3．3 一元二次不等式及其解法 学案
【预习达标】
⒈一次不等式ax>b，若a>0，解集为_____________；若a<0，解集为 ；若a=0，则当b≥0时，解集为 ；当b<0时，解集为___________．
⒉一元一次不等式组（a>b）。若则解集为______；若则解集为____；若 则解集为______；若则解集为________．
⒊若ax2+bx+c>0是一元二次不等式，则a_______．
⒋若ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0有两个相等实根x0，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0没有实根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 。
5．分式不等式可以转化为一元二次不等式，试写出下列分式不等式的转化形式：
； 。
【典例解析】
例⒈解下列含有参数的一元二次不等式：
（1）2x2+ax+2>0 (2) x2－(a+a2)x+a2>0
例⒉已知f(x)=x2－2ax+2，当x∈时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
例3．设不等式mx2－2x－m+1<0对│m│≤2的一切m的值均成立。求x的取值范围．
例4．关于x的不等式组的整数解的集合为｛－2｝，求实数k的取值范围。．
【达标练习】
选择题：
⒈下列结论正确的是（ ）
Ａ．不等式x2≥4的解集是｛x│x≥±2｝ Ｂ．不等式x2－9<0的解集为｛x│x<3｝ Ｃ．(x－1)2<2的解集为｛x│1－
Ｄ．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，则不等式ax2+bx+c<0的解集为｛x│x2 ⒉已知mｘ2+mｘ+m<1的解集为Ｒ，则m的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．（－∞， Ｄ．
⒊二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为－2，3，且a<0，那么ax2+bx+c>0的解集为（ ）
Ａ．｛ｘ｜ｘ＞3或x<－2｝ Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞2或x<－3｝ Ｃ．｛ｘ｜－2<ｘ<3｝ Ｄ．｛ｘ｜－3<ｘ<2｝
⒋不等式≤的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．（1，10） Ｄ．
⒌不等式│x2－5x│>6的解集为（ ）
Ａ．｛ｘ｜ｘ＞6或x<－1｝ Ｂ．｛ｘ｜2<ｘ<3｝
Ｃ． Ｄ．｛ｘ｜x<－1或2<ｘ<3或ｘ＞6｝
二．填空题：
⒍函数f(x)=的定义域为R，则m的取值范围是
⒎关于x 的不等式x2-mx+5≤4的解集只有一个元素，则实数m＝ ．
⒏设Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２＜０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜５－２ｘ＞０，ｘ∈Ｎ｝，则Ａ∩Ｂ＝_________________．
三．解答题：
⒐如果｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝，其中b>0，求a、b的取值范围。
⒑若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2
参考答案：
【预习达标】
1．x>；x<；；R；
2．x>a； x3．a≠0；
4．{x│x> x1或x<,x2}；{x│x25．；。
【典例解析】
例1．解析：
（1）△＝a2-16∴①△<0,即－40,即a>4或a<-4时，不等式解集为
｛ｘ｜ｘ>或x<｝
（2）所给不等式即（x-a）(x-a2)>0必须对a和a2的大小进行讨论。①当a<0时，有aa2}；②当0a2，解集为{x│x>a或x1时，有aa2}；④当a=0时，有a=a2，解集为{x│x∈R且x≠0}；⑤当a＝1时，有a＝a2，解集为{x│x∈R且x≠1}。
例⒉解析：由已知得：x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞）上恒成立，即或解得－3≤a≤1。
例⒊解析：构造函数f(m)=(x2－1)m-(2x－1)即f(m)在[2，2]上恒为负值。故需要
即∴
例4．解析：由x2-x-2>0可得x<-1或x>2。∵不等式组的整数解的集合为{-2}
又∵2x2+(2k+5)x+5k=0的两个根为-k,与－
∴①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{-2}；②若－<－k，则应该有－2<－k≤3，∴－3≤k<2
综上，所求k的取值范围为－3≤k<2。
【达标练习】
一、1．C
2．C解析：首先另外需要考虑m=0这种情况也成立
3．C
4．B
5．D解析：等价于x2－5x >6或x2－5x<-6
二、6．m≥－1解析：等价于△≥0
7．±2解析：等价于△＝0
8．{0，1}
三、9．解析：记A＝｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝＝｛ｘ｜（ax+1）(2x-b)>0｝；
记B＝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝。①若a=0,则A=｛ｘ｜ｘ＞｝，不可能有。②当a<0时，由（ax+1）(2x-b)=2a(x+)(x-)>0，知(x+)(x-)<0，此不等式的解集是介于－与之间的有限区间，故不可能有。③当a>0时，
A＝｛ｘ｜ｘ＞或x<－｝，∵∴－≥－2且≤3，∴a≥且010．解析：原不等式可以化为（x2-1）m-(2x-1)<0，即f(m)= （x2-1）m-(2x-1)
其中－2≤m≤2。根据题意得：
即，
解之得：
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.3.3 一元二次不等式及其解法 测试题
选择题：
1．如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为空集，那么（ ）
A．a<0,Δ>0 B．a<0,Δ≤0 C．a>0,Δ≤0 D．a>0,Δ≥0
2．不等式（x+2）(1－x)>0的解集是（ ）
A．｛ｘ｜ｘ＜－２或x>1｝ B．｛ｘ｜x<－１或ｘ>２｝
C．｛ｘ｜－2＜ｘ＜1｝ D．｛ｘ｜－１＜ｘ＜２｝
3．设f(x)=x2+bx+1，且f(－1)=f(3)，则f(x)>0的解集是（ ）
A． B．R
C．｛ｘ｜ｘ≠1｝ D．｛ｘ｜ｘ＝1｝
4．已知x满足不等式组：，则平面坐标系中点P（x+2,x-2）所在象限为（ ）
Ａ．一 Ｂ．二 Ｃ．三 Ｄ．四
5．不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集为（ ）
Ａ．｛ｘ｜x≤－1或ｘ≥｝ Ｂ． ｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝
Ｃ．｛ｘ｜x≥1或ｘ≤－｝ Ｄ． ｛ｘ｜－≤ｘ≤1｝
6．设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝，则ab的值是（ ）
Ａ．－6 Ｂ．－5 Ｃ．6 Ｄ．5
7．已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝，，则a+b＝（ ）
Ａ．7 Ｂ．－1 Ｃ．1 Ｄ．－7
8．已知集合M＝{x| x2－3x－28≤0}, N={ x2－x－6>0}，则M∩N为（ ）
Ａ．｛ｘ|－4≤x<－２或3＜ｘ≤7｝ B．｛ｘ｜－4＜ｘ≤－2或3≤ｘ＜7｝
C．｛ｘ｜ｘ≤－２或ｘ＞３｝ D．｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ≥３｝
9．不等式组的解集为（ ）
A．（0，） B．（，2） C．（，4） D．（2，4）
10．已知集合M＝｛ｘ|｝，N＝｛ｙ|ｙ＝3ｘ2＋1，ｘ∈Ｒ｝，则M∩N＝（ ）
Ａ． Ｂ． {ｘ|ｘ≥１} Ｃ．｛ｘ|ｘ＞１｝ Ｄ．{ｘ| ｘ≥1或ｘ＜０}
11．设集合, , 则A∩B=（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题：
12．若二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 。
