2011年秋高二数学（新人教B版必修5）课件+教案+学案+同步测试（52份打包）

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学案（1）数列
目标
1.理解数列及其有关概念；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
复习引入
1.函数的定义.
2.在学习函数的基础上，今天我们来学习数列的有关知识，首先我们来看一些例子：
4，5，6，7，8，9，10． ①1，，，，，…. ②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③1，1.4，1.41，1.414，…. ④－1，1，－1，1，－1，1，…. ⑤2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？
新课
1．数列：
2．数列的项：
3．数列的一般表示：
4．数列的通项公式：
5．有穷数列：
6．无穷数列：
例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）； (2) 。
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7 （2）
（3）；
例3 已知函数，设
（1） 求证：1；
（2） {}是递增数列还是递减数列？为什么？
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3.1.2 不等式的性质 学案
【预习达标】
1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．
2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________．
3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ．
4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。
5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变形。如：a6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如－3<5,那么倒数大小关系为 。
【典例解析】
例⒈适当增加不等式条件使下列命题成立：
　⑴若a>b，则ac≤bc；　　　⑵若ac2>bc2，则a2>b2；
　⑶若a>b，则lg(a+1)>lg(b+1)；　⑷若a>b，c>d，则>．
例⒉设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．
【达标练习】
一．选择题：
　⒈若a>b，c>d，则下列不等式成立的是（　　　　）
　　Ａ．a+d>b+c　 Ｂ．ac>bd　 Ｃ．>　 Ｄ．d－a　⒉若aＡ．>　　Ｂ．> Ｃ．>　　Ｄ．│a│>－b
　⒊对于0log③<④>，其中成立的是（　　　　）
Ａ．①③　　　　Ｂ．①④ Ｃ．②③　　　　　Ｄ．②④
　⒋若a=，b=，c=则（ ）
Ａ． a　⒌下列命题正确的是（　　　　）
Ａ．若a>b则ac2>bc2　　　　 Ｂ．若> 则a>b
Ｃ．若a>b,ab≠0则> Ｄ．若a>b，c>d则ac>bd
二．填空题：
　⒍1；ab的范围是 ；的取值范围是 。
　⒎若a>b>0,c　⒏α∈（0，），β∈（，），则α－2β的取值范围是 。
三．解答题：
⒐f(x)=ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
⒑已知1≤a+b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围。
参考答案：
【预习达标】
1．若a>b则ba；
2．若a>b，b>c则a>c；
3．若a>b则a+c>b+c；若a>b，c>d则a+c>b+d；
4．若a>b，c>0则ac>bc；若a>b，c<0则acb>0，c>d>0则ac>bd；
5．>，<，<
6．若ab>0且a>b则；。
【典例解析】
例1．（1）c≤0 解析：乘以负数不等号方向才会改变
（2）b≥0解析：∵ac2>bc2 ∴a>b但只有均正时，才有a2>b2
（3）b>－1解析：∵a>b∴a+1>lb+1但作为真数，还需为正，∴需要b>－1
（4）b>0，d>0解析：同向同正具有可除性
例⒉解析：∵f(－1)=a-b，f(1)=a+b∴a=[f(1)+f(-1)]，b=[f(1)－f(-1)]∴f(-2)=4a－2b=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
解二：设f(2)=mf(－1)+nf(1)即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)比较系数可得m=1,n=3∴4a-2b=(a-b)+3(a+b)即f(2)=f(-1)+3f(1) ∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
评注：严格依据不等式的基本性质和预算法则，是正确解答此类题目的保证。由a【达标练习】
一、1．D解析：∵a>b，c>d ∴a+c>b+d即a-d>b-c即d-a2．C解析：∵a-b>0∴>
3．D解析：∵01>a>0,从而1＋>1+a>1 ∴log>log，>。
4．C解析：a=ln ,b=,c=而＝<=，
＝>=，∴c5．B 解析：由> 知c2>0，∴a>b
二、6．解析：∵17．解析：∵c-d>0 ∴a-c>b-d>0 ∴ (a-c)2>(b-d)2 ∴ ∵e<0 ∴
8．解析：∴
三、9．∵f(1)=a-c，f(2)=4a-c ∴a=[f(2)-f(1)]，c=f(2)－f(1)
∴f(3)=9a－c=f(2)－f(1)，∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，∴－1≤f(3)≤20。
10．设4a-2b=x(a+b)+y(a-b)比较系数可求得x=1，y=3∴4a-2b=(a+b)＋3(a-b)，∵1≤a+b≤4，－1≤a－b≤2 ∴－2≤4a－2b≤10
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课题：数列的有关概念
主要知识：
1．数列的有关概念；
2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．
3．与的关系：．
主要方法：
1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；
2．数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式
时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证是否适合．
同步练习
1． 写出下面各数列的一个通项：
； 。
数列的前项的和 ； 。
2．已知，则 ．
3．在数列中，且，则 ．
4．已知数列{}的前项和，第项满足，则（　）
A． B． C. D．
5．已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．
6．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
7．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．
8．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_____.
9．若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公
A．B、 C、D．
10．根据下面各个数列的首项和递推关系，写出其通项公式：
（1）； 。
（2）； 。
（3）． 。
11． 设函数，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）判定数列的单调性．
12．已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根，且．求，，，；
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3.5.2 简单线性规划 测试题
1． 选择题：
1．以下四个命题中，正确的是（　　　）
　Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
　Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x－y=0同侧　　　　　　
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧　　　　　
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C． 左下方 D．左上方
3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
　 A． 　　B．　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．2
1． 填空题：
4．若x、y满足条件，则目标函数z=6x+8y的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x、y满足，则x+y的范围是 。
6．非负实数x、y满足，则x+3y的最大值是 。
7．设实数x、y满足条件，则的最大值是 。
8．设实数x、y满足条件，那么2x－y的最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C ． －2 D． －3
9．已知变量x、y满足约束条件1≤x+y≤4，－2≤x－y≤2。若目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是 。
10．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 。
1． 解答题：
11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A、B型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？
12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？
【能力达标】
一、选择题
1．C；
2．C；
3．B解析：或画出可行域，是两个三角形∴所求面积为。
2、 填空题：
4。最大值为40，最小值为0；
5．2.8≤x+y≤5.2
6．最大值为9。
7．最大值为。
8．最大值为1。
9．解析：由约束条件可知可行域，区域为矩形的内部及其边界，（3，1）为其中一个顶点，z最大时，即平移y=-ax时，使直线在y轴上的截距最大，∴-a<-1∴a>1。
10．解析：画出可行域为一个四边形，到直线x+y=10距离最远的点应该是直线2x+3y=3、y＝1的交点，即点（1，1），它到x+y=10的距离是。
三、解答题
11．解析：设生产A型x台，B型y台，依题意得约束条件为：而目标函数为：z=6x+4y。画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20。
12．解析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
，目标函数为z=x+0.5y，画出可行域和直线x+0.5y=0并平移得到最优点是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点（4，6）此时z=7（万元）。
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3.1.2不等式的性质 教案
教学目标：
掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论.
进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决有关问题.
教学重点：
不等式的性质及证明
教学过程
1、复习：
2、不等式的性质及证明
定理1：a>bb定理2：a>b,b>ca>c(或c说明：（1）相等关系的第一条性质是“自反性”；任何一个数量都等于它自身，即a＝a。不等关系“>”、“<”没有自反性，但“非常格”不等关系“≥”、“≤”具有自反性。
　　（2）相等关系的第二条性质是“对称性”：a＝b必须且只需b＝a。不等关系“>”、“<”没有对称性（例如a＞b不是必须且只需b＞a）；不等关系“≠”与非常格不等关系“≥”、“≤”具有对称性，其中“≥”、“≤”显然同时具有反对称性。
（3）相等关系的第三条性质是“传递性”：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c。不等关系“>”、“<” 与非常格不等关系≥”、“≤”也有些传递性，但不等关系“≠”没有传递性（例如2≠3，且3≠2，但2=2）
定理3：a>ba+c>b+c(或a定理3说明：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
推论1：a+b>ca>c-b(移项法则)
也就是说：不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.
推论2：a>b,c>da+c>b+d
显然，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向
定理4、若a>b,且c>0，那么ac>bc；若a>b,且c<0，那么ac推论1、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd
显然，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，即两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，还可以得到：
推论2、若a>b>0,则an>bn (n∈,且n>1)
推论3、若a>b>0,则 (n∈,且n>1)
例⒈适当增加不等式条件使下列命题成立：
　⑴若a>b，则ac≤bc；　　　⑵若ac2>bc2，则a2>b2；
　⑶若a>b，则lg(a+1)>lg(b+1)；　⑷若a>b，c>d，则>．
（1）c≤0 解析：乘以负数不等号方向才会改变
（2）b≥0解析：∵ac2>bc2 ∴a>b但只有均正时，才有a2>b2
（3）b>－1解析：∵a>b∴a+1>lb+1但作为真数，还需为正，∴需要b>－1
（4）b>0，d>0解析：同向同正具有可除性
例⒉设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围．
解析：∵f(－1)=a-b，f(1)=a+b∴a=[f(1)+f(-1)]，b=[f(1)－f(-1)]∴f(-2)=4a－2b=3f(-1)+f(1)，∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
解二：设f(2)=mf(－1)+nf(1)即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)比较系数可得m=1,n=3∴4a-2b=(a-b)+3(a+b)即f(2)=f(-1)+3f(1) ∵1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(2)≤10。
评注：严格依据不等式的基本性质和预算法则，是正确解答此类题目的保证。由a小结：本节课我们学习了不等式的性质及其推论
课堂练习：第71--72页练习A、B
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3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 测试题
一、选择题
1．下列命题正确的是 （ ）
A．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值
B．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值
C．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域
D．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解
２．如右图所示的阴影部分﹙包括边界﹚对应的二元一次不等式组为 ( )
　 A．　 　 B．
C．　　 D．
３．已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为 ( )
A．5 B．－6 C．10 D．－10
４．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
二、填空题
５．已知1≤x≤3, －1≤y≤4,则3x+2y的取值范围是 。
６．已知 且u=x2+y2－4x－4y+8，则u的最小值是 ．
７．非负实数x、y满足的最大值为 ．
三、解答题
８．求满足不等式组的整数解（x,y）
９．设f(x)=ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。
１０.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益
对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元/人）
初中 60 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 初、高中的教育周期均为三年.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？
参考答案
一、选择题
１。D ２．A ３.B ４.C
二、填空题
５.[1,17]
６.
７.9
三、解答题
８．整数解有: (－1,－1)、( －1,－2)、( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1)
９.[－1，10]
１０。规划初中18个班，高中12个班，可获最大年利润为45.6万元.
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3.2 均值不等式 测试题
一． 选择题：
1．已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（　　　）
　Ａ．a2+b2　　　　　　Ｂ．２　　　　　　Ｃ．2b　　　　　　Ｄ．+b
2．x∈R，下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2+1≥x B．<1 C．lg(x2+1)≥lg(2x) D．x2+4>4x
3．已知x+3y-1=0，则关于的说法正确的是（　　　　　）
　　Ａ．有最大值8　　Ｂ．有最小值　　　Ｃ．有最小值8　　Ｄ．有最大值
4．Ａ设实数x，y，m，n满足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（　　　　　）
　　Ａ．　　　　　　Ｂ．2　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．
5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（　　　　　）
　Ａ．（a+b）()≥4　　　　　　　　Ｂ．a3+b3≥2ab2　　　　　　　　
Ｃ．a2+b2+2≥2a+2b　　　　　　　　　Ｄ．
6．下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x>0时，+≥2
C．当x≥2时，x＋ ≥2 D．当07．若a、b、c>0且a(a+b+c)+bc=，则2a+b+c的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
二．填空题：
8．设x>0，则函数y=2－－x的最大值为 ；此时x的值是 。
9．若x>1，则log＋log的最小值为 ；此时x的值是 。
10．函数y=在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________．
11．函数f(x)=(x≠0)的最大值是 ；此时的x值为 _______________．
三．解答题：
12．函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值为。
13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？
14．已知x,y∈（－，）且xy＝－1，求s=的最小值。
参考答案：
一． 选择题：
1．D解析：只需比较a2+b2与+b。由于a、b∈（0，1），∴a22．B
3．B解析：＝＝
4。A解法一：设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。
解法二、m2+n2=3＝1∴2＝x2+y2＋ ≥∴mx+ny≤。
5．B解析：
A、C由均值不等式易知成立；D中，若a6．B解析：
A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。
7．D
解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc
=4(a2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4()＝4（）2当且仅当b=c时等号成立。∴最小值为2。
二．填空题：
8．－2，2
9．2，2
10 。解析：y=＝＝≥5，当且仅当x=3时等号成立。
11。解析：f(x)=＝，此时x＝。
三．解答题：
12．解析：∵y=logax恒过定点（1，0），∴y=loga(x+3)－1恒过定点（－2，－1），∴-2m-n+1=0，即2m＋n＝1，∴＝（）（2m＋n）＝2＋2＋≥8，∴最小值为8。
13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则＝160，当且仅当x=20时等号成立。最小值为160。
14．解析：s=≥＝12≥12。评注：两次等号成立的条件都一样。
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1.1.2余弦定理 测试题
一、选择题
1. 在中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. 43. 在ΔABC中，已知 ，则角A为（ ）
A B C D 或
4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
5.中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
6．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=
(A)1 (B)2 () －1 (D)
二、填空题
7.已知的三边分别为a，b，c，且＝，那么角C＝ .
8.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________
三、解答题
9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）∠CAB；（4）∠ABC。
10． 在中，已知＝,且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
试确定的形状.
11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。
12． 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
参考答案：
一选择题
1． D
2。D
3．C
4．B
5．D
6．B
二、填空题
7．450
8．3
三、解答题
9．（1）900，（2），（3）450，（4）450。
10．＝,由正弦定理得；
os(A－B)＋cosC＝1－cos2C.sinAsinB=sin2C ，由正弦定理得ab=c2.
