3.4 不等式的实际应用 教案
一、教材分析：
前面学生已经学习了一元二次不等式的解法，本节主要是一元二次不等式的实际应用。通过本节课的实例教学，让学生体验不等式在解决实际问题的作用，数学与日常及其他学科的联系。并通过解题过程，抽象出不等式模型，总结出解应用题的思路与步骤。
本节课的内容对于解决线性规划问题提供了很好的解题思路。同时，应用题中不等式模型也是高考经常经常涉及的问题，其地位也就不言而喻了。
二、三维目标：
1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，
2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
三、教学重点和难点：
重点：不等式的实际应用
难点：数学建模
四、教学方法：通过启发、引导、归纳、总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊到一般的认知规律，引导学生分析归纳如何抽象不等式模型及解不等式应用题的一般步骤。
五、教具：多媒体
六、教学过程：
（一）温故知新：
1、比较两实数大小的常用方法
2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0（a>0）的根
ax2+bx+>0（a>0）的解集
ax2+bx+c<0（a>0）的解集
（二）情景引入
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式 ，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。（引出课题）
（三）、典例分析：
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
分析：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙, 若要解决此问题，只需比较t甲，t乙的大小即可
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,由题意得
，
所以 t甲= ， t乙=
所以t甲- t乙=-==
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
方法二：做商比较。
回归情景：对糖水问题你能给出证明吗？
例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x升
：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度
：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（）4］，
中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：有学生完成。
2、由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
练习：
1、某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是多少？
2、某工人共加工300个零件。在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务。问改进操作方法前，每天至少要加工多少个零件？
（四）、小结：
知识：
方法：
（五）、作业：课本P83 A 2 B 2
参考答案：
练习：
1．解：设这种书的最高定价应当为x元？
由题意得：[80000-(x-2.5)×20000] ×x≥200000,
解得：，所以最高定价为4元。
2．解：设每天至少要加工x零件？
由题意得：
解得：或，
设每天至少要加工9个零件。
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【预习达标】
⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．
⒉实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．
3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】
例⒈某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为元。现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。 问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x升
：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度
：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（）4］，
中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度万第一年）总投入万an万元，旅游业总收入万bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【双基达标】
选择题：
⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P1，第三年比第二年增长的百分率万P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1。给出以下数据⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（ ）
Ａ．⑴⑵ Ｂ．⑴⑶ Ｃ．⑵⑶⑷ Ｄ．⑵⑸
⒉用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（ ）
Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×5
⒊某工厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂家正在改造建设，一月份投入建设资金恰好与一月份利润相等，随着投入资金的逐月增加且每月增加的百分比相同，到12月投入资金又恰好与12月生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入N的大小关系是（ ）
Ａ．W>N Ｂ．W ⒋生物学指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10％～20％的能量转入到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若能使H6获得10kj的热量，则需要H1最多可提供的能量是（ ）
Ａ．104kj Ｂ．105kj Ｃ．106kj Ｄ．107kj
⒌某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（ ）元。
Ａ．413.7 Ｂ．513.7 Ｃ．546.6 Ｄ．548.7
二．填空题：
⒍光线透过一块玻璃，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010,lg3=0.4771）．
⒎Rt△ABC斜边长c=1，那么它的内切圆半径r的最大值为___________．
⒏已知ab=1000，a>1，b<1，则的最大值是____________．
三．解答题：
⒐某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50
⒑如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。⑴现有可围36m长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
参考答案：
【预习达标】
1．未知数；不等式
2．实际意义；
3．大；一个正的假分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变小。
【典例解析】
设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一边长度为
（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) ，其余的建新墙，费用为（2x+
∴总费用为y= x+(14-x) +（2x+=7a(，当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为14，建新墙的费用为（2x+∴总费用为y= 14+（2x+其中，x≥14。
∵在x>时为增函数，∴x>12时，函数增∵x≥14∴最小值在x=14处取得，此时y=35.5a。
例2．参考教材。
例3．解析：（1）n年内总投入为an=800+800(1-)+…＋800=4000[1-]。n年内总收入为bn=400+400(1+)+…＋400=1600[]。
（2）bn>an，即1600[]>4000[1-]，设=x则5x2-7x+2>0∴x<,x>1（舍）即<∴n≥5。故至少5年。
参考答案：
【双基达标】
一、
1．B；
2．C；
3．A；
4．C；
5．C
二、6．11；
7．；
8．；
三、9．解析：利用L＝(x-50)= (x-50)
=∵x-50>0∴L≤，当且仅当x=60（舍去x=40）时等号成立。
10．解析：（1）设每间虎笼长为x，宽为y则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。设每间虎笼面积为S，则S＝xy。∵18＝2x+3y≥2∴S≤当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S＝xy=24，设钢筋总长为L，则L＝4x+6y≥2＝48，当且仅当x=6,y=4时等号成立。
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3.4不等式的实际应用
温故知新
1、比较两实数大小的常用方法
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
ax2+bx+>0
（a>0）的解集
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
作差
作商
2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写 下表
有相异两根x1,x2(x1有两等根
x1=x2=
无实根
{x︳xx2}
{x︳x≠ }
R
{x︳x1φ
φ
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖,则糖水就变甜了，根据
此事实提炼一个式 ，
情景引入:
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
，
典例分析：
设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,若要知道谁先到达，只需比较t甲，t乙的大小即可
分析：
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,
由题意得
t甲=
， t乙=
所以 t甲- t乙=
—
=
=
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
方法二：做商
=
=
又因为 m≠n,
所以 m2+n2>2mn>0,
m2+n2+2mn>4mn>0
<1
即 t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
因为m>0,n>0 ，s>0
所以 t甲>0 , t乙>0
例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出
4升再用水补满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大为多少升？
两次倒出后，桶内的纯农药不超过容积的２８％
若桶的容积为x, 倒前纯农药为 升
第一次：倒出纯农药 升，纯农药还剩 升，桶内
溶液浓度
第二次：倒出溶液 升，纯农药还剩
分析：
x
8
（x-8）
4
［（x-8）-（
）×4］，
本题的不等关系是：
解答请同学们自己完成。
解：
设桶的容积为x升，
显然 x>8.
