(共8张PPT)
3.1.1不等关系与不等式
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：
(1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．
(2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等)
(3)不等式研究的范围是实数集R．
当堂练习：
p63 练习A，B
27纪
21世纪教育(w.21cmiy.com)全国最大的中小学教育资源网菇
21世纪教育网普通教学资源模版3.1.1 不等关系与不等式 学案
【预习达标】
1．用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的 关系，含有这些不等号的式子叫做 ．
2．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数 ．
3．a≥b的含有是 ；若a>b，则a≥b是 命题；若a≥b，则a=b是 命题．
4．比较两个实数大小的依据是：a-b>0 ；a-b=0 ；a-b<0 ．
5．作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有 和 ．
【典例解析】
例⒈（1）比较x2+3与3x的大小，其中x∈R；
（2）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R；
（3）比较（＋1）3－（－1）3与2的大小（n≠0）
例⒉已知a、b∈R＋，m、n∈N＋，且1≤m≤n，求证an+bn≥an-mbm+ambn-m。
例⒊设f(x)=1+log，g(x)= 2log，（x>0且x≠1）试比较f(x)与g(x)的大小．
【达标练习】
选择题：
⒈已知a<0，－1
A． a>ab>ab2 B. ab2>ab>a C. ab> a>ab2 D ab> ab2>a
⒉ 已知a>b>c，则＋＋的值（ ）
A．为正数 B．为非正数 C．为非负数 D．不能确定
⒊ 已知x>y>z且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（ ）
Ａ．xy>yz Ｂ．xz>yz Ｃ．xy>xz Ｄ．x│y│>z│y│
⒋ 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是Ｍ，则下列判断正确的是（ ）
Ａ．０Ｍ Ｂ．２∈Ｍ Ｃ．－４Ｍ Ｄ．４∈Ｍ
⒌ f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则有（ ）
A．f(x)>g(x) B．f(x)=g(x) C．f(x)二．填空题：
⒍ 设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c的大小关系为________________．
⒎＋与2的大小关系是 _____________________．－与－的大小关系是
⒏ 2三．解答题：
⒐ 已知a≠0试比较（a2+a+1）(a2－a+1)与（a2+a+1）(a2－a+1)的大小．
10．x∈R，比较(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1) 的大小
参考答案：
【预习达标】
1．><≥≤≠，不等，不等式；
2．大；
3．a>b或a=b，真，假；
4．a>b，a=b，a5．配方法和因式分解法。
【典例解析】
例1．解析：（1）（x2＋3）－3x=x2－3x+3=(x－1.5)2+0.75>0∴x2＋3>3x
（2）（x6+1）－(x4+x2)= x6+1－x4－x2＝x4(x2－1)－(x2－1)=( x2－1)2(x2+1)≥0∴x6+1－≥x4+x2
（3）∵(a+1)3=a3+3a2+3a+1, (a-1)3=a3-3a2+3a-1
∴（＋1）3－（－1）3－2＝n2>0 ∴（＋1）3－（－1）3>2
例⒉解析：an+bn－（an-mbm+ambn-m ）＝an-m(am-bm)+bn-m(bm-am)= (am-bm)( an-m- bn-m)当a=b时取等号；当a≠b时，取“>”
例⒊解析：f(x)-g(x)= 1+log－2log=log－log=log
当log>0时，即或时，也就是x>或0g(x)；
当log=0时,即＝1时，也就是x＝时，f(x)＝g(x)；
当log<0时，即即或时，也就是1或0g(x)；x＝时，f(x)＝g(x)；1【达标练习】
一、1．C解析：ab为正最大，b2<1∴ab2-a<0，∴ab> a>ab2
2．A解析：原式＝＝∵a>b>c∴原式>0
3．C解析：∵x>y>z且x+y+z=0，∴x>0,z<0但b正负不确定，还可能为零
4．D解析：讨论可知M的元素只有0，±4三个
5．A解析：f(x)-g(x)=(x－1)2+1>0
二、6．a0,c>0,而c-b=7-3=－>0∴a7．＋>2（比较平方后的结果）；
－>－（比较它们的倒数或分子有理化）
8．（0，2]，(3，5]
三、9．解析：[（a2+a+1）(a2－a+1)]－[（a2+a+1）(a2－a+1)]=[( a2+1)2－2a2]－[( a2+1)2－a2]=－a2<0
10．解析：(x+1)(x2++1)= (x+)(x2++1)+ (x2++1)；
(x+)(x2+x+1)＝(x+)(x2++1)+ (x+)=(x+)(x2++1) + (x2+)
∴(x+1)(x2++1)> (x+)(x2+x+1)。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.3.1.1不等关系与不等式 教案
教学目标：
1．掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，
2．学会比较两个代数式的大小.
