(共19张PPT)
3.2 均值不等式(1)
学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。
2.理解均值定理和重要不等式
几何意义。
3.会用定理解决有关比较大小、证明、
求最值等问题。
4.重点：两个不等式的证明和区别
5.难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的
数学内涵
自学提纲
1.算术平均值、几何平均值的概念
2.基本不等式的内容及成立的条件
3.基本不等式的证明
4.基本不等式的几何意义
5.基本不等式有哪些方面的应用
基础知识
1. 均值定理：
如果 ，那么
当且仅当 时，式中等号成立
2. 均值定理的几何意义：
即两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释：
半径不小于半弦
熟悉运算结构
我们把 叫做a,b的算术平均数，把 叫做a,b的几何平均数。
从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。
回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积” 的结构？
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？
赵爽弦图
a2+b2≥2ab
该结论成立的条件是什么 ？
若a,b∈R，那么
形的角度
数的角度
a2+b2－2ab
=(a－b)2≥0
a>0,b>0
a2+b2≥2ab
公式中等号成立的条件是什么？
是否仅仅当a=b时等号才成立？
若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
形的角度
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
a=b
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
公式两边具有何种运算结构？
数的角度:平方和不小于积的2倍
a2+b2
2ab
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
以下不等式是否成立？
a2+b2≥－2ab，
a2+b2≥2|ab|
基础知识
3. 定理：(重要不等式）
a2+b2≥2ab
若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
4.定理的几何意义：
基础训练
1．试判断 与 2 的
大小关系？
2．试判断 与 1 的
大小关系？
基础训练
3．试判断 与 7的
大小关系？
解：
基础训练
4. 求函数的值域：
能力训练
5. 已知 求函数
的最大值及相应的x值。
6. 求 时， 的值域：
能力训练
7.已知
时，函数有最_______值是_______
8.已知
求证：
课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业
1.已知 ，求函数
的最小值。
2.试判断 与 的大小关系？并说明什么时候取到等 号？3.2 均值不等式 测试题
选择题：
1．已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（ ）
Ａ．a2+b2 Ｂ．２ Ｃ．2b Ｄ．+b
2．x∈R，下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2+1≥x B．<1 C．lg(x2+1)≥lg(2x) D．x2+4>4x
3．已知x+3y-1=0，则关于的说法正确的是（ ）
Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值
4．Ａ设实数x，y，m，n满足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（ ）
Ａ． Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
Ａ．（a+b）()≥4 Ｂ．a3+b3≥2ab2
Ｃ．a2+b2+2≥2a+2b Ｄ．
6．下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x>0时，+≥2
C．当x≥2时，x＋ ≥2 D．当0
7．若a、b、c>0且a(a+b+c)+bc=，则2a+b+c的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
二．填空题：
8．设x>0，则函数y=2－－x的最大值为 ；此时x的值是 。
9．若x>1，则log＋log的最小值为 ；此时x的值是 。
10．函数y=在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________．
11．函数f(x)=(x≠0)的最大值是 ；此时的x值为 _______________．
三．解答题：
12．函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值为。
13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？
14．已知x,y∈（－，）且xy＝－1，求s=的最小值。
参考答案：
选择题：
1．D解析：只需比较a2+b2与+b。由于a、b∈（0，1），∴a22．B
3．B解析：＝＝
4。A解法一：设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。
解法二、m2+n2=3＝1∴2＝x2+y2＋ ≥∴mx+ny≤。
5．B解析：
A、C由均值不等式易知成立；D中，若a6．B解析：
A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。
7．D
解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc
=4(a2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4()＝4（）2当且仅当b=c时等号成立。∴最小值为2。
二．填空题：
8．－2，2
9．2，2
10 。解析：y=＝＝≥5，当且仅当x=3时等号成立。
11。解析：f(x)=＝，此时x＝。
三．解答题：
12．解析：∵y=logax恒过定点（1，0），∴y=loga(x+3)－1恒过定点（－2，－1），∴-2m-n+1=0，即2m＋n＝1，∴＝（）（2m＋n）＝2＋2＋≥8，∴最小值为8。
13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则＝160，当且仅当x=20时等号成立。最小值为160。
14．解析：s=≥＝12≥12。评注：两次等号成立的条件都一样。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.3．2 均值不等式 学案
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）
（3）＋ （ ） （4）x＋ (x>0)
（5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；．
⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x的值为___________________。
【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．
例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】
选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．
⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ）
Ａ．＋≥2 Ｂ．a2+b2≥2ab
Ｃ．＋≥a＋b Ｄ．2+
⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（ ）
Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二．填空题：
⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．
⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．
⒏已知a、b为常数且0三．解答题：
⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
（2）设c ⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。
参考答案：
【预习达标】
1．；
2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a，b∈R＋；a=b