依题意，得
(x-8) -
≤28% · x
由于x>8, 因而原不等式化简为
9x2-150x+400≤0
即（3x-10)(3x-40)≤0. 因此
，从而
8＜x≤
答：桶的最大容积为 升
由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
（1)分析题意，设未知数 (2)找数量关系（相等、不等关系） （3）列出关系式（函数式、不等式）（4）求解作答
解实际应用题的思路：
实际问题
抽象
数学模型
实际问题的解
还原解释
数学模型的解
解不等式应用题的思路与步骤
（1)分析题意，设未知数 (2)找数量关系（相等、不等关系）
（3）列出关系式（函数式、不等式）（4）求解作答
小结：
三、学习方法：
二、数学思想：
作业：
课本P83 A 2 、4 B 2
一、知识：
转化的思想
从实际问题中抽象出不等式模型3.4 不等式的实际应用 测试题
选择题：
1．完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人的约束条件是（ ）
Ａ．5x+4y<200 Ｂ．5x+4y≥200 Ｃ 5x+4y＝200 Ｄ．5x+4y≤200
2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是（ ）
Ａ．x+y+z=65 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（ ）
A．前者贵 B．后者贵 C．一样 D．不能确定
4．如果f(x)=mx2+(m－1)x+1在区间上为减函数，则m的取值范围（ ）
A． （0， B． C． D （0，）
5．设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3m2 B．16 m2 C． 4 m2 D．14 m2
6．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ．4cm2 Ｃ． cm2 Ｄ．2 cm2
7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（ ）年报废最划算。
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．7 Ｄ．10
8．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业
Ｃ．机械行业最紧张 Ｄ．营销行业比贸易行业紧张
二．填空题：
9．某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：（1）语文不低于70分；（2）数学应高于80分；（3）三科成绩之和不少于230分。若张三被录取到该校，则该同学的语、数、英成绩x、y、z应满足的约束条件是_____________________．
10．用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 ．
11．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是 ．
三．解答题：
12．已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两辆货车间距离为d千米，现已知d与v的平方成正比，且当v=20（千米／时）时，d=1（千米）．
（1）写出d与v的函数关系；
（2）若不计货车的长度，则26辆货车都到达B地最少需要多少小时？此时货车速度是多少？
13．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y（千辆／时）与汽车的平均速度v（千米／时）之间的函数关系为
在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆／时）？
若要求在该时段内车流量超过10千辆／时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
14．有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三个点处，且AB=AC=13千米，BC＝10千米。今计划合建一个中心医院。为同时方便三个城镇，需要将医院建在BC的垂直平分线上的点P处。若希望点P到三个城镇距离的平方和最小，点P应该位于何处？
参考答案
选择题：
1．D；
2．C解析：A、C、D中都有可能x、y、z为负数。
3．A解析：设郁金香x元／枝，丁香y元／枝，则，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。
4．C解析：依题意知，若m=0,则成立；若m≠0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C。
5．B解析：设长方体的长为xm,高为hm，则V=2xh而2x+2h×2＋xh×2=32∴可求得B。
6．D解析：设一段为x，则面积和为≥2
7．D解析：设使用x年，年平均费用为y万元，则y= =，当且仅当x=10时等号成立。
8．B
二．填空题：
9．
10．解析：设长x米，宽y米，∴6x+10y≤100即3x+5y≤50∵100≥3x+5y≥2，当且仅当3x=5y时等号成立，∵x，y为正整数，∴只有3x=24,5y=25时，此时面积xy=40平方米。
11．解析：付款16元，肯定超出了3千米，设行程x千米，则应该付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。
三．解答题：
12．解析：（1）设d=kv2（其中k为比例系数，k>0），由v=20,d=1得k=∴d= （2）∵每两列货车间距离为d千米，∴最后一列货车与第一列货车间距离为25d，∴最后一列货车达到B地的时间为t=，代入d=得
t=≥2＝10，当且仅当v=80千米／时等号成立。∴26辆货车到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米／时。
13．（1）依题意y=，当且仅当v=40等号成立。最大车流量y=≈11.1(千辆／时)
（2）由条件得，整理得v2-89v+1600<0解得2514．解析：以BC中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系，则B(-5,0),C(5,0)，A(012)，设P(0,y)∴PA2+PB2+PC2＝2（25＋y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146∴y＝4时取最小值146，此时P的坐标为（0，4）。
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