等差数列：
例1 已知数列的通项公式为，这个数列是等差数列吗？
2．等差数列的通项公式：
例2 已知等差数列10，7，4，…：
试求此数列的第10项；
-40是不是这个数列的项？-56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
⒊等差性质：
例3 已知等差数列的公差为d，第m项为，试求第n项。
例4梯子共有5级，从上往下数第一级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列，求第2,3,4级的宽度。
例5已知等差数列的首项，公差d=-0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？
练习
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
2．在等差数列{}中，（1）已知=10,=19,求与d；（2）已知=9, =3,求.
分层训练
1． 是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列
B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列
D. 公差为的等差数列
3．等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
4．若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列
B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列
D. 一定是递减数列
5．已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
6. 如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
7. 等差数列中，，，则 .
8．若是等差数列，3, 10是方程x2-3x-5=0的两根，则5+8= .
9．判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
10. 在等差数列中，
（１）已知＝31，＝76，求和ｄ；
（２）已知＋＝12，＝７，求．
www.等差数列（第一节）教案
、教学目的：
理解等差数列的定义及概念。
了解等差数列的通项公式。
二、教学重点：
等差数列概念的理解和等差数列通项公式的推导。
三、教学关键：
讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
四、教学理念：
注重知识的形成的过程，注重学生思维发展的过程。
课堂设计从问题的提出到问题的解决，再提出问题。
引导学生“再创造”。
五、教学过程：
教学情景的设计：（在课前播放象山的风景片）
T：同学们，谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡---象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师特意从象山统计局拿来几组有关象山经济软环境的数据。下表一 (单位:万)
97 98 99 00 01 02
人口总量 53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
耕地面积 28.40 28.70 29.00 29.30 29.60 29.90
表二 (单位:元)
2月 4月 6月 8月 10月
房价 2000 2300 2600 2900 3200
工资 1200 1200 1200 1200 1200
（为了便于研究上述的数字经过近似处理）
思考1：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（数据来源于现实社会，围绕思考让学生进行分小组讨论，目的是培养学生将实际问题数学化的能力及学生的数学建摸能力）
T：从两方面考虑：从宏观上（移居大城市，计划生育、围海造田等）
从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）
53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
28.40 28.70 29.00 29.30 29.60 29.90
2000 2300 2600 2900 3200
1200 1200 1200 1200 1200
T：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征。
S 1：后一项与它的前一项的差等于常数 （描述1）
T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，要加上同一常数，
S2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）
T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，必须从第二项起。
S3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（描述3）
（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：1、同一常数， 2、从第二项起）
T：用数学符号语言：
S4：-=d
T：等价么？
S5：应加上（d是常数） n≥2,n∈N*
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
T：对式子进行变形可得：=+d（d是常数） n≥2,n∈N*
，如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形。（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）
T：这样的数列在你日常生活中存在？
S：举例： 1，2，3，4，5，6，7 ，··· d=1
10，15，20，25，30，35，40 d=5
d=-10
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
T：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？
S：等差数列
（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差。为数列的首项。
，，，······（n≥2,,n∈N*）
（提出课题《等差数列的概念（一）》）
（对定义进行分析，强调：1、同一常数， 2、从第二项起。同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。）
数学史的介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”···都记载着等差数列大量研究。被誉为“数字推理的第一思维”。
T： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差。
d=-0.15、 d=0.30 d=300 d=0
（引导学生发现公差d对数列的影响，当d）0时数列是递增，当d《0时数列是递减，当d=0时数列是常数列。》
53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
T：见上表， 请7号的同学回答a7，请8号的同学求a8，请42号的同学求a42···
S：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；
（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）
T：我们把问题推广到一般情况。若一个数列，，，···，an ，···是等差数列，它的公差是d，那么数列{ an }的通项公式是什么？
方法1． n=2
n=3
n=4
·····
当n=1时，也成立。
（归纳、猜想。培养学生合情推理的能力）
方法2。 用叠加得， 当n=1时，也成立。
整理得： n∈N*
（回过来再说明等差的优点，体现用等差概念的优势，化繁为简，化腐朽为神奇，体现“数学之美”；并让学生自由的交流，进行“再创造”，可推出，n、m∈N*
T：1、对通项公式进行分析；通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）
2、，n、m∈N*
挖掘等差数列的函数特征：
等差数列的通项公式an= a1＋（n－1）d．可表示为an=dn＋c（其中c=a1－d，n 属于N*）的形式，n 的系数即为公差．当d≠0时，an 是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x属于R）的图象上的一群孤立的点．（画图略）
（在数列的通项公式中，每取一个n，都有唯一一个an与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）
T： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式。
=53.60+（n-1）*（-0.15）
=28.40+（n-1）*0.30
=2000+（n-1）*300
=1200+（n-1）*0
思考2：如果在一定时间内象山的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出2010年象山人口总量？到第几年人口总量会小于51万？（请你在分析数据的基础上进行合情推理）。