综上得所以是直角三角形
11．解：由A=2C，得sinA=2sinCcosC，由余弦定理得
，又，，整理得
，得或。又，
因A>C，，
12．解：由余弦定理，因此．
在中，．由已知条件，应用正弦定理
，解得,从而．
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1.1.1正弦定理 测试题
【能力达标】
一、选择题
1. 不解三角形，下列判断正确的是（ ）
A. a=7，b=14，A=30o，有两解. B. a=30，b=25，A=150o，有一解.
C. a=6，b=9，A=45o，有两解. D. a=9，b=10，A=60o，无解.
2．在中acosA=bcosB,则是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
3．在中，已知a=5，c=10，∠A＝30o，则∠B等于（ ）
A.105o B. 60o C. 15o D.105o或15o
4．在中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（ ）
A. B.0 C.1 D.
5. 在中下列等式总成立的是（ ）
A. a cosC=c cosA B. bsinC=c sinA
C. absinC=bc sinB D. asinC=c sinA
6. 在ΔABC中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b=( )
A． B．2 C． D．
7．在ΔABC中，∠A=450, a=2，b=，则∠B=（ ）
A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200
二、填空题
8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为 。
9．在ΔABC中，acosB=bcosA, 则该三角形是 三角形。
10．北京在，AB=则BC的长度是 。
11．（江苏）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　。
三、解答题:
12．在ΔABC中，已知 ==；
求证：这个三角形为等边三角形。
13．在中，S是它的面积，a，b是它的两条边的长度，S＝（a2+b2），求这个三角形的各内角。
14．在△ABC中，已知，求△ABC的面积。
参考答案：
一、选择题
1．B
2。D
3。D
4。B
5．D
6．A
7．A
二、填空题
8．
9．等腰
10．
11．4
三、解答题
12．由正弦定理得即，即，所以，得，同理得，
13．解：∵S＝absinC,∴absinC＝（a2+b2）,
则a2+b2－2absinC=0.
（a+b）2+2ab(1－sinC)=0
∵≥0，2ab(1－sinC) ≥0
∴
∴∠A＝∠B＝45o，∠C0＝90o.
14．解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
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3.3一元二次不等式及其解法
教学目标：
掌握一元二次不等式的解法
教学重点：
掌握一元二次不等式的解法
教学过程
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
3、例子
例1、解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
例2、关于x的不等式的解集为
求关于x的不等式的解集．
解：由题设且，
从而 可以变形为
即： ∴
例3、关于x的不等式 对于恒成立，
求a的取值范围．
解：当a>0时不合 a=0也不合
∴必有：
小结：一元二次不等式的解法
课堂练习：第85页练习A、B
课后作业：第86页4.5.6.7
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3.1.1 不等关系与不等式 学案
【预习达标】
1．用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的 关系，含有这些不等号的式子叫做 ．
2．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数 ．
3．a≥b的含有是 ；若a>b，则a≥b是 命题；若a≥b，则a=b是 命题．
4．比较两个实数大小的依据是：a-b>0 ；a-b=0 ；a-b<0 ．
5．作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有 和 ．
【典例解析】
例⒈（1）比较x2+3与3x的大小，其中x∈R；
（2）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R；
（3）比较（＋1）3－（－1）3与2的大小（n≠0）
例⒉已知a、b∈R＋，m、n∈N＋，且1≤m≤n，求证an+bn≥an-mbm+ambn-m。
例⒊设f(x)=1+log，g(x)= 2log，（x>0且x≠1）试比较f(x)与g(x)的大小．
【达标练习】
一． 选择题：
⒈已知a<0，－1A． a>ab>ab2 B. ab2>ab>a C. ab> a>ab2 D ab> ab2>a
⒉ 已知a>b>c，则＋＋的值（　　　　）
　A．为正数　　　　B．为非正数 C．为非负数　　　D．不能确定
⒊ 已知x>y>z且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（　　　　）　
　Ａ．xy>yz Ｂ．xz>yz Ｃ．xy>xz Ｄ．x│y│>z│y│
⒋ 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是Ｍ，则下列判断正确的是（　　　）
　Ａ．０Ｍ　　　　Ｂ．２∈Ｍ　　　　Ｃ．－４Ｍ　　　　Ｄ．４∈Ｍ
⒌ f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则有（ ）
A．f(x)>g(x) B．f(x)=g(x) C．f(x)二．填空题：
⒍ 设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c的大小关系为________________．
⒎＋与2的大小关系是 _____________________．－与－的大小关系是
⒏ 2三．解答题：
⒐ 已知a≠0试比较（a2+a+1）(a2－a+1)与（a2+a+1）(a2－a+1)的大小．
10．x∈R，比较(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1) 的大小
参考答案：
【预习达标】
1．><≥≤≠，不等，不等式；
2．大；
3．a>b或a=b，真，假；
4．a>b，a=b，a5．配方法和因式分解法。
【典例解析】
例1．解析：（1）（x2＋3）－3x=x2－3x+3=(x－1.5)2+0.75>0∴x2＋3>3x
（2）（x6+1）－(x4+x2)= x6+1－x4－x2＝x4(x2－1)－(x2－1)=( x2－1)2(x2+1)≥0∴x6+1－≥x4+x2
（3）∵(a+1)3=a3+3a2+3a+1, (a-1)3=a3-3a2+3a-1
∴（＋1）3－（－1）3－2＝n2>0 ∴（＋1）3－（－1）3>2
例⒉解析：an+bn－（an-mbm+ambn-m ）＝an-m(am-bm)+bn-m(bm-am)= (am-bm)( an-m- bn-m)当a=b时取等号；当a≠b时，取“>”
例⒊解析：f(x)-g(x)= 1+log－2log=log－log=log
(1) 当log>0时，即或时，也就是x>或0g(x)；
(1) 当log=0时,即＝1时，也就是x＝时，f(x)＝g(x)；
(1) 当log<0时，即即或时，也就是1或0g(x)；x＝时，f(x)＝g(x)；1【达标练习】
一、1．C解析：ab为正最大，b2<1∴ab2-a<0，∴ab> a>ab2
2．A解析：原式＝＝∵a>b>c∴原式>0
3．C解析：∵x>y>z且x+y+z=0，∴x>0,z<0但b正负不确定，还可能为零
4．D解析：讨论可知M的元素只有0，±4三个
5．A解析：f(x)-g(x)=(x－1)2+1>0
二、6．a0,c>0,而c-b=7-3=－>0∴a7．＋>2（比较平方后的结果）；
－>－（比较它们的倒数或分子有理化）
8．（0，2]，(3，5]
三、9．解析：[（a2+a+1）(a2－a+1)]－[（a2+a+1）(a2－a+1)]=[( a2+1)2－2a2]－[( a2+1)2－a2]=－a2<0
10．解析：(x+1)(x2++1)= (x+)(x2++1)+ (x2++1)；
(x+)(x2+x+1)＝(x+)(x2++1)+ (x+)=(x+)(x2++1) + (x2+)
∴(x+1)(x2++1)> (x+)(x2+x+1)。
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正弦定理、余弦定理的应用（一）
教学目标：
1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；?
2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力??
教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：
2．余弦定理：
，
3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
二、讲解范例：
例1：如图，为了测量河对岸两点间的距离，在河岸这边取点，测得在同一平面内，求之间的距离（精确到）
例2:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间
例3:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
三．随堂练习
1．已知两地的距离为两地的距离为，现测得，则两地的距离为 （ ）
A. B. C. D.
四．小结
通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
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3.5.2 简单线性规划 学案
【预习达标】
1．对于变量x、y的约束条件，都是关于的一次不等式，称其为 ；z=f(x,y)是欲达到的最值所涉及的变量x、y的解析式，叫 。当z=f(x,y)是关于x、y的一次函数解析式时，z=f(x,y)叫做 。
2．试说明可行解、可行域、最优解的关系。
【课前达标】
1．在直角坐标系xOy中，△AOB三边所在直线方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB的内部和边上的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
2．变量x、y满足下列条件，则使y=3x+2y的值最小的最优点坐标为（ ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
【典例解析】
例⒈已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的最大值与最小值，并求出相应的a、c的值。
例⒉家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序。已知木工平均4小时做一把椅子，8个小时做一张书桌；该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均2小时漆一把椅子，1小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时。又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
例3．某工厂要制造Ⅰ型高科技装置45台，Ⅱ型高科技装置55台，需用薄合金板给每台装置配置一个外壳。已知薄板的面积有两种规格：甲种薄板每张面积2m2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳分别为3个和5个；乙种薄板，每张面积3m2，可以做Ⅰ、Ⅱ的外壳各6个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
【双基达标】
1． 选择题：
1．在△ABC中，三个顶点A（2，4），B（－1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x－y最大值为（　　　　　　）
　Ａ．1　　　　　　　Ｂ．－３　　　　　　Ｃ．－1　　　　　　Ｄ．3
2．已知x、y满足，则的最值是（　　　　　）
　Ａ．最大值2，最小值1　　 Ｂ．最大值1，最小值0　　　　
Ｃ．最大值2，最小值0　 Ｄ．有最大值，无最小值
3．设x、y∈R，则满足条件的点P(x,y)所在的平面区域面积为（　　　　）
　Ａ．　　　　Ｂ． 　　 Ｃ．　　　　Ｄ．　　
　　　　　　
2． 填空题：
4．变量x、y满足下列条件，则使得z=3x-2y的值最大的（x，y）为__________．
5．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件．如果想使题目中的目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。
3． 解答题：
6．甲乙两地生产某种产品，它们可以调出的数量分别为300吨，750吨。A、B、C三地需要该产品数量分别为200吨、450吨、400吨，甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元／吨，3元／吨，5元／吨，乙地运往A、B、C三地的费用分别为5元／吨、9元／吨、6元／吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
参考答案
【预习达标】
1．线性约束条件；目标函数；线性目标函数
2．（略）。
【课前达标】
1．B
2．B
【典例解析】
例1．解析：由－4≤f(1)≤-1得－4≤a-c≤-1，由-1≤f(2)≤5得-1≤4a-c≤5即约束条件为
，目标函数f(3)=9a-c，画可行域可得，当时，f(3)最小值为20。
例⒉解析：设每星期生产x把椅子，y张书桌，则利润p＝15x+20y，其中x,y满足的约束条件为： 画出可行域和L0：y=，平移可得最优解为（200，900）此时p＝21000（元）
例⒊设甲种薄板x张，乙种薄板y张，则可做Ⅰ型产品外壳（3x+6y）个，Ⅱ型产品外壳（3x+6y）个，所用薄板的总面积为p=2x+3y。依题意得：，画出可行域，和L0：y=
平移L0得最优点为（5，5），所以x=5,y=5。
【双基达标】
一、1． A ；2．C ；3．D
二、4．（4，3）； 5．
三、6．设从甲到A调运x吨，从甲到B调运y吨，从甲到C调运（300－x-y）吨，则从乙到A调运(200-x)吨，从乙到B调运(450-y)吨，从乙到C调运（100+x+y）吨，设调运的总费用为z元，则z=6x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6（100+x+y）=2x-5y+7150。由已知得约束条件为：
，整理得，画可行域并平移直线2x-5y=0可得最优解为
x=0,y=300。即从甲到B调运300吨，从乙运到A200吨，从乙运到B150吨，从乙运到C400吨，总运费最省。
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等比数列·例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．
[ ]
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列
分析 由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，
an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1
但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．
说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注
【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．
解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q
∴2＝1·q2n+1
x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
∴a4＝2
【例4】 已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求
证明 设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1
【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．
证法一 ∵a、b、c、d成等比数列
∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2
=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)
＝a2－2ad＋d2
＝(a－d)2＝右边
证毕．
证法二 ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：
b＝aq，c＝aq2，d=aq3
∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2
＝a2－2a2q3＋a2q6
=(a－aq3)2
＝(a－d)2=右边
证毕．
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．
【例6】 求数列的通项公式：
(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2
(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0
思路：转化为等比数列．
∴{an＋1}是等比数列
∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1
∴{an+1－an}是等比数列，即
an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到
说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．
证 ∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数
∴上述方程的判别式Δ≥0，即
又∵a1、a2、a3为实数
因而a1、a2、a3成等比数列
∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．
【例8】 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．
解 设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有
整理，得
∴b＋d=2b－2d 即b=3d
代入①，得
9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)
9d2=(2d＋1)·4d
解之，得d=4或d=0(舍)
∴b=12
【例9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：
(1)求a1与d的值；
(2)b16是不是{an}中的项？
思路：运用通项公式列方程
(2)∵b16=b1·d15=－32b1
∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则
－32a1=a1＋(k－1)d
∴(k－1)d=－33a1=33d
∴k=34即b16是{an}中的第34项．
解 设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d
解这个方程组，得
∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2
∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3
当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n
【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2
由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列
即：2(aq＋4)=a＋aq2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
a，aq＋4，aq2＋32成等比数列
即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)
解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d
由已知：三个数成等比数列
即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)
b－d，b，b＋d＋32成等比数列
即b2=(b－d)(b＋d＋32)
解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3
由已知：a1，a2，a3成等比数列
a1，a2＋4，a3成等差数列
得：2(a2＋4)=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
a1，a2＋4，a3＋32成等比数列
得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) 　　　　　　　　　　　　　　　　③
说明 将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成
简化计算过程的作用．
【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条
方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．
方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法三 设四个数依次为x，y，12－y，16－x．
这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．
解 设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126
∴b=42
这三个数可写成42－d，42，42＋d．
再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得
解这个方程组，得
a1=17或a2=68
当a=17时，q=2，d=－26
从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．
【例14】 已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．
证明 由已知，有
2a2=a1＋a3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
即 a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)
所以a1、a3、a5成等比数列．
【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．
(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．
(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
证明 (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0
∴b－c=a－b=－d，c－a=2d
代入已知条件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0
∴logmx＋logmz=2logmy
∴y2=xz
∵x，y，z均为正数
∴x，y，z成等比数列
(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1
∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：
(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0
变形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0
∵q≠1 ∴logmq≠0
∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c
即a，b，c成等差数列
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3.1.1不等关系与不等式 测试题
一． 选择题：
⒈甲、乙两人同时从A到B。甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　　　）
　Ａ．甲先到B　　　　　　　　Ｂ．乙先到B
　Ｃ．两人同时到B　　　　　　Ｄ．谁先到无法确定
⒉设>，不等式⑴a2>b2，⑵>⑶>能成立的个数为（　　　　）
　Ａ．0　　　　　　Ｂ．1　　　　　　Ｃ．2　　　　　　Ｄ．3
3．已知a、b、c、d∈R＋，且a+d=b+c，│a-d│<│b-c│，则（ ）
A．ad=bc B．adbc D．ad≤bc
４．下列判断正确的有（　　　）个
　　　　　　（1）m∈N，n∈N且m≠ｎ，则ｍ＋ｎ>２．　　　　　　　　
　　　　　　（2）a∈Ｚ，∈Ｚ，则a+b≥2　　　　　　　　　　
　　　　　　（3）x=3,则x≥3．　　　　　　　　　　　　　　　　
（4）a-b=5，则a≥b
（5）x2+2x+3恒为正数
（6）a、b、c为一个三角形的三条边，则（a-b）2－c2<0
　Ａ．２　　　　　　Ｂ．３　　　　　Ｃ．４　　　　　Ｄ．５
二．填空题：
5．a是三个正数a、b、c中的最大的数，且＝，则a+d与b+c的大小关系是_______________．
6．已知xy>0，x≠y，则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________．
7． 已知ab<0，则＝ 。
8． 若0三．解答题：
9． 表示下列不等关系
（1）a是正数 （2）a+b是非负数 （3）a小于3，但不小于－1 （4）a与b的差的绝对值不大于5。
10．求证ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2并说出等号成立的条件．
参考答案：
一、选择题
1．B解析：设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T==s；2t＝，∴T－2t=>0∴T>2t
2．A解析：取3>2可知(2)不成立；取2>－3可知（1）（3）不成立
3．C解析：取a=1，d=4，b=2，c=3
4．C解析：正确的有（3）（4）（5）（6）。
二、填空题
5．a+d>b+c解析：设＝=k，依题意可知d>0，k>1，且c>d，b>d，∴（a+d）－（b+c）＝bk+d-b-dk＝(b-d)(k-1)>0
6．x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)解析：x4+6x2y2+y4－4xy(x2+y2)＝（x-y）4>0
7．－1解析：a、b异号，讨论可得
8．a三、解答题
9．（1）a>0；（2）a+b≥0；（3）－1≤a<3；（4）│a－b│≤5；
10．证明：ab+bc+cd+da－（a2+b2+c2+d2）＝－[2 a2+2b2+2c2+2d2 －2ab－2bc－2cd－2da]= [(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2]≥0，当且仅当a=b=c=d时，等号成立。
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§2.1 数列的概念
一、知识要点
1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n项, …数列的一般形式可以写成：，其中是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。
2、数列的表示:
(1) 列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.