教学重点：
实数的大小比较的基本方法：作差法。
教学过程
不等式的概念
用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）
（3）不等式研究的范围是实数集R
实数大小比较的依据
实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两个点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，若点A在点B的右方，则点A表示的实数a就大于点B表示的实数b，即a>b,这时，b应加上一个正数才能得到a，即a-b是一个正数，故比较两个实数的大小，只要考虑它们的差就可以了，对两个实数有如下的性质：
如果a>b,则a-b为正数，若a对于任意两个数a和b，在a>b，a=b，a例题：
例1．比较和的大小
例2．当、都为正数且时，试比较代数式与的大小
归纳总结 ：
（1）、（2）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
补充例题：
例3．比较lgx2与（lgx）2的大小。
例4．已知a>b>0，m>0，试比较与的大小。
巩固练习：
1、若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
Aa＞ab＞ab2 Bab2＞ab＞a Cab＞a＞ab2 Dab＞ab2＞a
2、下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C. D.2a>0
3、已知a,b∈R,≥0,a+b<0则 ( )
A.a≤0,b<0 B. a≥0,b>0 C. a<0,b<0 D. a>0,b>0
4、已知x<0，那么，x2,2x,x的大小关系是 （ ）
A. x2>2x>x B. x >x2>2x C. x 5、已知ab<0，b-a<0,则不等式 成立
6、设A=(a2+b2)(c2+d2),B=(ac+bd)2，则A B
7、设a8、已知a,b∈R,且ab≠0，则不等式ab-a2 b2成立
9 、比较a4-b4与4a3(a-b)的大小
10、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小
11、设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且312、 已知0小结：求差比较，关键是差的符号的判定，而差的符号的判定关键是作差以后的变形，变形的主要方法是分解和配方
课堂练习：第63页练习A、B。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.3.1.1不等关系与不等式 测试题
选择题：
⒈甲、乙两人同时从A到B。甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
Ａ．甲先到B Ｂ．乙先到B
Ｃ．两人同时到B Ｄ．谁先到无法确定
⒉设>，不等式⑴a2>b2，⑵>⑶>能成立的个数为（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
3．已知a、b、c、d∈R＋，且a+d=b+c，│a-d│<│b-c│，则（ ）
A．ad=bc B．adbc D．ad≤bc
４．下列判断正确的有（ ）个
（1）m∈N，n∈N且m≠ｎ，则ｍ＋ｎ>２．
（2）a∈Ｚ，∈Ｚ，则a+b≥2
（3）x=3,则x≥3．
（4）a-b=5，则a≥b
（5）x2+2x+3恒为正数
（6）a、b、c为一个三角形的三条边，则（a-b）2－c2<0
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
二．填空题：
5．a是三个正数a、b、c中的最大的数，且＝，则a+d与b+c的大小关系是_______________．
6．已知xy>0，x≠y，则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________．
7． 已知ab<0，则＝ 。
8． 若0三．解答题：
9． 表示下列不等关系
（1）a是正数 （2）a+b是非负数 （3）a小于3，但不小于－1 （4）a与b的差的绝对值不大于5。
10．求证ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2并说出等号成立的条件．
参考答案：
一、选择题
1．B解析：设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T==s；2t＝，∴T－2t=>0∴T>2t
2．A解析：取3>2可知(2)不成立；取2>－3可知（1）（3）不成立
3．C解析：取a=1，d=4，b=2，c=3
4．C解析：正确的有（3）（4）（5）（6）。
二、填空题
5．a+d>b+c解析：设＝=k，依题意可知d>0，k>1，且c>d，b>d，∴（a+d）－（b+c）＝bk+d-b-dk＝(b-d)(k-1)>0
6．x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)解析：x4+6x2y2+y4－4xy(x2+y2)＝（x-y）4>0
7．－1解析：a、b异号，讨论可得
8．a三、解答题
9．（1）a>0；（2）a+b≥0；（3）－1≤a<3；（4）│a－b│≤5；
10．证明：ab+bc+cd+da－（a2+b2+c2+d2）＝－[2 a2+2b2+2c2+2d2 －2ab－2bc－2cd－2da]= [(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2]≥0，当且仅当a=b=c=d时，等号成立。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.