3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 测试题
一、选择题
1．下列命题正确的是 （ ）
A．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值
B．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值
C．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域
D．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解
２．如右图所示的阴影部分﹙包括边界﹚对应的二元一次不等式组为 ( )
A． B．
C． D．
３．已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为 ( )
A．5 B．－6 C．10 D．－10
４．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
二、填空题
５．已知1≤x≤3, －1≤y≤4,则3x+2y的取值范围是 。
６．已知 且u=x2+y2－4x－4y+8，则u的最小值是 ．
７．非负实数x、y满足的最大值为 ．
三、解答题
８．求满足不等式组的整数解（x,y）
９．设f(x)=ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。
１０.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益
对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元/人）
初中 60 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 初、高中的教育周期均为三年.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？
参考答案
一、选择题
１。D ２．A ３.B ４.C
二、填空题
５.[1,17]
６.
７.9
三、解答题
８．整数解有: (－1,－1)、( －1,－2)、( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1)
９.[－1，10]
１０。规划初中18个班，高中12个班，可获最大年利润为45.6万元.
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www.3.5.1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 学案
【预习达标】
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
2．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
3．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
4．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
【课前达标】
⒈点（2，3），（1，2）在直线y=2x＋1的 （填“同侧”、“异侧”）
⒉若点（1，3）和（－4，－2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是（ ）
A．m<-5或m>10 B．m=-5或m=10 C．-5⒊画出（x-2y+1）(x+y-3)<0表示的平面区域．
【典例解析】
例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
例2．画出下列不等式组表示的平面区域
（1） （2）
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【双基达标】
选择题：
⒈点P（a，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则a的值是（ ）
Ａ．－3 Ｂ．3 Ｃ．7 Ｄ．－7
⒉已知a>0，点集S的点（x，y）满足下列所有条件：①，②，③，④，⑤．则S的边界是一个有几条边的多边形（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
填空题：
⒍设x、y满足，则z=3x+2y的最大值是 ．
解答题：
⒐用三条直线x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0围成一个三角形，试写出三角形内部区域满足的不等式组．
参考答案
【预习达标】
1．上；下．解析：设（x0,y0）在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线Ax0＋By0＋C＝0,取直线上方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B>0(由于B>0,△y>0)，取直线下方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B<0(由于B>0,△y<0)，
2．下；上
3．左；右
4．右；左
【课前达标】
1．（1）同侧；
2．C解析：（m+5）(m-10)<0∴-53．（略）
【典例解析】
例3．解：x,y满足的数学关系式为 ：
分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．
【双基达标】
一、1．A ；2．C ．
二、6．5；
三、9．
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3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域
问题1：在平面直坐标系中，
x+y=0
表示的点的集合表示什么图形？
x-y+1>0 呢？
x+y>0 呢
x
y
o
x+y=0
x
y
o
x+y=0
x
y
o
x+y=0
x+y>0
x+y<0
(x。,y。)
(x0 , y)
在平面直角坐标系中, 点的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示什么图形？
x0>x，y=y0
x0-y0+1> x-y+1
x
y
o
1
-1
左上方
x-y+1<0
x-y+1=0
(x，y）
（x。，y。）
右下方
x-y+1>0
问题：一般地，如何画不等式AX+BY+C>0表示的平面区域？
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
例1：画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。
x
y
o
3
6
2x+y-6<0
2x+y-6=0
平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
解:
将直线2X+y-6=0画成虚线
将(0,0)代入2X+y-6
得0+0-6=-6<0
原点所在一侧为
2x+y-6<0表示平面区域
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０
（2）４ｘ－３ｙ≤１２
O
X
Y
3
2
O
Y
X
3
-4
（1）
（2）
例2：画出不等式组
表示的平面区域
O
X
Y
x+y=0
x=3
x-y+5=0
注：不等式组表示的平面区域是各不等式
所表示平面区域的公共部分。
-5
5
解：
0-0+5>0
1+0>0
(1)
(2)
4
o
x
Y
-2
O
X
Y
3
3
2
练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
2
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤：
直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；
小结：
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
否则应画成实线。3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案
一、教学目标：
1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．
2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力；
3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣．
二、教学重点、难点：
重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域
难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域．
三、教学方法与手段
本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．
四、教学过程
（一）创设情景，引入新课
本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x个，买小球y个；
（2）把文字语言转化为数学符号语言：
（少于100元的钱购买） （1）
（大球数不少于10） ， （2）
（小球数不少于20） ， （3）
（3）抽象出数学模型：
（二）讲授新课
1．二元一次不等式（组）的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．
2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
二元一次方程表示的是什么图形？ 直线
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线分为几部分？
两部分 以为例进行直观说明，引出以下概念：
每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．
以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．
如何求二元一次不等式表示的平面区域？
我们先研究具体的二元一次不等式的解集所表示的图形．
问题二：平面内所有的点被直线分成几类？
如图：在平面直角坐标系内，表示一条直线．
平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线上的点；
第二类：在直线左下方的区域内的点；
第三类：在直线右上方的区域内的点．
问题三：每部分中的点都有哪些特点？
在直线的上方、下方取一些点：
上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）
下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）
分别把点的坐标代入式子中，会有什么结果？
直线上方的点使的；直线下方的点使的．
猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？
问题四：直线右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？
；．
由学生自行归纳总结，不要求证明．
结论：直线把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．
问题五：如何判断表示直线哪一侧平面区域？
根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．
概括为： “直线定界，特殊点定域”．
特别地，当时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．
问题六： 表示的平面区域与表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？
把直线画成实线以表示区域包含边界直线；
把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．
（三）应用新知，练习巩固
例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
设计以下几个问题:
(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？
(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好
学生完成，师指导．
例2．画出下列不等式组表示的平面区域
（1） （2）
设计以下几个问题：
(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)
(2)第二小题中加上条件，又会是什么图形呢？
多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：x,y满足的数学关系式为 ：
分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．
反馈练习：教材89页练习A组2（4）．
（四）课堂小结
知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域
2．判定方法: “直线定界，特殊点定域”．
小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)； 如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)．
思想方法上：数形结合的数学思想方法．
（五）布置作业
教材89页练习B组1、2．
大屏幕展示思考题： （再次回到引例）为下一节课做准备。
我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请问最多可以买到几只彩球？如果要求大球与小球的总数不超过48个，哪种方案最省钱？
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www.
1
1
y
x
O