(2) 图像法:由(n,an)点构成的一些孤立的点;
(3) 解析法:用通项公式an=f(n)（）表示.
通项公式：如果数列{}中的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .
数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
思考与讨论:
①数列与数集有什么区别？
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；
确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？
③{}与有什么区别？
⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数
从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。
4、数列分类：
按项数分类： ， .
按项与项间的大小关系分类： ，
， ， .
5、任意数列{an}的前n项和的性质
= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求数列中最大最小项的方法：
最大 最小 ，考虑数列的单调性.
二、典例分析
题型1: 用观察法求数列的通项公式
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶，，…；
⑷ ，，，，…；
⑸，，，，，…；
根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项.
⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.
⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.
⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{}，{2n}， ， {10n－1}，{1－10 —n }等.
⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式来表示.
题型2: 运用an与Sn的关系求通项
例2、已知数列的前n项的和.
⑴写出数列的通项公式；
⑵判断的单调性.
题型3:运用函数思想解决数列问题
例3、已知数列中，它的最小项是（ ）
A.第一项B.第二项C.第三项D. 第二项或第三项
题型4: 递推数列
例4、⑴若数列中，，且各项满足，写出该数列的前5项．
⑵已知数列{an}中，，且各项满足，写出该数列的前5项.
三、课时作业
1.数列…的一个通项公式是 （ ）
. .
..
2.已知数列满足,则数列是( )
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
3.已知数列的首项且,则等于( )
A. B. C. D.
4.已知数列中,,
则等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列{}的前项和，第项满足，则（ ）
A． B． C. D．
7.数列，…，则按此规律，是这个数列的第 项.
8.已知数列的通项公式，则= ， 65是它的第 项.
9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______.
10.写出下列数列的通项公式：
①，，，，．．．；　
②，，，，．．．；
③，，，，．．．；
④，，，，，．．．；　
⑤，，，，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.
12.已知数列的通项公式为.
(1)试问是否是数列中的项
(2)求数列的最大项.
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数列、数列的通项公式
一、从实例引入
堆放的钢管 4, 5, 6,7,8,9,10
5、无穷多个数排成一列数：1, 1, 1, 1,…
2、正整数的倒数
4、 1的正整数次幂： 1, 1, 1, 1, …
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 1, 1, 1, …
1, 1, 1, 1,…
数列中的每一个数叫做数列的项，
二、提出课题：数列
按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
1. 数列的定义：
2. 通项公式：(an与n之间的关系）
数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。
3. 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
4、 用图象表示：— 是一群孤立的点
三、关于数列的通项公式
1、 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2、 数列的通项公式不唯一 如： 1, 1, 1, 1, …
可写成
3、已知通项公式可写出数列的任一项
四、 例题：
写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是 下列各数：
1，0，1，0．
7，77，777，7777
1，7， 13，19， 25，31
五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式
六、习题：
—物理
资源⑨卡通学习好轻松
亮
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课堂师生互动
研习高考真题
基础达标训
练
高考水准小试
课前自主复
27纪
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3.4不等式的实际应用
温故知新
1、比较两实数大小的常用方法
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
ax2+bx+>0
（a>0）的解集
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
作差
作商
2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写 下表
有相异两根x1,x2(x1有两等根
x1=x2=
无实根
{x︳xx2}
{x︳x≠ }
R
{x︳x1φ
φ
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖,则糖水就变甜了，根据
此事实提炼一个式 ，
情景引入:
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
，
典例分析：
设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,若要知道谁先到达，只需比较t甲，t乙的大小即可
分析：
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,
由题意得
t甲=
， t乙=
所以 t甲- t乙=
—
=
=
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
方法二：做商
=
=
又因为 m≠n,
所以 m2+n2>2mn>0,
m2+n2+2mn>4mn>0
<1
即 t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
因为m>0,n>0 ，s>0
所以 t甲>0 , t乙>0
例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出
4升再用水补满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大为多少升？
两次倒出后，桶内的纯农药不超过容积的２８％
若桶的容积为x, 倒前纯农药为 升
第一次：倒出纯农药 升，纯农药还剩 升，桶内
溶液浓度
第二次：倒出溶液 升，纯农药还剩
分析：
x
8
（x-8）
4
［（x-8）-（
）×4］，
本题的不等关系是：
解答请同学们自己完成。
解：
设桶的容积为x升，
显然 x>8.
依题意，得
(x-8) -
≤28% · x
由于x>8, 因而原不等式化简为
9x2-150x+400≤0
即（3x-10)(3x-40)≤0. 因此
，从而
8＜x≤
答：桶的最大容积为 升
由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
（1)分析题意，设未知数 (2)找数量关系（相等、不等关系） （3）列出关系式（函数式、不等式）（4）求解作答
解实际应用题的思路：
实际问题
抽象
数学模型
实际问题的解
还原解释
数学模型的解
解不等式应用题的思路与步骤
（1)分析题意，设未知数 (2)找数量关系（相等、不等关系）
（3）列出关系式（函数式、不等式）（4）求解作答
小结：
三、学习方法：
二、数学思想：
作业：
课本P83 A 2 、4 B 2
一、知识：
转化的思想
从实际问题中抽象出不等式模型本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设
则有，，
从而==
又，所以=2
评述：在ABC中，等式
恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
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x
y
o
画出不等式组 表示的平面区域。
3x+5y≤ 25
x -4y≤ - 3
x≥1
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？
问题２：ｙ有无最大(小)值？
x
y
o
x-4y=-3
3x+5y=25
x=1
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C
A
B
x
y
o
x=1
C
B
　设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
Ａ
x-4y=-3
3x+5y=25
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　 ，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
Ａ
3x+5y=25
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形
问题 2: z几何意义是_____________________________。
斜率为-2的直线在y轴上的截距
则直线 l：
2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故
直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
线往右上方平移时z 逐渐增大：
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
zmax＝2×5+2＝12 。
析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,
ｙ＝-2ｘ+ z
最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
有关概念　
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
可行域：所有可行解组成的集合。
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
3x+5y=25
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
满足下列条件　　　　　　　 ，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
C
x
y
o
x－4y=－3
3x+5y=25
x=1
Ａ
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
解：作出可行域如图：
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0
当l0经过可行域上点A时，
－z 最小，即ｚ最大。
当l0经过可行域上点C时，
－ｚ最大，即ｚ最小。
由 得A点坐标_____；
x－4y＝－3
3x＋5y＝25
由 得C点坐标_______；
x=1
3x＋5y＝25
∴ zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4
(5,2)
(5,2)
(1,4.4)
(1,4.4)
平移l0，
平移l0 ，
(5,2)
2x－y＝0
(1,4.4)
(5,2)
(1,4.4)
解线性规划问题的步骤：
2、 在线性目标函数所表示的一组平行线
中，用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
3、 通过解方程组求出最优解；
4、 作出答案。
1、 画出线性约束条件所表示的可行域；
画
移
求
答
3x+5y=25
例2：已知x、y满足 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ
取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
∵　 kAC＝
k l = -a
∴ 　-a =
∴ 　 a =
例3：满足线性约束条件 的可行域中共有
多少个整数解。
x+4y≤11
3x +２y≤10
x>0
y>0
1
2
2
3
3
1
4
4
5
5
x
y
0
3x +２y=10
x +4y=11
解：由题意得可行域如图:
由图知满足约束条件的
可行域中的整点为(1,1)、
(1,2)、(2,1)、(2,2)
故有四个整点可行解.
练习：
设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
x - y ≤ 7
2x+3y≤24
x≥0
y ≤6
y ≥0
小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。(共28张PPT)
2.2.1等差数列
学习目标
1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点
1.等差数列概念的理解与掌握
2.等差数列通项公式的推导及应用
3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数
简记作:{an}
2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这
个公式叫做数列的通项公式.
3.数列的分类
(1)按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
项数无限的数列叫无穷数列
摆动数列，
常数列。
5.递推公式:
4.数列的实质
数列可以看作是一个定义域为正整数集
（ 或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
说明:递推公式也是数列的一种表示方法。
观察下面的数列：
①4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②3，0，－3，－6，……；
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm）
③ 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
一张梯子
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
④ 40，50，60，70，80，90，100；
⑵每级之间的高度相差分别为
⑤ 40，40，40，40，40，40.
这就是说，这些数列具有这样的共同特点：
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
思考：这5个数列有什么共同特点？
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
它们是等差数列吗？
(2) 5，5，5，5，5，5，…
公差 d=0 常数列
公差 d= 2x
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(3)
…
观察下面的数列：
①4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②3，0，－3，－6，……；
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cm）
③ 21，21.5 ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
一张梯子
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
④ 40，50，60，70，80，90，100；
⑵每级之间的高度相差分别为
⑤ 40，40，40，40，40，40.
给出一个数列的通项公式，你能证明它是等差数列吗？比如an=an+b
a2 － a1=d，
a3 － a2=d，
a4 － a3=d，
……
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……
由此得到 a n=a1+(n－1)d
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
由定义归纳通项公式
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
巩固通项公式
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an
例如：①a1=1, d=2,则
an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20项)。
解： a1=8, d=5－8=－3
∴a20=－49
∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11
练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=_______________ a4=_________
a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
4n-1
15
39
例如 ：已知a20=－49, d=－3 则，
由a20=a1+(20－1)·(－3)
得a1=8
练习：a4=15 d=3 则a1=______________
6
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
例如：
①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项
解 ：a1=8, d=－3
则 an=8+(n－1)·(－3)
－49=8+(n－1)·(－3)
得 n=20。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求项数n
【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，
可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0
3
-6
如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项
探究
( 3 ) , ( ) ,
等差中项:
通过它的通项公式，可以看出它与什么函数有关
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
等差数列的图像
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-10
等差数列的图像
通过图像你能说明
公差对图像有什么影响？
直线的一般形式：
等差数列的通项公式为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
讨论：
数列中，第n项与第m项有什么关系？
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差
为d,
数列中，第n项与第m项有什么关系？
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差为d,
an=am+(n-m)d
解: 依题得,
am=a1+(m-1)d
an=a1+(n-1)d
讨论：
在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=3,an=21,d=2,求n
2）已知d=-1/3,a7=8,求a1
3）在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
今天我们学了一些什么
等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.