4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）
⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；
5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。
【典例解析】
例1．解析：原式＝（ ++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（） ≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1
（2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x=时取得最小值。
【双基达标】
一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+│＝│x│＋││≥2
2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)＝（a+b）+2+()≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。
3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2时就不成立。
4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥2
5．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝
二、6．4解析：∵ab≤＝4
7．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7
8．解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=。
三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=＝为几何平均数，c=＝为平方平均数。∵x≠0∴∴c>a>b。
（2）＝≥
10．解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BF＝x，BE＝y则S△BEF＝＝＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB= x2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF＝2。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.不等式
【知识网络】
1．1 不等式的性质
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解不等式的性质及其证明.
二、命题落点
1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例1，例2
2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等..如练习9.
【典例精析】
例1 : 若则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析: 由 知 ab >0, 因此成立;
由 得
由于是减函数, 所以亦成立,故一定不成立的是B．
答案：B．
例2：（2003 北京）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+c>b+d B．a－c>b－d
C．ac>bd D．
解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+D．
答案：A．
例3：（2005 福建）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
解析:不等式的解是x>或x<.
答案：A．
【常见误区】
1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；
2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1．（2004 北京）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2004 湖北) 若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2004 辽宁）对于，给出下列四个不等式 （ ）
① ②
③ ④
其中成立的是 （ ）
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
4. 对“、、是不全相等的正数”，给出下列判断：
①； ②＞与＜及≠中至少有一个成立；
③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．二次函数的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式的解集是_________________．
6．若不等式有且只有一个解，则实数 ．
7．比较大小：与（且）.
8．已知, 求证．
9．定义在上的函数满足: 如果对任意x1, x2∈R, 都有
≤
则称函数 是上的凹函数．
已知二次函数 求证: 当时, 函数是凹函数．
1．2 算术平均数与几何平均数
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
二、命题落点
1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.
2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.
【典例精析】
例1:（2005 全国1）当时，函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
解析：
，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时，
答案：C．
例2：(2005 福建) 下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
解析：A中lgx不满足大于零,C中的最小值为2的x值取不到,D 当x=2时有最大值,选B．
答案：B
例3：（2005 重庆）若 是正数，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
解析：
当且仅当 得时.
答案：C
【常见误区】
1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错；
2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.
【基础演练】
1．(2006 陕西) 已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2004 全国）的最小值为 （ ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
3．已知函数的反函数为则的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
4．函数的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2005全国3）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 .
6．已知正数则满足不等式的实数的取值范围是 ．
7．是否存在常数，使得不等式对任意正实数 、恒成立？证明你的结论．
8．已知，且，求：
（1）的最小值；
（2）若直线与轴，轴分别交于，求面积的最小值.
9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/
小时)需遵循的关系是d≥(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d≥．
（1）当d=时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？
1．3 不等式的证明
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；
2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、命题落点
1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.
2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.
【典例精析】
例1：(2004 江苏)已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和．
（1）证明：，并且不存在，使得；
（2）证明：；
（3）证明：.
