3.5.2 简单线性规划 测试题
选择题：
1．以下四个命题中，正确的是（ ）
Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x－y=0同侧
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C． 左下方 D．左上方
3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．2
填空题：
4．若x、y满足条件，则目标函数z=6x+8y的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x、y满足，则x+y的范围是 。
6．非负实数x、y满足，则x+3y的最大值是 。
7．设实数x、y满足条件，则的最大值是 。
8．设实数x、y满足条件，那么2x－y的最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C ． －2 D． －3
9．已知变量x、y满足约束条件1≤x+y≤4，－2≤x－y≤2。若目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是 。
10．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 。
解答题：
11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A、B型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？
12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？
【能力达标】
一、选择题
1．C；
2．C；
3．B解析：或画出可行域，是两个三角形∴所求面积为。
填空题：
4。最大值为40，最小值为0；
5．2.8≤x+y≤5.2
6．最大值为9。
7．最大值为。
8．最大值为1。
9．解析：由约束条件可知可行域，区域为矩形的内部及其边界，（3，1）为其中一个顶点，z最大时，即平移y=-ax时，使直线在y轴上的截距最大，∴-a<-1∴a>1。
10．解析：画出可行域为一个四边形，到直线x+y=10距离最远的点应该是直线2x+3y=3、y＝1的交点，即点（1，1），它到x+y=10的距离是。
三、解答题
11．解析：设生产A型x台，B型y台，依题意得约束条件为：而目标函数为：z=6x+4y。画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20。
12．解析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
，目标函数为z=x+0.5y，画出可行域和直线x+0.5y=0并平移得到最优点是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点（4，6）此时z=7（万元）。
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www.简单的线性规划问题
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力
（2）教学重点、教学难点
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答
教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解
（3）学法与教学用具
学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
（4）教学设想
设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一起来复习一下
新课讲授
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg
食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数
②分析约束条件， 请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件
③图解法求解
④老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元。
此时，目标函数为画出可行域。把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。
例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数为画出可行域。
把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。
小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法求出最大（最小）截距，进而求解
课堂练习
课本第103页第2题
4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。
（5）评价设计
1、课本第105页第3、4题
2、某家具厂有方木材90,五合板600，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材0.1、五合板2，生产每个书橱需要方木料0.2、五合板1,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少 如果只安排生产书橱,可获利润多少 怎样安排生产可使得利润最大
答:24000元,54000元,56000元
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www.3.5.2 简单线性规划 学案
【预习达标】
1．对于变量x、y的约束条件，都是关于的一次不等式，称其为 ；z=f(x,y)是欲达到的最值所涉及的变量x、y的解析式，叫 。当z=f(x,y)是关于x、y的一次函数解析式时，z=f(x,y)叫做 。
2．试说明可行解、可行域、最优解的关系。
【课前达标】
1．在直角坐标系xOy中，△AOB三边所在直线方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB的内部和边上的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
2．变量x、y满足下列条件，则使y=3x+2y的值最小的最优点坐标为（ ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
【典例解析】
例⒈已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的最大值与最小值，并求出相应的a、c的值。
例⒉家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序。已知木工平均4小时做一把椅子，8个小时做一张书桌；该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均2小时漆一把椅子，1小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时。又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
例3．某工厂要制造Ⅰ型高科技装置45台，Ⅱ型高科技装置55台，需用薄合金板给每台装置配置一个外壳。已知薄板的面积有两种规格：甲种薄板每张面积2m2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳分别为3个和5个；乙种薄板，每张面积3m2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳各6个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