等差数列的定义 an+1-an=d
等差数列中的等差中项A=(a+b)/2
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
好好学习
　天天向上
选作：一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
　1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z ∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
2. 在3与27之间插入7个数，使它们成
为等差数列，则插入的7个数的第四
个数是( )
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
1、试用两种数学语言（文字语言、符号语言）来表述一下等差数列的概念：
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
②如果数列{an}，满足an-an-1=d（d为常数，n≥2，且n∈N*），则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。
2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；
总结反思
3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。
4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.4不等式的实际应用 学案
【预习达标】
⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．
⒉实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．
3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】
例⒈某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为元。现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。 问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x升
第1次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度
第1次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（）4］，
中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度万第一年）总投入万an万元，旅游业总收入万bn万元，写出an、bn的表达式。（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【双基达标】
一． 选择题：
　⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P1，第三年比第二年增长的百分率万P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1。给出以下数据⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（　　　　　　）
　　Ａ．⑴⑵　　　　　Ｂ．⑴⑶　　　　Ｃ．⑵⑶⑷　　　　　　Ｄ．⑵⑸
　⒉用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（　　　　　）
　　Ａ．2×5　　　Ｂ．2×5.5　　　Ｃ．2×6.1　Ｄ．3×5
　⒊某工厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂家正在改造建设，一月份投入建设资金恰好与一月份利润相等，随着投入资金的逐月增加且每月增加的百分比相同，到12月投入资金又恰好与12月生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入N的大小关系是（　　　　　　）
　　Ａ．W>N　　　　Ｂ．W　⒋生物学指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10％～20％的能量转入到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若能使H6获得10kj的热量，则需要H1最多可提供的能量是（　　　　　　）
　　Ａ．104kj　　　　Ｂ．105kj Ｃ．106kj Ｄ．107kj
　⒌某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（　　　　　）元。
　　Ａ．413.7　　　　　　Ｂ．513.7　　　　　Ｃ．546.6　　　　　　Ｄ．548.7
二．填空题：
　⒍光线透过一块玻璃，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010,lg3=0.4771）．
　⒎Rt△ABC斜边长c=1，那么它的内切圆半径r的最大值为___________．
　⒏已知ab=1000，a>1，b<1，则的最大值是____________．
三．解答题：
　⒐某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50　
　
　
　⒑如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。⑴现有可围36m长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
　
　
参考答案：
【预习达标】
1．未知数；不等式
2．实际意义；
3．大；一个正的假分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变小。
【典例解析】
例1． 设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一边长度为
（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) ，其余的建新墙，费用为（2x+
∴总费用为y= x+(14-x) +（2x+=7a(，当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为14，建新墙的费用为（2x+∴总费用为y= 14+（2x+其中，x≥14。
∵在x>时为增函数，∴x>12时，函数增∵x≥14∴最小值在x=14处取得，此时y=35.5a。
例2．参考教材。
例3．解析：（1）n年内总投入为an=800+800(1-)+…＋800=4000[1-]。n年内总收入为bn=400+400(1+)+…＋400=1600[]。
（2）bn>an，即1600[]>4000[1-]，设=x则5x2-7x+2>0∴x<,x>1（舍）即<∴n≥5。故至少5年。
参考答案：
【双基达标】
一、
1．B；
2．C；
3．A；
4．C；
5．C
二、6．11；
7．；
8．；
三、9．解析：利用L＝(x-50)= (x-50)
=∵x-50>0∴L≤，当且仅当x=60（舍去x=40）时等号成立。
10．解析：（1）设每间虎笼长为x，宽为y则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。设每间虎笼面积为S，则S＝xy。∵18＝2x+3y≥2∴S≤当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S＝xy=24，设钢筋总长为L，则L＝4x+6y≥2＝48，当且仅当x=6,y=4时等号成立。
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3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域
问题1：在平面直坐标系中，
x+y=0
表示的点的集合表示什么图形？
x-y+1>0 呢？
x+y>0 呢
x
y
o
x+y=0
x
y
o
x+y=0
x
y
o
x+y=0
x+y>0
x+y<0
(x。,y。)
(x0 , y)
在平面直角坐标系中, 点的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示什么图形？
x0>x，y=y0
x0-y0+1> x-y+1
x
y
o
1
-1
左上方
x-y+1<0
x-y+1=0
(x，y）
（x。，y。）
右下方
x-y+1>0
问题：一般地，如何画不等式AX+BY+C>0表示的平面区域？
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
例1：画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。
x
y
o
3
6
2x+y-6<0
2x+y-6=0
平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
解:
将直线2X+y-6=0画成虚线
将(0,0)代入2X+y-6
得0+0-6=-6<0
原点所在一侧为
2x+y-6<0表示平面区域
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
　 （1）２ｘ＋３ｙ－６＞０
（2）４ｘ－３ｙ≤１２　
O
X
Y
3
2
O
Y
X
3
-4
（1）
（2）
例2：画出不等式组
表示的平面区域
O
X
Y
x+y=0
x=3
x-y+5=0
注：不等式组表示的平面区域是各不等式
所表示平面区域的公共部分。
-5
5
解：
0-0+5>0
1+0>0
(1)
(2)
4
o
x
Y
-2
O
X
Y
3
3
2
练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
2
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤：
直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；
小结：
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
否则应画成实线。(共19张PPT)
3.2 均值不等式(1)
学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。
2.理解均值定理和重要不等式
几何意义。
3.会用定理解决有关比较大小、证明、
求最值等问题。
4.重点：两个不等式的证明和区别
5.难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的
数学内涵
自学提纲
1.算术平均值、几何平均值的概念
2.基本不等式的内容及成立的条件
3.基本不等式的证明
4.基本不等式的几何意义
5.基本不等式有哪些方面的应用
基础知识
1. 均值定理：
如果 ，那么
当且仅当 时，式中等号成立
2. 均值定理的几何意义：
即两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释：
半径不小于半弦
熟悉运算结构
我们把 叫做a,b的算术平均数，把 叫做a,b的几何平均数。
从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。
回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积” 的结构？
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？
赵爽弦图
a2+b2≥2ab
该结论成立的条件是什么 ？
若a,b∈R，那么
形的角度
数的角度
a2+b2－2ab
=(a－b)2≥0
a>0,b>0
a2+b2≥2ab
公式中等号成立的条件是什么？
是否仅仅当a=b时等号才成立？
若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
形的角度
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
a=b
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
公式两边具有何种运算结构？
数的角度:平方和不小于积的2倍
a2+b2
2ab
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
以下不等式是否成立？
a2+b2≥－2ab，
a2+b2≥2|ab|
基础知识
3. 定理：(重要不等式）
a2+b2≥2ab
若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
4.定理的几何意义：
基础训练
1．试判断 与 2 的
大小关系？
2．试判断 与 1 的
大小关系？
基础训练
3．试判断 与 7的
大小关系？
解：
基础训练
4. 求函数的值域：
能力训练
5. 已知 求函数
的最大值及相应的x值。
6. 求 时， 的值域：
能力训练
7.已知
时，函数有最_______值是_______
8.已知
求证：
课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业
1.已知 ，求函数
的最小值。
2.试判断 与 的大小关系？并说明什么时候取到等 号？本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
正弦定理、余弦定理的应用（一）作业
1.在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ）
2. 在△ABC中，
3.海上有两个小岛相距，从岛望所成的视角为，从岛望所成的视角为，试求间的距离。
4.甲船在A处观察到乙船在它的东偏北方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？
5.如图，已知圆内接四边形中，，如何求四边形的面积？
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3.5.1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 学案
【预习达标】
1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
2．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
3．二元一次不等式Ax＋By＋C>0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
4．二元一次不等式Ax＋By＋C<0，当A>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域；当A<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0______边的区域．
【课前达标】
⒈点（2，3），（1，2）在直线y=2x＋1的 （填“同侧”、“异侧”）
⒉若点（1，3）和（－4，－2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是（ ）
A．m<-5或m>10 B．m=-5或m=10 C．-5⒊画出（x-2y+1）(x+y-3)<0表示的平面区域．
【典例解析】
例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
例2．画出下列不等式组表示的平面区域
（1） （2）
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【双基达标】
1． 选择题：
⒈点P（a，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则a的值是（　　　　）
　Ａ．－3　　　Ｂ．3　　　　　Ｃ．7　 　Ｄ．－7
⒉已知a>0，点集S的点（x，y）满足下列所有条件：①，②，③，④，⑤．则S的边界是一个有几条边的多边形（　　　　　）
　Ａ．4　　　Ｂ．5　　　Ｃ．6　　　Ｄ．7
　　　　　　
1． 填空题：
⒍设x、y满足，则z=3x+2y的最大值是 ．
1． 解答题：
⒐用三条直线x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0围成一个三角形，试写出三角形内部区域满足的不等式组．
参考答案
【预习达标】
1．上；下．解析：设（x0,y0）在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线Ax0＋By0＋C＝0,取直线上方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B>0(由于B>0,△y>0)，取直线下方点（x0,y0+△y），则Ax0＋B（y0＋△y）＋C=Ax0＋By0＋C+B<0(由于B>0,△y<0)，
2．下；上
3．左；右
4．右；左
【课前达标】
1．（1）同侧；
2．C解析：（m+5）(m-10)<0∴-53．（略）
【典例解析】
例3．解：x,y满足的数学关系式为 ：
分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．
【双基达标】
一、1．A ；2．C ．
二、6．5；
三、9．
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3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案
一、教学目标：
1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．
2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力；
3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣．
二、教学重点、难点：
重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域
难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域．
三、教学方法与手段
本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．
四、教学过程
（一）创设情景，引入新课
本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x个，买小球y个；
（2）把文字语言转化为数学符号语言：
（少于100元的钱购买） （1）
（大球数不少于10） ， （2）
（小球数不少于20） ， （3）
（3）抽象出数学模型：
（二）讲授新课
1．二元一次不等式（组）的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．
2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
二元一次方程表示的是什么图形？ 直线
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线分为几部分？
两部分 以为例进行直观说明，引出以下概念：
每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．
以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．
如何求二元一次不等式表示的平面区域？
我们先研究具体的二元一次不等式的解集所表示的图形．
问题二：平面内所有的点被直线分成几类？
如图：在平面直角坐标系内，表示一条直线．
平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线上的点；
第二类：在直线左下方的区域内的点；
第三类：在直线右上方的区域内的点．
问题三：每部分中的点都有哪些特点？
在直线的上方、下方取一些点：
上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）
下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）
分别把点的坐标代入式子中，会有什么结果？
直线上方的点使的；直线下方的点使的．
猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？
问题四：直线右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？
；．
由学生自行归纳总结，不要求证明．
结论：直线把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．
问题五：如何判断表示直线哪一侧平面区域？
根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．
概括为： “直线定界，特殊点定域”．
特别地，当时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．
问题六： 表示的平面区域与表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？
把直线画成实线以表示区域包含边界直线；
把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．
（三）应用新知，练习巩固
例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
设计以下几个问题:
(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？
(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好
学生完成，师指导．
例2．画出下列不等式组表示的平面区域
（1） （2）
设计以下几个问题：
(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)
(2)第二小题中加上条件，又会是什么图形呢？
多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：x,y满足的数学关系式为 ：
分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．
反馈练习：教材89页练习A组2（4）．
（四）课堂小结
知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域
2．判定方法: “直线定界，特殊点定域”．
小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)； 如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)．
思想方法上：数形结合的数学思想方法．
（五）布置作业
教材89页练习B组1、2．
大屏幕展示思考题： （再次回到引例）为下一节课做准备。
我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请问最多可以买到几只彩球？如果要求大球与小球的总数不超过48个，哪种方案最省钱？
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简单的线性规划问题
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力
（2）教学重点、教学难点
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答
教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解
（3）学法与教学用具
学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
（4）教学设想
1、 设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一起来复习一下
2、 新课讲授
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg
食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg)
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数
②分析约束条件， 请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件
③图解法求解
④老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元。
此时，目标函数为画出可行域。把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。
例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数为画出可行域。
把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。
小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法求出最大（最小）截距，进而求解
3、 课堂练习
课本第103页第2题
4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。
（5）评价设计
1、课本第105页第3、4题
2、某家具厂有方木材90,五合板600，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材0.1、五合板2，生产每个书橱需要方木料0.2、五合板1,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少 如果只安排生产书橱,可获利润多少 怎样安排生产可使得利润最大
答:24000元,54000元,56000元
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3.3 一元二次不等式及其
解法
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。
下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
例如解不等式：
（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6
= 的图象和性质。
方程x2－x－6=0的判别式
于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3.
建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)，
观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合
A={x| x<－2或x>3}是一元二
次不等式x2－x－6>0的解集。
抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x| －2事实上，当x∈A时，若x<－2，则x+2<0，且x－3<0，由此可推知
(x+2)(x－3)>0；
若x>3，同样可推知(x+2)(x－3)>0。
当x∈B时，即－20，
x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解：
（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，
所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得x>3或x<－2.
（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0，
相对于解不等式组 或 ，
解这两个不等式组得－2比较上面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。
例1．解不等式：（1）x2－2x+3>0；
（2）x2－2x+3<0.
分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+3>0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为实数集R，
不等式（2）无解，或说它的解集为空集.
通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。
（1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2).
简单的说是：
大于在两边，小于在中间。
（2）当△=0时，通过配方得，
由图可知，ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数，即
ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。
（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
例2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
所以不等式的解集是
例3．解不等式x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0，
原不等式化为(x+2)2>0，
所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
例4．解不等式－2x2+4x－3>0.