问1：方法1等差数列=53.60，则2007年为第11年，n=11，求=52。10；
方法2：若=52.85，求=52。10）
方法3：也可从函数角度解；求f（11）。
问2：解：设2002年为第一年，第n年后象山的人口总量小于51万。
=52.85+（n - 1）（-0.15）<51
n>≈13.3
所以：第14年后即2015年时象山人口总量小于51万
（引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本量法的理解，以及决定等差数列要素的选择）
小结：这节课我们一起对象山经济软环境中的几组数据中进行一次有意义的探索，并总结等差数列的概念求出了等差数列的通项公式，等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．让学生明白 “数学来源于生活，应用于生活”。
思考3：等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？在生活中寻找一些数据进行一次探索？（研究性作业）
www.(共28张PPT)
2.2.1等差数列
学习目标
1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点
1.等差数列概念的理解与掌握
2.等差数列通项公式的推导及应用
3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数
简记作:{an}
2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这
个公式叫做数列的通项公式.
3.数列的分类
(1)按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
项数无限的数列叫无穷数列
摆动数列，
常数列。
5.递推公式:
4.数列的实质
数列可以看作是一个定义域为正整数集
（ 或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
说明:递推公式也是数列的一种表示方法。
观察下面的数列：
①4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②3，0，－3，－6，……；
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm）
③ 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
一张梯子
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
④ 40，50，60，70，80，90，100；
⑵每级之间的高度相差分别为
⑤ 40，40，40，40，40，40.
这就是说，这些数列具有这样的共同特点：
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
思考：这5个数列有什么共同特点？
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们是等差数列吗？
(2) 5，5，5，5，5，5，…
公差 d=0 常数列
公差 d= 2x
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(3)
…
观察下面的数列：
①4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②3，0，－3，－6，……；
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm）
③ 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
一张梯子
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
④ 40，50，60，70，80，90，100；
⑵每级之间的高度相差分别为
⑤ 40，40，40，40，40，40.
给出一个数列的通项公式，你能证明它是等差数列吗？比如an=an+b
a2 － a1=d，
a3 － a2=d，
a4 － a3=d，
……
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……
由此得到 a n=a1+(n－1)d
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
由定义归纳通项公式
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
巩固通项公式
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an
例如：①a1=1, d=2,则
an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20项)。
解： a1=8, d=5－8=－3
∴a20=－49
∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11
练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=_______________ a4=_________
a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
4n-1
15
39
例如 ：已知a20=－49, d=－3 则，
由a20=a1+(20－1)·(－3)
得a1=8
练习：a4=15 d=3 则a1=______________
6
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
例如：
①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项
解 ：a1=8, d=－3
则 an=8+(n－1)·(－3)
－49=8+(n－1)·(－3)
得 n=20。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求项数n
【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，
可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项
探究
( 3 ) , ( ) ,
等差中项:
通过它的通项公式，可以看出它与什么函数有关
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
等差数列的图像
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-10
等差数列的图像
通过图像你能说明
公差对图像有什么影响？
直线的一般形式：
等差数列的通项公式为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
讨论：
数列中，第n项与第m项有什么关系？
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差
为d,
数列中，第n项与第m项有什么关系？
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差为d,
an=am+(n-m)d
解: 依题得,
am=a1+(m-1)d
an=a1+(n-1)d
讨论：
在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=3,an=21,d=2,求n
2）已知d=-1/3,a7=8,求a1
3）在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
今天我们学了一些什么
等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.
等差数列的定义 an+1-an=d
等差数列中的等差中项A=(a+b)/2
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
好好学习
天天向上
选作：一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z ∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
2. 在3与27之间插入7个数，使它们成
为等差数列，则插入的7个数的第四
个数是( )
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
1、试用两种数学语言（文字语言、符号语言）来表述一下等差数列的概念：
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
②如果数列{an}，满足an-an-1=d（d为常数，n≥2，且n∈N*），则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。
2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；
总结反思
3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。
4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际