【双基达标】
选择题：
1．在△ABC中，三个顶点A（2，4），B（－1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x－y最大值为（ ）
Ａ．1 Ｂ．－３ Ｃ．－1 Ｄ．3
2．已知x、y满足，则的最值是（ ）
Ａ．最大值2，最小值1 Ｂ．最大值1，最小值0
Ｃ．最大值2，最小值0 Ｄ．有最大值，无最小值
3．设x、y∈R，则满足条件的点P(x,y)所在的平面区域面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
填空题：
4．变量x、y满足下列条件，则使得z=3x-2y的值最大的（x，y）为__________．
5．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件．如果想使题目中的目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。
解答题：
6．甲乙两地生产某种产品，它们可以调出的数量分别为300吨，750吨。A、B、C三地需要该产品数量分别为200吨、450吨、400吨，甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元／吨，3元／吨，5元／吨，乙地运往A、B、C三地的费用分别为5元／吨、9元／吨、6元／吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
参考答案
【预习达标】
1．线性约束条件；目标函数；线性目标函数
2．（略）。
【课前达标】
1．B
2．B
【典例解析】
例1．解析：由－4≤f(1)≤-1得－4≤a-c≤-1，由-1≤f(2)≤5得-1≤4a-c≤5即约束条件为
，目标函数f(3)=9a-c，画可行域可得，当时，f(3)最小值为20。
例⒉解析：设每星期生产x把椅子，y张书桌，则利润p＝15x+20y，其中x,y满足的约束条件为： 画出可行域和L0：y=，平移可得最优解为（200，900）此时p＝21000（元）
例⒊设甲种薄板x张，乙种薄板y张，则可做Ⅰ型产品外壳（3x+6y）个，Ⅱ型产品外壳（3x+6y）个，所用薄板的总面积为p=2x+3y。依题意得：，画出可行域，和L0：y=
平移L0得最优点为（5，5），所以x=5,y=5。
【双基达标】
一、1． A ；2．C ；3．D
二、4．（4，3）； 5．
三、6．设从甲到A调运x吨，从甲到B调运y吨，从甲到C调运（300－x-y）吨，则从乙到A调运(200-x)吨，从乙到B调运(450-y)吨，从乙到C调运（100+x+y）吨，设调运的总费用为z元，则z=6x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6（100+x+y）=2x-5y+7150。由已知得约束条件为：
，整理得，画可行域并平移直线2x-5y=0可得最优解为
x=0,y=300。即从甲到B调运300吨，从乙运到A200吨，从乙运到B150吨，从乙运到C400吨，总运费最省。
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www.(共13张PPT)
x
y
o
画出不等式组 表示的平面区域。
3x+5y≤ 25
x -4y≤ - 3
x≥1
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？
问题２：ｙ有无最大(小)值？
x
y
o
x-4y=-3
3x+5y=25
x=1
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C
A
B
x
y
o
x=1
C
B
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
Ａ
x-4y=-3
3x+5y=25
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
Ａ
3x+5y=25
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形
问题 2: z几何意义是_____________________________。
斜率为-2的直线在y轴上的截距
则直线 l：
2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故
直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
线往右上方平移时z 逐渐增大：
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
zmax＝2×5+2＝12 。
析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,
ｙ＝-2ｘ+ z
最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
可行域：所有可行解组成的集合。
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
3x+5y=25
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
C
x
y
o
x－4y=－3
3x+5y=25
x=1
Ａ
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
解：作出可行域如图：
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0
当l0经过可行域上点A时，
－z 最小，即ｚ最大。
当l0经过可行域上点C时，
－ｚ最大，即ｚ最小。
由 得A点坐标_____；
x－4y＝－3
3x＋5y＝25
由 得C点坐标_______；
x=1
3x＋5y＝25
∴ zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4
(5,2)
(5,2)
(1,4.4)
(1,4.4)
平移l0，
平移l0 ，
(5,2)
2x－y＝0
(1,4.4)
(5,2)
(1,4.4)
解线性规划问题的步骤：
2、 在线性目标函数所表示的一组平行线
中，用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
3、 通过解方程组求出最优解；
4、 作出答案。
1、 画出线性约束条件所表示的可行域；
画
移
求
答
3x+5y=25
例2：已知x、y满足 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ
取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
∵ kAC＝
k l = -a
∴ -a =
∴ a =
例3：满足线性约束条件 的可行域中共有
多少个整数解。
x+4y≤11
3x +２y≤10
x>0
y>0
1
2
2
3
3
1
4
4
5
5
x
y
0
3x +２y=10
x +4y=11
解：由题意得可行域如图:
由图知满足约束条件的
可行域中的整点为(1,1)、
(1,2)、(2,1)、(2,2)
故有四个整点可行解.
练习：
设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x - y ≤ 7
2x+3y≤24
x≥0
y ≤6
y ≥0
小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。