解析：（1）任取
和 ②
可知 ，
从而 . 假设有①式知
∴不存在
（2）由 ③
可知 ④
由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
由⑤、⑥代入④式，得
．
（3）由③式可知
（用②式）
（用①式）
例2：(2003 北京) 设是定义在区间上的函数，且满足条件：
①
②对任意的
（1）证明：对任意的
（2）证明：对任意的
（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
解析：（1）由题设条件可知，当时，有
即
（2）对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
由（1）可得，当时，
当
所以，当因此，对任意的
当时，当 时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（3）满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得 又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
例3：正项数列满足．
（1）求及;
（2） 试确定一个正整数N, 使当时, 不等式
>成立;
（3）求证: (1+)<．
解析：（1）(－1)(+1)=0,
又∵ ，故=, ，
==, =, =, …, = ．
（2） 由==－(),
=1+(－)+(－)+ … +(－)=2－
从而有2－>, ∴<, 即n！>121．
∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立.
（3） (1+)展开式通项:
T=C·()=··· … ··<(r=0, 1, 2, 3, …, n)
(1+)<++++ … += .
【常见误区】
1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误；
2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；
3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
【基础演练】
1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
2．若x>0，y>0，且恒成立，则a的最小值是 （ ）
A．2 B． C．2 D．1
3．已知则一定有 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知,则 （ ）
A． B． C． D．
5．给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若
且，则，其中真命题的序号为______________．
6．已知两个正数满足，则使不等式≥恒成立的实数m的取值范围
是 ．
7．（1）求证；
（2） 求证
8．已知函数的最大值不大于，又当
（1）求a的值；
（2）设
9．数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
1.4不等式的解法.
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握简单不等式的解法.
二、命题落点
1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；
2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3.
【典例精析】
例1：（2005 重庆）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：∵的解集为，的解集为
∴不等式的解集为
答案：C
例2：（2005 辽宁）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：法一：代特殊值验证
法二：①当，即时，无解；
②当，即时，．
答案:C．
例3：（2005 江西）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设，解关于x的不等式；．
解析：（1）将，得
（2）不等式即为，
即
①当
②当
③．
【常见误区】
1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误；
2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.
【基础演练】
1．(2004 天津) 不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集为则实数a的取值集合为 （ ）
A． B． {1 } C． {a| a>1} D．
3．（2005 辽宁）在Ｒ上定义运算：．若不等式对
任意实数x成立，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知则不等式≤5的解集是 .
6．( 2004 全国)设函数则实数a的取值范围是 ．
7．实系数方程的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求的
取值范围.
8．解关于x的不等式＜0（a∈R）．
9．记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
（1）求A；
（2）若BA, 求实数a的取值范围.
1．5 含有绝对值的不等式
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握绝对值不等式的概念及其性质.
2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.
二、命题落点
1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2；
2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例3.
【典例精析】
例1： (2004 辽宁) 设全集U=R 解关于x的不等式．
解析： 由
当时，解集是R；
当时，解集是
例2:（2005 山东），下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵ 01，0<1－a<1, ,
∴．
答案: A．
例3：（2005 浙江）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．
（1）求函数g(x)的解析式；
（2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．
解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y),
则即∵点 在函数的图象上,
∴ 故．
（2）由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2-|x-1|≤0．
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解；
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤．
因此，原不等式的解集为[-1,]．
【常见误区】
1．运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误；
2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误.
【基础演练】
1．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于 （ ）
A．8 B．2 C．－4 D．－8
4．若，∈R，则不等式≥的解集为R的充要条件是 （ ）
A． B． C．且≤ D．且≥
5．不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
6．不等式的解集 .
7．解不等式.
8．设且求证：
9．某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站.在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差;
（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围.
1．6 不等式的应用
【考点透视】
一、考纲指要
1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用
二、命题落点
1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3.