解：原不等式化为2x2－4x+3<0，
因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0，
所以原不等式的解集是
例5．求函数
的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
即
解得
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等差数列·例题解析

【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．
代入an＝a1＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知：a1＝－1，a5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解 设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N
得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3
∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．
解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．
可能是等差数列．
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．
又∵ a、b、c不为0，
∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a、b、c不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；
分析与解答
(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0
∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2
∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0
∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0
∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数
(2)由条件得 2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC
分析至此，变形目标需明确，即要证
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
证明 设该数列的公差为d，则
a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d
∴a1－an+1=－nd
∴ 原等式成立．
【例10】 设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，
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3.4 不等式的实际应用 测试题
一． 选择题：
1．完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人的约束条件是（　　　　　）
　Ａ．5x+4y<200　　　　Ｂ．5x+4y≥200　　　Ｃ　5x+4y＝200　　　Ｄ．5x+4y≤200
2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是（　　　　　　）
　Ａ．x+y+z=65　Ｂ． Ｃ．　　Ｄ．
3．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（ ）
A．前者贵 B．后者贵 C．一样 D．不能确定
4．如果f(x)=mx2+(m－1)x+1在区间上为减函数，则m的取值范围（ ）
A． （0， B． C． D （0，）
5．设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3m2 B．16 m2 C． 4 m2 D．14 m2
6．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为（　　　　　）
　　Ａ．　　　Ｂ．4cm2　　　　　Ｃ． cm2　　　　　Ｄ．2 cm2
7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（ ）年报废最划算。
Ａ．3　　　　 Ｂ．5 Ｃ．7 Ｄ．10
8．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436
若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A．计算机行业好于化工行业 　　　 B．建筑行业好于物流行业　　　
Ｃ．机械行业最紧张　　　　　 Ｄ．营销行业比贸易行业紧张
二．填空题：
9．某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：（1）语文不低于70分；（2）数学应高于80分；（3）三科成绩之和不少于230分。若张三被录取到该校，则该同学的语、数、英成绩x、y、z应满足的约束条件是_____________________．
10．用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 ．
11．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是 ．
三．解答题：
12．已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两辆货车间距离为d千米，现已知d与v的平方成正比，且当v=20（千米／时）时，d=1（千米）．
（1）写出d与v的函数关系；
（2）若不计货车的长度，则26辆货车都到达B地最少需要多少小时？此时货车速度是多少？
13．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y（千辆／时）与汽车的平均速度v（千米／时）之间的函数关系为
（1） 在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆／时）？
（2） 若要求在该时段内车流量超过10千辆／时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
14．有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三个点处，且AB=AC=13千米，BC＝10千米。今计划合建一个中心医院。为同时方便三个城镇，需要将医院建在BC的垂直平分线上的点P处。若希望点P到三个城镇距离的平方和最小，点P应该位于何处？
参考答案
一． 选择题：
1．D；
2．C解析：A、C、D中都有可能x、y、z为负数。
3．A解析：设郁金香x元／枝，丁香y元／枝，则，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。
4．C解析：依题意知，若m=0,则成立；若m≠0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C。
5．B解析：设长方体的长为xm,高为hm，则V=2xh而2x+2h×2＋xh×2=32∴可求得B。
6．D解析：设一段为x，则面积和为≥2
7．D解析：设使用x年，年平均费用为y万元，则y= =，当且仅当x=10时等号成立。
8．B
二．填空题：
9．
10．解析：设长x米，宽y米，∴6x+10y≤100即3x+5y≤50∵100≥3x+5y≥2，当且仅当3x=5y时等号成立，∵x，y为正整数，∴只有3x=24,5y=25时，此时面积xy=40平方米。
11．解析：付款16元，肯定超出了3千米，设行程x千米，则应该付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。
三．解答题：
12．解析：（1）设d=kv2（其中k为比例系数，k>0），由v=20,d=1得k=∴d= （2）∵每两列货车间距离为d千米，∴最后一列货车与第一列货车间距离为25d，∴最后一列货车达到B地的时间为t=，代入d=得
t=≥2＝10，当且仅当v=80千米／时等号成立。∴26辆货车到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米／时。
13．（1）依题意y=，当且仅当v=40等号成立。最大车流量y=≈11.1(千辆／时)
（2）由条件得，整理得v2-89v+1600<0解得2514．解析：以BC中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系，则B(-5,0),C(5,0)，A(012)，设P(0,y)∴PA2+PB2+PC2＝2（25＋y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146∴y＝4时取最小值146，此时P的坐标为（0，4）。
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3.1.2 不等式的性质 测试题
一． 选择题：
1．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab>0,bc－ad>0，则－>0 ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0 ③若bc－ad>0, >>0，则ab>0．其中真命题的个数是（　　　　）
Ａ．0　　　　　　　Ｂ．1 Ｃ．2　　　　　　　　Ｄ．3
2．若a>b>c，则一定成立的不等式是（　　　　　）
Ａ．a│c│>b│c│　　Ｂ．ab>ac Ｃ．a－│c│>b－│c│ Ｄ． <<
3．若a、b∈（0，＋∞），且a>b，则（　　　　）
　Ａ．a2>b2　　　　　　Ｂ．<1　　　　　　Ｃ．lg(a－b)>0　　　　Ｄ．<
4．若a>b>c，则下列不等式成立的是（　　　）
　Ａ．>　　　　Ｂ．<　　Ｃ．ac>bc　　　　　Ｄ．ac5．若aＡ． > Ｂ．> Ｃ．│a│>│b│ Ｄ．a2>b2
6．若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若1< <，则下列结论中不正确的是（ ）
A．log> log B．│log＋log│>2
C．(log)2<1 D．│log│＋ │ log│>│ log ＋ log│
8． “a>b>0” 是“ab< ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设a>0，b>0，则不等式－b<A．－ < x <0或0C．x<－或x> D．x<－或x>
二．填空题：
10．设a>1，－111．以下结论：（1）a>b│a│>b；（2）a>ba2>b2；（3）│a│>ba>b；（4）a>│b│a>b，其中正确结论的序号是___________________．
12．已知－≤α<β≤，则的范围为 ．
三．解答题：
13．已知a>b>0,c>d>0，（1）求证：ac>bd （2）试比较与的大小．
14．设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0
求证：（1）a>0，－2<<－1
（2）函数f(x)在（0，1）内有零点．
参考答案：
1．D解析：①∵bc－ad>0∴bc>ad同时除以ab∵ab>0∴>∴－>0
②∵－>0∴>∵ab>0同时乘以ab得bc>ad ∴bc－ad>0
③ >>0 ∴－>0得>0又bc－ad>0 ∴ab>0
2． C解析：A需要c≠0，B需要a>0，D需要a、b、c同号
3．D
4．B解析：∵a-c>b-c>0∴ <；
5．B解析：∵a；∵a―a>0∴│a│>│b│ ，a2>b2
6．A
7．D解析：∵1< <∴08．A解析：ab< 即a2＋b2-2ab>0即(a-b)2>0，只能得到a≠b
9．D解析：若x>0，则由；若x<0，则由－b<知x<－
二．填空题：
10．a>-ab>-b>b>-a解析：依题意知a>-b>b>-a，只需考虑-ab，它是个正数，依题意│b│<－ab<│a│即-b<-ab11．（1）（4）解析：（1）∵│a│≥a而a>b∴│a│>b（2）必须均正（3）如a=-3,b=2（4）∵│b│≥b而a>│b│∴a>b
12．解析：∵－≤β≤∴－≤－β≤，同向可加性得，从而得到结论．
三．解答题：
13．证明：(1)∵a>b>0,c>d>0∴ac>bc,bc>bd∴ac>bd
(2)∵a>b>0,c>d>0∴>0，>0∴>0 ∴>
14．证明：（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b，得a>c>0；消去c，得a+b<0,2a+b>0．故－2<<－1
（2）抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（，）．∵－2<<－1
∴．由于f()===<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，）和（，1）内各有一个零点．
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学案（3）等差数列
目标
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．已知中的三个，求第四个的问题。
新课
观察下面两个数列有什么共同特点？
鞋的尺码，按照国家统一规定，有22,22.5,23,23.5,24,24.5,…;①
某月星期日的日期为2,9,16,23,30； ②
一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm）为
89,83,77,71,65,59,53,47。 ③
1．等差数列：
例1 已知数列的通项公式为，这个数列是等差数列吗？
2．等差数列的通项公式：
例2 已知等差数列10，7，4，…：
（1） 试求此数列的第10项；
（2） -40是不是这个数列的项？-56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
⒊等差性质：
例3 已知等差数列的公差为d，第m项为，试求第n项。
例4梯子共有5级，从上往下数第一级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列，求第2,3,4级的宽度。
例5已知等差数列的首项，公差d=-0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？
练习
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
2．在等差数列{}中，（1）已知=10,=19,求与d；（2）已知=9, =3,求.
分层训练
1． 是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列
B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列
D. 公差为的等差数列
3．等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
4．若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列
B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列
D. 一定是递减数列
5．已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
6. 如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
7. 等差数列中，，，则 .
8．若是等差数列，3, 10是方程x2-3x-5=0的两根，则5+8= .
9．判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
10. 在等差数列中，
（１）已知＝31，＝76，求和ｄ；
（２）已知＋＝12，＝７，求．
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1.1.1 正弦定理 课件
1、边的关系：
2、角的关系：
3、边角关系：
1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
2）在直角三角形中：a2+b2=c2
1）A+B+C=1800
1）大边对大角，大角对大边，等边对等角
2）在直角三角形ABC中,C=900,则
回顾三角形中的边角关系:
一、前提测评
1、知识目标
(1)使同学们理解正弦定理的推导过程
(2)能应用正弦定理解斜三角形
2、能力目标
培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力
二、展示目标
对任意三角形,这个等式都会成立吗
怎么证明这个结论？
A
B
C
c
b
a
在直角三角形中:
正弦定理的发现
1、当 ABC为锐角三角形时，如图（1）
证明:
过A作单位向量 垂直,
则 的夹角为________,
的夹角为________,
的夹角为________.
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.
求证:
A
C
B
a
b
c
j
方法一(向量法)
（一）正弦定理的证明
A
C
B
a
b
c
2、当 ABC为钝角三角形时，不妨设
A
B
C
a
b
c
如图,同样可证得
即等式对任意三角形都成立
证法二：(等积法)
在任意斜 ABC当中
作AD⊥BC于D
∴
∵
∴
同理可证
D
A
B
C
c
a
b
h
证法三：(外接圆法)
如图所示,作 ABC外接圆则
∴
同理
∴
（R为 ABC外接圆半径）
A
B
C
a
b
c
O
D
∠A=∠D
正弦定理
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
注意：定理适合任意三角形。
A
B
C
a
c
b
正弦定理的应用:
一、解斜三角形；
二、在三角形中实现边角互化.
（2R是三角形外接圆的直径）
正弦定理在解斜三角形中的两类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)
A
B
a
C
A
a
a
b
B
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
由 = 得 a= = =10
由 =
得 b= = = 20sin750=20×
= 5 +5
例题讲解：
例2、在ΔABC中，b= ,B=600 ,c=1,求a和A，C
解：∵ =
∴ sinC= = =
∴ B=900 a= =2
∵b>c,B=600 ∴C∴C=300
例3、ΔABC中,c= ,A=450 a=2,
求b和B、C
解：∵ =
∴ sinC= =sinC= =
b= = = +1
∴C=600
∴当C=600时，B=750
或C=1200
24
∴当C=1200 时，B=150 ，
b= = = -1
∴b= +1, B=750 ，C=600
或b= -1， B=150 ，C=1200
请同学们思考两个问题：
1.为什么会出现两个解？
2.当a=1时C有几个解；当a= 时C有几个解；当a=3时C有几个解
25
A> 90°时 A= 90°时 A< 90°时
a>b 1解 a>b 1解 a>b 1解
a=b 无解 a=b 无解 a=b 1解
a1、bsinA2、a=bsinA3、a已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）
四、反馈练习
1、根据下列条件确定△ABC有两个解的是（ ）
A.a=18 B=300 A=1200
B.a=60 c=48 C=1200
C.a=3 b=6 A=300
D.a=14 b=15 A=450
2、根据下列条件解三角形
(1)已知在△ABC中a=8,B=600,C=450,求b
(2)已知在△ABC中b= ,c=1,B=450, 求C
由正弦定理可得：
由正弦定理可得：
答案：
1、由正弦定理可得：
A:
B：由于a>c，故A>C，无解
C：
D：
3、△ABC中，sinAD即不必要也非充分条件
A充分非必要条件
C充要条件
B必要非充分条件
解：在△ABC中，由正弦定理可知
又因为sinA所以aA所以sinA反之由A由正弦定理
可以推出sinA所以sinA综上sinA3.1.1不等关系与不等式 教案
教学目标：
1．掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，
2．学会比较两个代数式的大小.