13．若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2－4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝，则Ａ∩Ｂ=_______________________________．
14．关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是 ．
15．不等式（x-2）≥0的解集为________________．
三．解答题：
16．若a2－a+1<0，求使不等式x2+ax+1>2x+a成立的x的取值范围．
17．设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0
求证：（1）a>0，－2<<－1
（2）函数f(x)在（0，1）内有零点。
18．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
参考答案：
一、选择题：
1．C解析：只能是开口朝上，最多与x轴一个交点情况∴a>0,Δ≤0；
2．C解析：所给不等式即（x+2）(x-1)<0∴－2＜ｘ＜1
3．C解析：由f(－1)=f(3)知b=-2，∴f(x)=x2－2x+1 ∴f(x)>0的解集是｛ｘ｜ｘ≠1｝
4．C解析：不等式组的解集为x<-6∴x+2<-4,x-2<-8∴点P在第三象限。
5．D
6．C解析：设f(x)= ax2+bx+1，则f(-1)=f()=0∴a=-3,b=-2∴ab=6。
7．D解析：A＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）依题意可得，B＝[1，4]∴a=-3,b=-4∴a+b＝－7
8．A
9．C
10．C解析：M＝{x│x>1或x≤0}，N＝{x│x≥1}∴M∩N＝{x│x>1}
11．D解析：A＝{x│x≥2.5或x≤－2}，B＝{x│x≥0或x<－3}∴A∩B＝
二．填空题：
12．(－∞，－2)∪（3，＋∞）解析：两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。
13．{x│214。3-115。4{x│x≥3或x=2或x=-1}解析：等价于x-2=0或x2-2x-3=0或取并集可得{x│x≥3或x=2或x=-1}。
三．解答题：
16．解析：由a2－a+1<0得a∈(,4)，由x2+ax+1>2x+a得x<1-a或x>1∴x≤－3或x>1。
17．解析：（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b，得a>c>0；消去c，得a+b<0,2a+b>0。故－2<<－1
（2）抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（，）。∵－2<<－1
∴。由于f()===<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，）和（，1）内各有一个零点
18．解析：（1）依题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0∴f(x)= a(x-1)(x-3)-2x
由f(x)+6a=0有两个相等的实数根，即方程ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根，∴△＝0∴a=1，a=－∵a<0∴f(x)=。
（2）f(x)= a(x-1)(x-3)-2x=a(x-且a<0∴
∴a的取值范围为。
www.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.3.3一元二次不等式及其解法
教学目标：
掌握一元二次不等式的解法
教学重点：
掌握一元二次不等式的解法
教学过程
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
3、例子
例1、解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
例2、关于x的不等式的解集为
求关于x的不等式的解集．
解：由题设且，
从而 可以变形为
即： ∴
例3、关于x的不等式 对于恒成立，
求a的取值范围．
解：当a>0时不合 a=0也不合
∴必有：
小结：一元二次不等式的解法
课堂练习：第85页练习A、B
课后作业：第86页4.5.6.7(共20张PPT)
3.3 一元二次不等式及其
解法
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。
下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
例如解不等式：
（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6
= 的图象和性质。
方程x2－x－6=0的判别式
于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3.
建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)，
观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合
A={x| x<－2或x>3}是一元二
次不等式x2－x－6>0的解集。
抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x| －2事实上，当x∈A时，若x<－2，则x+2<0，且x－3<0，由此可推知
(x+2)(x－3)>0；
若x>3，同样可推知(x+2)(x－3)>0。
当x∈B时，即－20，
x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解：
（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，
所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得x>3或x<－2.
（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0，
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得－2比较上面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。
例1．解不等式：（1）x2－2x+3>0；
（2）x2－2x+3<0.
分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+3>0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为实数集R，
不等式（2）无解，或说它的解集为空集.
通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。
（1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2).
简单的说是：
大于在两边，小于在中间。
（2）当△=0时，通过配方得，
由图可知，ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数，即
ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。
（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
例2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
所以不等式的解集是
例3．解不等式x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0，
原不等式化为(x+2)2>0，
所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
例4．解不等式－2x2+4x－3>0.
解：原不等式化为2x2－4x+3<0，
因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0，
所以原不等式的解集是
例5．求函数
的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
即
解得
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).