【典例精析】
例1：（2004 广西卷）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
例2：（2004 上海）某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
解析：由题意得xy+x2=8, ∴y==(0于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+≥=4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时, x≈2.343,y=2≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
例3：某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2004年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：（1）由题意可知当
每件产品的销售价格为，
∴2004年的利润
．
（2），
（万元） ．
【常见误区】
1．不能正确建立函数模型从而导致错误；
2．对实际情况考虑不够会产生多解或漏解
【基础演练】
1．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费
标准见下表：（注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）
网 络 月租费 本地话费 长途话费
甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒
乙：移动“神州行” 0.60元/分 0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多
长时间的电话才合算 （ ）
A．300秒 B．400秒 C．500秒 D．600秒
2．一批物品要用11辆汽车从甲地运到360外的乙地.若车速为/时，且车的距离不能少于，则运完这批物品至少需要 （ ）
A．11小时 B．10小时 C．13小时 D．12小时
3．现有一块长轴为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜子中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A．10平方分米 B． 20平方分米 C． 40平方分米 D． 平方分米
4．一种容积规定为500 的圆柱形罐头盒，要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少，这种圆柱的高和半径的比应为 （ ）
A．1∶1 B． 2∶1 C．3∶1 D．3∶2
5．用一张边长为30的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用，做一个无盖的长方体纸盒，（剪贴处的厚度和损耗不计）则这个纸盒体积的最大值是 .
6．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2的倒置的正四棱锥形有盖容器，设容器高为，盖子边长为.记容器的容积为，当= m时， 有最大 ．
7．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（i）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
（ii）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
8．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
9．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度
a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平
方成反比.
（1）枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷
变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，
用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全
负荷最大？
本章测试题
一、选择题：（本题每小题5分，共60分．）
1．已知实数、、满足，，则、、的大小关系是
（ ）
A．≥＞ B．＞≥ C．＞＞ D．＞＞
2．若0A． B．b C．2ab D．a2+b2
3．不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
4．设实数满足, 则的最小值为 （ ）
A． B．4 C．2 D．8
5．若不等式的解集为，则 （ ）
A．-10 B． -14 C． 10 D． 14 6．关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是 （ ）
A．（-∞，-8）∪[0，+∞] B．（-∞，-4）
C．[-8，4] D．（-∞，-8）
7．若，则函数 （ ）
A．有最大值—6 B．有最小值6 C．有最大值—2 D．有最小值2
8．不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知，（a>2），则 （ ）
A．p>q B．p10．设适合不等式，若，,，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有;②对于任意的0≤≤2，都有;③的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题每小题４分，共１６分．）
13．若不等式的解集为或，则 .
14．已知集合，，若，则实数的值为 .
15．已知正数满足，则最大值是 .
16．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，C为斜边，若点在直线 上，则的最小值是 .
三、解答题：（本题共７４分）
17．（本小题满分12分）已知a、b为不等式的正数，且，试将四个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
18．（本小题满分12分）已知 ．
（1）若，求的最小值；
（2）若不等式对于一切 恒成立，求实数
的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知a≠0，求证：≥
20．（本小题满分12分）（理）已知函数
（1）判定f(x)的单调性，并证明；
（2）设g(x)=1+loga(x -1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围；
（3）求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4，6]上的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（,为常数,且≥0），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元．
（1）求的值,并求出的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高 最高利润为多少万元
22．（本小题满分14分）△的三个内角、、的对边的长分别为、、，有下列两个条件：（1）、、成等差数列;（2）、、成等比数列.
现给出三个结论：
（1）;
（2）;
（3）.
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
参考答案
1．1 不等式的性质
1.C 2. B 3. D．4. C 5. 6. ．
7.因为且.若，则，所以；若，则，也有．因此.
8．由得由知至少有∴．又∵, ∴ ∴ ．
9.因为
，
所以，作差得到
,
即有,
故知函数为凹函数．
1．2 算术平均数与几何平均数
1. B 2. B 3. B 4.A 5. 3 6.
7. 当时，由已知不等式得．下面分两部分给出证明：
⑴先证，此不等式
，此式显然成立；
⑵再证，此不等式
，此式显然成立．
综上可知，存在常数，是对任意的整数题中的不等式成立．
8. （1）；（2）．
9. (1) 由≥av2, 得 0<≤25．
(2) 当≤25时, Q=, Q是v的一次函数，=25，Q最大为，当>25时, Q=≤, ∴当=50时Q最大为.