教学重点：
实数的大小比较的基本方法：作差法。
教学过程
1、 不等式的概念
用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）
（3）不等式研究的范围是实数集R
1、 实数大小比较的依据
实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两个点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，若点A在点B的右方，则点A表示的实数a就大于点B表示的实数b，即a>b,这时，b应加上一个正数才能得到a，即a-b是一个正数，故比较两个实数的大小，只要考虑它们的差就可以了，对两个实数有如下的性质：
如果a>b,则a-b为正数，若a1、 对于任意两个数a和b，在a>b，a=b，a1、 例题：
例1．比较和的大小
例2．当、都为正数且时，试比较代数式与的大小
归纳总结 ：
（1）、（2）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
补充例题：
例3．比较lgx2与（lgx）2的大小。
例4．已知a>b>0，m>0，试比较与的大小。
1、 巩固练习：
1、若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
Aa＞ab＞ab2 Bab2＞ab＞a Cab＞a＞ab2 Dab＞ab2＞a
2、下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C. D.2a>0
3、已知a,b∈R,≥0,a+b<0则 ( )
A.a≤0,b<0 B. a≥0,b>0 C. a<0,b<0 D. a>0,b>0
4、已知x<0，那么，x2,2x,x的大小关系是 （ ）
A. x2>2x>x B. x >x2>2x C. x 5、已知ab<0，b-a<0,则不等式 成立
6、设A=(a2+b2)(c2+d2),B=(ac+bd)2，则A B
7、设a8、已知a,b∈R,且ab≠0，则不等式ab-a2 b2成立
9 、比较a4-b4与4a3(a-b)的大小
10、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小
11、设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且312、 已知0小结：求差比较，关键是差的符号的判定，而差的符号的判定关键是作差以后的变形，变形的主要方法是分解和配方
课堂练习：第63页练习A、B。
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等比数列
教学内容分析
这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．
教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．
2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．
3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．
任务分析
这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．
教学设计
一、问题情景
在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：
1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1，2，4，8，…
2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是
本利和＝本金×（1＋利率）存期
例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：
表47-1
时　间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198 10000×1.01982
第3年 10000×1.01982 10000×1.01983
第4年 10000×1.01983 10000×1.01984
第5年 10000×1.01984 10000×1.01985
各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：
１００００×１?０１９８，１００００×１?０１９８２，１００００×１?０１９８３，１００００×１?０１９８４，１００００×１?０１９８５．
问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？
二、建立模型
结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即
［问　题］
1. ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？
2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．
对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．
3. 你如何论证上述公式的正确性．
证法1：同等差数列———归纳法．
证法2：类比等差数列，累乘可得，即
各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．
归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．
（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．
三、解释应用
［例　题］
1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？
解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．
设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．
两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．
用计算器计算，得ｎ≈4．
答：这种物质的半衰期大约为4年．
2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．
解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么
注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．
3. 已知数列｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａnbn｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．
解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·bn｝也是等比数列．
证明如下：
设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛bn｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·bn｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得
显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·bn｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．
特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．
［练　习］
1. 在等比数列｛ａn｝中，
（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．
（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．
2. 设｛ａn｝是正项等比数列，问：是等比数列吗？为什么？
3. 三个数成等比数列，并且它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．
4. 设等比数列｛ａn｝，｛bn｝的公比分别是ｐ，ｑ．
（1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
（2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
四、拓展延伸
引导学生分析思考如下三个问题：
（1）如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？
（2）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．对比一下，你发现了什么？
（3）已知数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n（ｎ≥2），数列｛bn｝满足，你会求它们的通项公式吗？
五、回顾反思
1. 在这节课上，你有哪些收获？
2. 你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试看．
点　评
这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法非常相似，但设计者从类比入手，让学生亲自去发现，猜想，解决，无论从问题的提出，还是在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生可以更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．
美中不足的是，等比数列的现实模型比较多，而这篇案例在对比方面的运用略显单薄．
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1.1.2余弦定理 教案
教学目标：
1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程；
2．使学生能初步运用它解斜三角形。
教学重点：
余弦定理的证明，
余弦定理的应用。
教学过程
一、复习引入：
1． 复习正弦定理及其证明
1． 复习正弦定理的应用
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
推导过程：
如图在中，、、的长分别为、、
∵
∴
即
同理可证 ，
方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系
。
由两点的距离公式有：
两边平方，得
同理可证另两式
2、正弦定理、余弦定理与射影定理：
O为ΔABC的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC＝sin（90o－∠OBC）＝cos∠OBC 。
（A1）在ΔOBC中，利用射影定理： ＝cos∠OBC＋cos∠OCB ＝2Rcos∠OBC
（A2）在ΔOBC中，利用余弦定理：2＝2＋2－2cos∠BOC＝4R2cos2∠OBC
∵ ∠OBC必为锐角 ∴ ＝2Rcos∠OBC
由上可知：在ΔABC中，＝＝＝2R
同理：＝2R；＝2R
故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。
另：先將余弦定理转化如右：cosA＝ ；cosB＝ ；
cosC＝
整理b cosC＋c cosB＝b ×＋c ×＝＝a
同理：b＝a cosC＋c cosA；c＝a cosB＋b cosA
故可利用余弦定理证得射影定理。
三、例题自学
四、小结：学生分组小结：
知识上：
方法上：
课堂练习：教材p8 练习A 1、2、3、4；
教材p9 练习B1、2、3。
课后作业：教材p9 习题A、B。
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B
C
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3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等式的问题，本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.
1．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：
2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
3. 同向不等式与异向不等式
同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式.
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：a>b，c一、不等式的几个基本概念
二、不等式的基本性质
性质1：如果a>b，那么bb．(对称性)
即：a>b b性质2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c a>c
不等式的传递性可以推广到n个的情形．
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>b a+c>b+c
点评：(1)性质3的逆命题也成立；
(2)利用性质3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d a+c>b+d．
例1 已知a>b，cb-d．(相减法则)
性质4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；
如果a>b，且c<0，那么ac推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)
说明：
这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
例2 已知a>b,ab>0,求证：
例3 已知a>b>0,0性质4推论2 若
性质5 若
例4 已知a>b>0，c<0，求证：
例5 已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1,
-1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。
不等式的基本性质总结
作业： 习题6.1 4~6.
补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是
A．a-d>b-c B． C．a+d>b+c D．ac>bd
2. 如果a、b为非0实数，则不等式 成立的充要条件是 [ ]
A．a>b且ab<0 B．a0 C．a>b,ab<0或ab<0 D．a2b-ab2<0
3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 [ ]
A．ab>ac B．(a-b)∣c-b∣>0 C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣ab∣>∣bc|
4.已知a、b为实数，则“a+b>2”是“a、b中至少有一个大于1”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 不充分也不必要条件
5．log m2> log n2的充要条件是 [ ]
A．n>m>1或1>m>n>0 B．1>m>n>0
C．n>m>1或1>n>m>0 或m>1>n>0; D．m>n>1本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等差数列（第一节）教案
、教学目的：
1、 理解等差数列的定义及概念。
2、 了解等差数列的通项公式。
二、教学重点：
等差数列概念的理解和等差数列通项公式的推导。
三、教学关键：
讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
四、教学理念：
1、 注重知识的形成的过程，注重学生思维发展的过程。
2、 课堂设计从问题的提出到问题的解决，再提出问题。
3、 引导学生“再创造”。
五、教学过程：
教学情景的设计：（在课前播放象山的风景片）
T：同学们，谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡---象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师特意从象山统计局拿来几组有关象山经济软环境的数据。下表一 (单位:万)
97 98 99 00 01 02
人口总量 53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
耕地面积 28.40 28.70 29.00 29.30 29.60 29.90
表二 (单位:元)
2月 4月 6月 8月 10月
房价 2000 2300 2600 2900 3200
工资 1200 1200 1200 1200 1200
（为了便于研究上述的数字经过近似处理）
思考1：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（数据来源于现实社会，围绕思考让学生进行分小组讨论，目的是培养学生将实际问题数学化的能力及学生的数学建摸能力）
T：从两方面考虑：从宏观上（移居大城市，计划生育、围海造田等）
从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）
53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
28.40 28.70 29.00 29.30 29.60 29.90
2000 2300 2600 2900 3200
1200 1200 1200 1200 1200
T：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征。
S 1：后一项与它的前一项的差等于常数 （描述1）
T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，要加上同一常数，
S2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）
T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，必须从第二项起。
S3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（描述3）
（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：1、同一常数， 2、从第二项起）
T：用数学符号语言：
S4：-=d
T：等价么？
S5：应加上（d是常数） n≥2,n∈N*
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
T：对式子进行变形可得：=+d（d是常数） n≥2,n∈N*
，如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形。（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）
T：这样的数列在你日常生活中存在？
S：举例： 1，2，3，4，5，6，7 ，··· d=1
10，15，20，25，30，35，40 d=5
100，90，80，70 d=-10
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
T：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？
S：等差数列
（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差。为数列的首项。
，，，······（n≥2,,n∈N*）
（提出课题《等差数列的概念（一）》）
（对定义进行分析，强调：1、同一常数， 2、从第二项起。同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。）
数学史的介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”···都记载着等差数列大量研究。被誉为“数字推理的第一思维”。
T： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差。
d=-0.15、 d=0.30 d=300 d=0
（引导学生发现公差d对数列的影响，当d）0时数列是递增，当d《0时数列是递减，当d=0时数列是常数列。》
53.60 53.45 53.30 53.15 53.00. 52.85
T：见上表， 请7号的同学回答a7，请8号的同学求a8，请42号的同学求a42···
S：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；
（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）
T：我们把问题推广到一般情况。若一个数列，，，···，an ，···是等差数列，它的公差是d，那么数列{ an }的通项公式是什么？
方法1． n=2
n=3
n=4
·····
当n=1时，也成立。
（归纳、猜想。培养学生合情推理的能力）
方法2。 用叠加得， 当n=1时，也成立。
整理得： n∈N*
（回过来再说明等差的优点，体现用等差概念的优势，化繁为简，化腐朽为神奇，体现“数学之美”；并让学生自由的交流，进行“再创造”，可推出，n、m∈N*
T：1、对通项公式进行分析；通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）
2、，n、m∈N*
4、 挖掘等差数列的函数特征：
等差数列的通项公式an= a1＋（n－1）d．可表示为an=dn＋c（其中c=a1－d，n 属于N*）的形式，n 的系数即为公差．当d≠0时，an 是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x属于R）的图象上的一群孤立的点．（画图略）
（在数列的通项公式中，每取一个n，都有唯一一个an与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）
T： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式。
=53.60+（n-1）*（-0.15）
=28.40+（n-1）*0.30
=2000+（n-1）*300
=1200+（n-1）*0
思考2：如果在一定时间内象山的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出2010年象山人口总量？到第几年人口总量会小于51万？（请你在分析数据的基础上进行合情推理）。
问1：方法1等差数列=53.60，则2007年为第11年，n=11，求=52。10；
方法2：若=52.85，求=52。10）
方法3：也可从函数角度解；求f（11）。
问2：解：设2002年为第一年，第n年后象山的人口总量小于51万。
=52.85+（n - 1）（-0.15）<51
n>≈13.3
所以：第14年后即2015年时象山人口总量小于51万
（引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本量法的理解，以及决定等差数列要素的选择）
小结：这节课我们一起对象山经济软环境中的几组数据中进行一次有意义的探索，并总结等差数列的概念求出了等差数列的通项公式，等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．让学生明白 “数学来源于生活，应用于生活”。
思考3：等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？在生活中寻找一些数据进行一次探索？（研究性作业）
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《等比数列》BCA案
考纲要求
1、理解等比数列的概念
2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质
3、并能利用有关知识解决相应问题
B案（基础回归）
1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么
A、b=3，ac=9 B、b=—3，ac=9
C、b=3，ac=—9 D、b=—3，ac=—9
2、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为
A、2 B、3 C、4 D、8
3、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于
A、—1 B、1 C、0 D、2
4、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。
5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn= 。
6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。
C案（典型例题分析）
题型一、等比数列的基本量
例1：等比数列{an}中，Sn为前n项和，若S3+ S6=2S9，求q的值。
二、等比数列的证明
例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an
（1）求证：数列{bn}为等比数列。
（2）求数列{bn}的前n项和Tn。
引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。
三．等比数列的综合应用
例3：已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上。其中n=1，2，3……
（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列。
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an）求Tn。
当堂检测：
1、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3a1，则数列{an}的公比q的值为 。
2、（1）例题2中如果Cn=
求证：{cn}为等差数列
（2）求{an}的通项公式。
A案
必做题：
1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于
A、48 B、72
C、145 D、192
2、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是
A、递增数列 B、递减数列
C、常数列
D、无法确定增减性
3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=
A、 B、
C、或 D、—或—
4、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10=
A、5 B、10
C、20 D、40
5、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=
A、33 B、72
C、84 D、189
6、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。
7、等比数列{an}中，S3=3，S6=9，则a13+a14+a15= 。
8、在等比数列{an}中，若a1·a5=16，a4=8，则a6= 。
9、已知数列{log2（an—1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明
选做题：
1、若数列{an}满足（P为正常数，n∈N*），则称{an}为“等比方数列”。甲：数列{an}是等比方数列；乙：数列{an}是等比数列，则
A、甲是乙的充分但不必要条件
B、甲是乙的必要但不充分条件
C、甲是乙的充要条件
D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2、在等比数列{an}中，公比q=2，前99项的和S99=30，则a3+a6+a9+……+a99= 。
3、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，是与（an+1）2的等比中项。
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为T n，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由。
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1.2应用举例 学案
【预习达标】
1.在高200米的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o、60o，则塔高为（ ）
A.米 B. 米 C. 米 D. 米
2．某人向正东走x千米后，他向右转150o，然后朝新方向走3千米。结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（ ）
A. B. C. 或 D.3
【典例解析】
例1 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？
例2怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离？
例3杆OA、OB所受的力（精确到0.1）。
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到0.1h）
【达标练习】
1. 一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30o角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为 .
2. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为45o.从甲楼顶望乙楼底成俯角30o.则甲、乙两楼的高度分别为 .
3. 海上有AB两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60o角的视角，从B岛望C岛和A岛成75o的视角，那么B岛和C岛间的距离是 海里.
参考答案
【预习达标】
1．D 2．A
【典例解析】
见课本例题
【达标练习】
1.10＋5米
2.20米，60米
3.5
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700
500
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3．2 均值不等式 学案
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）
（3）＋ （ ） （4）x＋ (x>0)
（5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；．
⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；
⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x的值为___________________。
　　
【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．
例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】
一． 选择题：
　⒈下列命题正确的是（　　　　）
Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．
　⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（　　　　）
　　Ａ．0　　　　　　　　　Ｂ．1　　　　　　　　Ｃ．2　　　　　　　Ｄ．3
　⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（　　　　　）
Ａ．＋≥2　　　　　　　 Ｂ．a2+b2≥2ab　　　　　　
Ｃ．＋≥a＋b　　　　　 Ｄ．2+
　⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（　　　　　）
Ａ．1　　　　　Ｂ．2 Ｃ．3　　　　　　Ｄ．4
　⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（　　　　　）
　Ａ．a2+b2≥2ab　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
二．填空题：
　⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．
　⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．
　⒏已知a、b为常数且0三．解答题：
　⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
（2）设c　⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。
参考答案：
【预习达标】
1．；
2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a，b∈R＋；a=b
4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）
⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；
5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。
【典例解析】
例1．解析：原式＝（ ++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（） ≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1
（2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x=时取得最小值。
【双基达标】
一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+│＝│x│＋││≥2
2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)＝（a+b）+2+()≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。
3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2时就不成立。
4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥2
5．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝
二、6．4解析：∵ab≤＝4
7．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7
8．解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=。
三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=＝为几何平均数，c=＝为平方平均数。∵x≠0∴∴c>a>b。
（2）＝≥
10．解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BF＝x，BE＝y则S△BEF＝＝＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB= x2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF＝2。
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1.1.1正弦定理学案
一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题
1 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在中，，，，解此三角形。
例2、已知：在中，，，，解此三角形。
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1.1.2 余弦定理 课件
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即　　= = =2R（R为△ABC外接圆半径）
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
在Rt△ABC中(若C=90 )有：
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在 中， 、 、 的长分别为 、 、 。
即
同理可证
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即
2．余弦定理可以解决的问题
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
解：∵ ＝0.725， ∴ A≈44°
∵ ＝0.8071， ∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
(∵sinC＝ ≈0.5954,∴ C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在ΔABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.