1．3 不等式的证明
1. B 2. C 3. D 4. B 5. ② 6.
7. （1）令， 由 知， ．于是，原不等式等价于．一方面，令 ， 则有，当 ，有 从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得 ． 另一面，令 ，则有 ，当时，有，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有 ，即得．
综上可知 ．
（2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令 时，不等式 也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得
即
8．（1）由于的最大值不大于所以 ① 又所以. ②
由①②得
（2）（i）当n=1时，，不等式成立；
因时不等式也成立.
（ii）假设时，不等式成立，
因为的对称轴为知为增函数，
所以由得
于是有
所以当时，不等式也成立.
根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.
9． (1)
2）当时，
=
1．4 不等式的解法
1. A 2. A 3. C 4. A 5. 6. .
7. 设方程的两个根为由根与系数关系的得
依题意得
8. 原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2．
当a=a2时，a=0或a=1，x∈，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，
当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，
∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈．
9. (1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,∴≤a <1或a≤－2, 故当BA时, 实数 a的取值范围是 (－∞,－2)∪[,1]．
1．5 含有绝对值的不等式
1. D2. D3. C4. D 5. {x|x≥－1} 6.
7. 原不等式
因为
又
.
所以，原不等式组的解集为
8.
9. （1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和.
（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
. （*）
当时，（*）式变形为,
解得 ; 当时，（*）式变形为,
解得 ; 当时，（*）式变形为,
解得.综上所述，的取值范围是[39，]．
1．6 不等式的应用
1. B 2. D 3. C 4. B． 5. 2000 6. ；
7. （1）=.
（2）解不等式 ＞0,得 ＜＜.
∵ ， ∴ 3 ≤≤ 17.故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵ ≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii) ，=10时，
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
8. 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥，∴0<≤.又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
9. （1）安全负荷为正常数） 翻转
，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
，当且仅当，即取，
取时，u最大， 即安全负荷最大.
本章测试题
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 11. A 12.B
二、填空题
13. －2; 14.－2; 15. 1 16. 4
三、解答题
17.．
（1）当时，得，且，
此时．
（2）当时，，得且，
此时．
（3）当时，与题设矛盾.
18. （1）∵ ，
∴，等号当且仅当，
即时取得．∴的最小值为．
（2）不等式即为，也就是，
令，则在上恒成立，
∴，解得.
19. 当|a|≤|b|时，不等式显然成立．当|a|>|b|时，
左=≥≥
=．
20.（1） 由或x>3，任取x1则,
∵ (x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x2)<0，又 (x1-3)(x2+3)>0 且(x1+3)(x2-3)>0
,∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，当00,∴f(x)单调递减.
（2）若f(x)=g(x)有实根，即：．∴
∴ 即方程：有大于3的实根．
（∵ x>3）
．
“=”当且仅当x-3=即下＝3＋2时成立，∴a∈（0，）
（3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x）=,由＝0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1（舍去）．当x∈[4,6]时，h!(x)<0,h(x)单调递减；所以函数h(x)在[4，6]上的最小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2.
21.（1）由，当时，由题意，可得，
所以.
（2）由
．
当且仅当，即时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
22. 可以组建如下命题：
命题一：△中，若、、成等差数列，求证：（1）0＜B≤;（2）；
命题二：△中，若、、成等差数列,求证：（1）0＜B≤;
（2）1＜≤
命题三：△中，若、、成等差数列,求证：（1）;
（2）1＜≤
命题四：△中，若、、成等比数列,
求证：（1）0＜B≤;
（2）1＜≤ ．
证明：（1）∵,,成等差数列∴b=．
∴≥，
且∴0＜≤；
（2）；
（3）．
∵0＜B≤ ，∴， ∴， ∴．
（4）∵、、成等比数列，∴，∴且，∴0＜≤ ．
同加性
传递性
同乘性
对称性
不等式的性质
实数比较大小
不等式的证明
综合法
分析法
比较法
常规方法
特殊方法
换元法
放缩法
判别式法法
反证法
数学归纳法法
解不等式
基本类型不等式的解法
n元均值不等式
绝对值不等式的性质
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
图5-6-1
a
d
l