解：由 ，得 c≈4.297.
∵ ≈0.7767， ∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
(∵sinA＝ ≈0.6299∴ A=39°或141°(舍).)
，
例 3 ΔABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.
解法一：
∵ |AB| ＝
|BC| ＝
|AC| ＝
∴ A≈84°.
解法二：∵ ＝(–8，3)， ＝(–2，–4).
∴ cosA＝ = ,∴ A≈84°.
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形?D.等边三角形
C
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB?,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2?,∴a2＝b2?,∴a＝b，
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.?∵bcosA＝acosB?
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA?，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0?∴sin（A－B）＝0?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?，∴A－B＝0 即A＝B?
故此三角形是等腰三角形.?
返回
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 。
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 。
4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A= 。
直角三角形
等腰三角形
锐角三角形
钝角三角形
120°
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2 ，试判断此三角形的类型.?
解：∵sinB·sinC＝cos2 , ∴sinB·sinC＝
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得?
cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1?
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π?∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
A
C
B
余弦定理及其应用(共8张PPT)
3.1.1不等关系与不等式
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：
(1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．
(2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等)
(3)不等式研究的范围是实数集R．
当堂练习：
p63 练习A，B
27纪
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3．3 一元二次不等式及其解法 学案
【预习达标】
⒈一次不等式ax>b，若a>0，解集为_____________；若a<0，解集为 ；若a=0，则当b≥0时，解集为 ；当b<0时，解集为___________．
⒉一元一次不等式组（a>b）。若则解集为______；若则解集为____；若 则解集为______；若则解集为________．
⒊若ax2+bx+c>0是一元二次不等式，则a_______．
⒋若ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0有两个相等实根x0，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 ；若ax2+bx+c＝0没有实根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 。
5．分式不等式可以转化为一元二次不等式，试写出下列分式不等式的转化形式：
； 。
【典例解析】
例⒈解下列含有参数的一元二次不等式：
（1）2x2+ax+2>0 (2) x2－(a+a2)x+a2>0
例⒉已知f(x)=x2－2ax+2，当x∈时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
例3．设不等式mx2－2x－m+1<0对│m│≤2的一切m的值均成立。求x的取值范围．
例4．关于x的不等式组的整数解的集合为｛－2｝，求实数k的取值范围。．
【达标练习】
一． 选择题：
　⒈下列结论正确的是（　　　　　　）
　　Ａ．不等式x2≥4的解集是｛x│x≥±2｝　　　Ｂ．不等式x2－9<0的解集为｛x│x<3｝　　　　　Ｃ．(x－1)2<2的解集为｛x│1－Ｄ．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，则不等式ax2+bx+c<0的解集为｛x│x2　⒉已知mｘ2+mｘ+m<1的解集为Ｒ，则m的取值范围是（　　　　）
Ａ．　　　　　　　　　　　　Ｂ．
Ｃ．（－∞，　　　　　　　　　　Ｄ．
　⒊二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为－2，3，且a<0，那么ax2+bx+c>0的解集为（　　　　）
　　Ａ．｛ｘ｜ｘ＞3或x<－2｝　　　 　Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞2或x<－3｝　　　　　　　Ｃ．｛ｘ｜－2<ｘ<3｝　　　　　 Ｄ．｛ｘ｜－3<ｘ<2｝
　⒋不等式≤的解集是（　　　　　）
　　Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．（1，10）　　Ｄ．
　⒌不等式│x2－5x│>6的解集为（　　　　　）
Ａ．｛ｘ｜ｘ＞6或x<－1｝　　　　　Ｂ．｛ｘ｜2<ｘ<3｝　　　　　　　　
Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．｛ｘ｜x<－1或2<ｘ<3或ｘ＞6｝
二．填空题：
　⒍函数f(x)=的定义域为R，则m的取值范围是
　⒎关于x 的不等式x2-mx+5≤4的解集只有一个元素，则实数m＝ ．
　⒏设Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２＜０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜５－２ｘ＞０，ｘ∈Ｎ｝，则Ａ∩Ｂ＝_________________．
三．解答题：
　⒐如果｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝，其中b>0，求a、b的取值范围。　
　
　
　⒑若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2　
　
参考答案：
【预习达标】
1．x>；x<；；R；
2．x>a； x3．a≠0；
4．{x│x> x1或x<,x2}；{x│x25．；。
【典例解析】
例1．解析：
（1）△＝a2-16∴①△<0,即－40,即a>4或a<-4时，不等式解集为
｛ｘ｜ｘ>或x<｝
（2）所给不等式即（x-a）(x-a2)>0必须对a和a2的大小进行讨论。①当a<0时，有aa2}；②当0a2，解集为{x│x>a或x1时，有aa2}；④当a=0时，有a=a2，解集为{x│x∈R且x≠0}；⑤当a＝1时，有a＝a2，解集为{x│x∈R且x≠1}。
例⒉解析：由已知得：x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞）上恒成立，即或解得－3≤a≤1。
例⒊解析：构造函数f(m)=(x2－1)m-(2x－1)即f(m)在[2，2]上恒为负值。故需要
即∴
例4．解析：由x2-x-2>0可得x<-1或x>2。∵不等式组的整数解的集合为{-2}
又∵2x2+(2k+5)x+5k=0的两个根为-k,与－
∴①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{-2}；②若－<－k，则应该有－2<－k≤3，∴－3≤k<2
综上，所求k的取值范围为－3≤k<2。
【达标练习】
一、1．C
2．C解析：首先另外需要考虑m=0这种情况也成立
3．C
4．B
5．D解析：等价于x2－5x >6或x2－5x<-6
二、6．m≥－1解析：等价于△≥0
7．±2解析：等价于△＝0
8．{0，1}
三、9．解析：记A＝｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝＝｛ｘ｜（ax+1）(2x-b)>0｝；
记B＝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝。①若a=0,则A=｛ｘ｜ｘ＞｝，不可能有。②当a<0时，由（ax+1）(2x-b)=2a(x+)(x-)>0，知(x+)(x-)<0，此不等式的解集是介于－与之间的有限区间，故不可能有。③当a>0时，
A＝｛ｘ｜ｘ＞或x<－｝，∵∴－≥－2且≤3，∴a≥且010．解析：原不等式可以化为（x2-1）m-(2x-1)<0，即f(m)= （x2-1）m-(2x-1)
其中－2≤m≤2。根据题意得：
即，
解之得：
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复习回顾：
请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等差中项
定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列的公差。 公差通常用字母 d表示.
由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。
引例：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8
16
…
引例：
②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：
1
…
再来看两个数列：
（3）3，9，27，81，……；
可以发现：
（4）
1
…
1
2
4
8
16
…
(2)
(1)
类比等差数列项与项之间的关系，说说这四个数列它们都有什么共同特点？
数列（1）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
数列（2）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 2
数列（3）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 3
数列（4）从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
也就是说，这4个数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 一个常数
2.4.1等比数列
龙泉中学
讲课人：王莹
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母 q表示。
(q≠0)
注意:
(1)等比数列中无零项
(2)等比数列中q R且q 0
(3)既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列
等比数列的定义
2.
或
1.
思考：
与
这两个式子有什么不同？
1
1
2
4
8
16
…
(2)
(1)
（3）3，9，27，81，……；
（4）
q=
q= 2
q= 3
q=-
…
2、等比数列的通项公式：
递推法:
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
类比
2、等比数列的通项公式：
叠加法:
……
由此等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
类比
叠乘法：
……
由此等差数列的通项公式可得：
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列的定义得到
等比数列的通项公式为
拓展：
可得
可得
等差数列
等比数列
类比
等比数列的通项公式还可以写成
an=a1qn－1
等比数列的通项公式
指数型的函数
q>1 递增数列
0q<0 摆动数列
q=1时，是个什么数列呢？
范例讲解
例1：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
分析：设首项为a1，公比为q，则有
解得
所以a2 = 8。
例2．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20.
解：由a15=a5q10，得
所以
因此
或
小结
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式： ，（n ≥ 2，n ∈N）；
2、要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用；
课 后 作 业
教科书P53 习题2.4A组1、2、3、4题(共18张PPT)
正余弦定理的应用
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边 大边对大角
三角形中的边角关系
例1 在 中，已知 ，求 .
解：由
得
∵ 在 中
∴ A 为锐角
例题分析：
变题：
A
B
C
4
待求角
例题分析：
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小
(2)
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
解（1）
在△ABC中，由余弦定理得
在△ABC中，由正弦定理得
解（2）
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
解（1）
在△ABC中，由余弦定理得
在△ABC中，由正弦定理得
解（2）
法一：
法二：
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
练习：
例3.在△ABC中，
(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
判断△ABC的形状．
例题分析：
分析：
例3.在△ABC中，
(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
判断△ABC的形状．
分析：
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
分析：
思路一：
思路二：
思路三：
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
练习：
思考题：
(06江西)在△ABC中设
命题p:
命题q: △ABC是等边三角形，那么
命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既充分也不必要条件
C
2
“边角互化”是解决三角问题常用的一个策略
结论
1
正弦定理和余弦定理的应用
3
正余定理掌握住
三角地带任漫步
边角转化是关键
正余合璧很精彩
思考题：
1、已知在△ABC中，角A、B、C 的对
边分别为a、b、c . 向量
且
（1）求角C.
（2）若 ，试求 的值.
思考题：
3.在△ABC中，三边a、b、c满足
(a+b+c)(a+b-c)= ab，求tanC．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.1.2 余弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理得c2= = = ；同理得a2= ；b2= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。
【典例解析】
例1 在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精确到0.1）
例2　三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1）
例3已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
【双基达标】
1. 已知a,b,c是三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
A. 60o B. 90o C. 120o D.150o
2．已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3．已知，求证：
（1）如果=，则∠C为直角；
（2）如果>，则∠C为锐角；
（3）如果<，则∠C为钝角.
4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。
5．在△ABC中，已知，求△ABC的面积
6．在,求
（1）
（2）若点
【预习达标】
1． sinC,cosC,-bcosC. AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2=a2+b2-2abcosC;b2+c2-2bccosA;a2+c2-2accosB.
1． ;;.
【课前达标】
1.(1)，（2） 2．C 3．0
【典例解析】
例1略
例2略
例3解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得
由余弦定理，得
　　，所以．
【双基达标】
1． C
2．B
3．用余弦定理
4。直角三角形
5．解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
故所求面积
解法2：同解法1可得c=8.
又由余弦定理可得
故所求面积
6．解：（1）由
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
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不等式
【知识网络】
1．1 不等式的性质
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解不等式的性质及其证明.
二、命题落点
1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例1，例2
2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等..如练习9.
【典例精析】
例1 : 若则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析: 由 知 ab >0, 因此成立;
由 得
由于是减函数, 所以亦成立,故一定不成立的是B．
答案：B．
例2：（2003 北京）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+c>b+d B．a－c>b－d
C．ac>bd D．
解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+D．
答案：A．
例3：（2005 福建）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
解析:不等式的解是x>或x<.
答案：A．
【常见误区】
1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；
2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1．（2004 北京）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2004 湖北) 若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2004 辽宁）对于，给出下列四个不等式 （ ）
① ②
③ ④
其中成立的是 （ ）
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
4. 对“、、是不全相等的正数”，给出下列判断：
①； ②＞与＜及≠中至少有一个成立；
③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．二次函数的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式的解集是_________________．
6．若不等式有且只有一个解，则实数 ．
7．比较大小：与（且）.
8．已知, 求证．
9．定义在上的函数满足: 如果对任意x1, x2∈R, 都有
≤
则称函数 是上的凹函数．
已知二次函数 求证: 当时, 函数是凹函数．
1．2 算术平均数与几何平均数
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
二、命题落点
1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.
2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.
【典例精析】
例1:（2005 全国1）当时，函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
解析：
，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时，
答案：C．
例2：(2005 福建) 下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
解析：A中lgx不满足大于零,C中的最小值为2的x值取不到,D 当x=2时有最大值,选B．
答案：B
例3：（2005 重庆）若 是正数，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
解析：
当且仅当 得时.
答案：C
【常见误区】
1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错；
2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.
【基础演练】
1．(2006 陕西) 已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2004 全国）的最小值为 （ ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
3．已知函数的反函数为则的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
4．函数的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2005全国3）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 .
6．已知正数则满足不等式的实数的取值范围是　　．
7．是否存在常数，使得不等式对任意正实数 、恒成立？证明你的结论．
8．已知，且，求：
（1）的最小值；
（2）若直线与轴，轴分别交于，求面积的最小值.
9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/
小时)需遵循的关系是d≥(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d≥．
（1）当d=时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？
1．3 不等式的证明
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；
2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、命题落点
1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.
2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.
【典例精析】
例1：(2004 江苏)已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和．
（1）证明：，并且不存在，使得；
（2）证明：；
（3）证明：.
解析：（1）任取
和 ②
可知 ，
从而 . 假设有①式知
∴不存在
（2）由 ③
可知 ④
由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
由⑤、⑥代入④式，得
．
（3）由③式可知
（用②式）
（用①式）
例2：(2003 北京) 设是定义在区间上的函数，且满足条件：
①
②对任意的
（1）证明：对任意的
（2）证明：对任意的
（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
解析：（1）由题设条件可知，当时，有
即
（2）对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
由（1）可得，当时，
当
所以，当因此，对任意的
当时，当 时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（3）满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得 又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
例3：正项数列满足．
（1）求及;
（2）　试确定一个正整数N, 使当时, 不等式
>成立;
（3）求证: (1+)<．
解析：（1）(－1)(+1)=0,
又∵ ，故=, ，
==, =, =, …, = ．
（2） 由==－(),
=1+(－)+(－)+ … +(－)=2－
从而有2－>, ∴<, 即n！>121．
∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N时, 原不等式成立.
（3） (1+)展开式通项:
T=C·()=··· … ··<(r=0, 1, 2, 3, …, n)
(1+)<++++ … += .
【常见误区】
1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误；
2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；
3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
【基础演练】
1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （ ）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
2．若x>0，y>0，且恒成立，则a的最小值是 （ ）
A．2 B． C．2 D．1
3．已知则一定有 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知,则 （ ）
A． B． C． D．
5．给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若
且，则，其中真命题的序号为______________．
6．已知两个正数满足，则使不等式≥恒成立的实数m的取值范围
是 ．
7．（1）求证；
（2） 求证
8．已知函数的最大值不大于，又当
（1）求a的值；
（2）设
9．数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
1.4不等式的解法.
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握简单不等式的解法.
二、命题落点
1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；
2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3.
【典例精析】
例1：（2005 重庆）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：∵的解集为，的解集为
∴不等式的解集为
答案：C
例2：（2005 辽宁）若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解析：法一：代特殊值验证
法二：①当，即时，无解；
②当，即时，．
答案:C．
例3：（2005 江西）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设，解关于x的不等式；．
解析：（1）将，得
（2）不等式即为，
即
①当
②当
③．
【常见误区】
1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误；
2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.
【基础演练】
1．(2004 天津) 不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集为则实数a的取值集合为 （ ）
A． B． {1 } C． {a| a>1} D．
3．（2005 辽宁）在Ｒ上定义运算：．若不等式对
任意实数x成立，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知则不等式≤5的解集是 .
6．( 2004 全国)设函数则实数a的取值范围是 ．
7．实系数方程的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求的
取值范围.
8．解关于x的不等式＜0（a∈R）．
9．记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
（1）求A；
（2）若BA, 求实数a的取值范围.
1．5 含有绝对值的不等式
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握绝对值不等式的概念及其性质.
2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.
二、命题落点
1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2；
2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例3.
【典例精析】
例1： (2004 辽宁) 设全集U=R 解关于x的不等式．
解析： 由
当时，解集是R；
当时，解集是
例2:（2005 山东），下列不等式一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：∵ 01，0<1－a<1, ,
∴．
答案: A．
例3：（2005 浙江）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．
（1）求函数g(x)的解析式；
（2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．
解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y),
则即∵点 在函数的图象上,
∴ 故．
（2）由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2-|x-1|≤0．
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解；
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤．
因此，原不等式的解集为[-1,]．
【常见误区】
1．运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误；
2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误.
【基础演练】
1．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于 （ ）
A．8 B．2 C．－4 D．－8
4．若，∈R，则不等式≥的解集为R的充要条件是 （ 　）
A． B． C．且≤ D．且≥
5．不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
6．不等式的解集 .
7．解不等式.
8．设且求证：
9．某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站.在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差;
（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围.
1．6 不等式的应用
【考点透视】
一、考纲指要
1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用
二、命题落点
1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3.
【典例精析】
例1：（2004 广西卷）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
例2：（2004 上海）某单位用木料制作如图5-6-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
解析：由题意得xy+x2=8, ∴y==(0于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+≥=4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时, x≈2.343,y=2≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
例3：某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2004年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解析：（1）由题意可知当
每件产品的销售价格为，
∴2004年的利润
．
（2），
（万元） ．
【常见误区】
1．不能正确建立函数模型从而导致错误；
2．对实际情况考虑不够会产生多解或漏解
【基础演练】
1．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费
标准见下表：（注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）
网 络 月租费 本地话费 长途话费
甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒
乙：移动“神州行” 0.60元/分 0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多
长时间的电话才合算 （　　）
A．300秒 B．400秒 C．500秒 D．600秒
2．一批物品要用11辆汽车从甲地运到360外的乙地.若车速为/时，且车的距离不能少于，则运完这批物品至少需要 （ ）
A．11小时 B．10小时 C．13小时 D．12小时
3．现有一块长轴为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜子中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A．10平方分米 B． 20平方分米 C． 40平方分米 D． 平方分米
4．一种容积规定为500 的圆柱形罐头盒，要使制造罐头盒所用的金属薄板材料最少，这种圆柱的高和半径的比应为 （ ）
A．1∶1 B． 2∶1 C．3∶1 D．3∶2
5．用一张边长为30的正方形纸在它的四个角上剪去一个同样大小的正方形不用，做一个无盖的长方体纸盒，（剪贴处的厚度和损耗不计）则这个纸盒体积的最大值是 .
6．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2的倒置的正四棱锥形有盖容器，设容器高为，盖子边长为.记容器的容积为，当= m时， 有最大 ．
7．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（i）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
（ii）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
8．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
9．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度
a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平
方成反比.
（1）枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷
变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，
用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全
负荷最大？
　
本章测试题
一、选择题：（本题每小题5分，共60分．）
1．已知实数、、满足，，则、、的大小关系是
（ ）
A．≥＞ B．＞≥ C．＞＞ D．＞＞
2．若0A． B．b C．2ab D．a2+b2
3．不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
4．设实数满足, 则的最小值为 （ ）
A． B．4 C．2 D．8
5．若不等式的解集为，则 （ ）
A．-10 B． -14 C． 10 D． 14 6．关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是 （ ）
A．（-∞，-8）∪[0，+∞] B．（-∞，-4）
C．[-8，4] D．（-∞，-8）
7．若，则函数 （ ）
A．有最大值—6 B．有最小值6 C．有最大值—2 D．有最小值2
8．不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知，（a>2），则 （ ）
A．p>q B．p10．设适合不等式，若，,，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有;②对于任意的0≤≤2，都有;③的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题每小题４分，共１６分．）
13．若不等式的解集为或，则 .
14．已知集合，，若，则实数的值为 .
15．已知正数满足，则最大值是 .
16．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，C为斜边，若点在直线 上，则的最小值是 .
三、解答题：（本题共７４分）
17．（本小题满分12分）已知a、b为不等式的正数，且，试将四个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
18．（本小题满分12分）已知 ．
（1）若，求的最小值；
　　（2）若不等式对于一切 恒成立，求实数
的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知a≠0，求证：≥
20．（本小题满分12分）（理）已知函数
（1）判定f(x)的单调性，并证明；
（2）设g(x)=1+loga(x -1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围；
（3）求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4，6]上的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（,为常数,且≥0），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元．
（1）求的值,并求出的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高 最高利润为多少万元
22．（本小题满分14分）△的三个内角、、的对边的长分别为、、，有下列两个条件：（1）、、成等差数列;（2）、、成等比数列.
现给出三个结论：
（1）;
（2）;
（3）.
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
参考答案
1．1 不等式的性质
1.C 2. B 3. D．4. C　5. 6. ．
7.因为且.若，则，所以；若，则，也有．因此.
8．由得由知至少有∴．又∵, ∴　∴ ．
9.因为
，
所以，作差得到
,
即有,
故知函数为凹函数．
1．2 算术平均数与几何平均数
1. B 2. B 3. B 4.A　5. 3 6.
7. 当时，由已知不等式得．下面分两部分给出证明：
⑴先证，此不等式
，此式显然成立；
⑵再证，此不等式
，此式显然成立．
综上可知，存在常数，是对任意的整数题中的不等式成立．
8. （1）；（2）．
9. (1) 由≥av2, 得 0<≤25．
(2) 当≤25时, Q=, Q是v的一次函数，=25，Q最大为，当>25时, Q=≤, ∴当=50时Q最大为.
1．3 不等式的证明
1. B 2. C 3. D 4. B　　5. ② 6.
7. （1）令， 由 知， ．于是，原不等式等价于．一方面，令 ， 则有，当 ，有 从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，则有 ，当时，有，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有 ，即得．
综上可知 　　　．
（2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令 时，不等式 也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得　　
即 　
8．（1）由于的最大值不大于所以 ① 又所以. ②
由①②得
（2）（i）当n=1时，，不等式成立；
因时不等式也成立.
（ii）假设时，不等式成立，
因为的对称轴为知为增函数，
所以由得
于是有
所以当时，不等式也成立.
根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.
9． (1)
2）当时，
=
1．4 不等式的解法
1. A 2. A 3. C 4. A　　5. 6. .
7. 设方程的两个根为由根与系数关系的得
依题意得
8. 原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2．
当a=a2时，a=0或a=1，x∈，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，
当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，
∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈．
9. (1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,∴≤a <1或a≤－2, 故当BA时, 实数 a的取值范围是 (－∞,－2)∪[,1]．
1．5 含有绝对值的不等式
1. D2. D3. C4. D　5. {x|x≥－1} 6.
7. 原不等式
因为
又
.
所以，原不等式组的解集为
8.
9. （1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和.
（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
. （*）
当时，（*）式变形为,
解得 ; 当时，（*）式变形为,
解得 ; 当时，（*）式变形为,
解得.综上所述，的取值范围是[39，]．
1．6 不等式的应用
1. B 2. D 3. C 4. B．　5. 2000 6. ；
7. （1）=.
（2）解不等式 ＞0,得 ＜＜.
∵　， 　∴　3 ≤≤ 17.故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　 ，=10时，
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
8. 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则
=
依题意 ≥，∴0<≤.又140<<420, 70<<210.
(1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;
(2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;
综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.
9. （1）安全负荷为正常数） 翻转
，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
，当且仅当，即取，
取时，u最大， 即安全负荷最大.
本章测试题
一、选择题
1.A 　2.B　 3.B 　4.C 　5.A 　6.A　7.A 　8.A 　9.B 　10.B 　11. A　12.B
二、填空题
13. －2; 14.－2; 15. 1 16. 4
三、解答题
17.．
（1）当时，得，且，
此时．
（2）当时，，得且，
此时．
（3）当时，与题设矛盾.
18. （1）∵　 ，
∴，等号当且仅当，　
　　即时取得．∴的最小值为．
　（2）不等式即为，也就是，
　　令，则在上恒成立，
　　∴，解得.
19. 当|a|≤|b|时，不等式显然成立．当|a|>|b|时，
左=≥≥
=．
20.（1） 由或x>3，任取x1则,
∵ (x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x2)<0，又 (x1-3)(x2+3)>0 且(x1+3)(x2-3)>0
,∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，当00,∴f(x)单调递减.
（2）若f(x)=g(x)有实根，即：．∴
∴ 即方程：有大于3的实根．
（∵ x>3）
．
“=”当且仅当x-3=即下＝3＋2时成立，∴a∈（0，）
（3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x）=,由＝0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1（舍去）．当x∈[4,6]时，h!(x)<0,h(x)单调递减；所以函数h(x)在[4，6]上的最小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2.
21.（1）由，当时，由题意，可得，
所以.
（2）由
．
当且仅当，即时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
22. 可以组建如下命题：
命题一：△中，若、、成等差数列，求证：（1）0＜B≤;（2）；
命题二：△中，若、、成等差数列,求证：（1）0＜B≤;
（2）1＜≤
命题三：△中，若、、成等差数列,求证：（1）;
（2）1＜≤
命题四：△中，若、、成等比数列,
求证：（1）0＜B≤;
（2）1＜≤ ．
证明：（1）∵,,成等差数列∴b=．
∴≥，
且∴0＜≤；
（2）；
（3）．
∵0＜B≤ ，∴， ∴， ∴．
（4）∵、、成等比数列，∴，∴且，∴0＜≤ ．
同加性
传递性
同乘性
对称性
不等式的性质
实数比较大小
不等式的证明
综合法
分析法
比较法
常规方法
特殊方法
换元法
放缩法
判别式法法
反证法
数学归纳法法
解不等式
基本类型不等式的解法
n元均值不等式
绝对值不等式的性质
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
图5-6-1
a
d
l
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3.3 一元二次不等式及其解法 测试题
一． 选择题：
1．如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为空集，那么（ ）
A．a<0,Δ>0 B．a<0,Δ≤0 C．a>0,Δ≤0 D．a>0,Δ≥0
2．不等式（x+2）(1－x)>0的解集是（ ）
A．｛ｘ｜ｘ＜－２或x>1｝ B．｛ｘ｜x<－１或ｘ>２｝
C．｛ｘ｜－2＜ｘ＜1｝ D．｛ｘ｜－１＜ｘ＜２｝
3．设f(x)=x2+bx+1，且f(－1)=f(3)，则f(x)>0的解集是（ ）
A． B．R
C．｛ｘ｜ｘ≠1｝ D．｛ｘ｜ｘ＝1｝
4．已知x满足不等式组：，则平面坐标系中点P（x+2,x-2）所在象限为（　　　　　）
　Ａ．一　　　　　　　　Ｂ．二　　　　　　　　Ｃ．三　　　　　　　　　Ｄ．四
5．不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集为（　　　　　）
　Ａ．｛ｘ｜x≤－1或ｘ≥｝　　　　　Ｂ．　｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝　　　　　　　
Ｃ．｛ｘ｜x≥1或ｘ≤－｝　　　　　Ｄ． ｛ｘ｜－≤ｘ≤1｝
6．设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝，则ab的值是（　　　）
　　Ａ．－6　　　　　　　　　Ｂ．－5　　　　　　　　Ｃ．6　　　　　　　　Ｄ．5
7．已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝，，则a+b＝（　　　　　　）
　　Ａ．7　　　　　　　　　Ｂ．－1　　　　　　　　Ｃ．1　　　　　　　　Ｄ．－7
8．已知集合M＝{x| x2－3x－28≤0}, N={ x2－x－6>0}，则M∩N为（　　　）
　Ａ．｛ｘ|－4≤x<－２或3＜ｘ≤7｝　　　　　　B．｛ｘ｜－4＜ｘ≤－2或3≤ｘ＜7｝
C．｛ｘ｜ｘ≤－２或ｘ＞３｝　　　　　　　　 D．｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ≥３｝
9．不等式组的解集为（ ）
A．（0，） B．（，2） C．（，4） D．（2，4）
10．已知集合M＝｛ｘ|｝，N＝｛ｙ|ｙ＝3ｘ2＋1，ｘ∈Ｒ｝，则M∩N＝（ ）
Ａ． 　　　　　 　Ｂ． {ｘ|ｘ≥１} 　　　Ｃ．｛ｘ|ｘ＞１｝ 　　Ｄ．{ｘ| ｘ≥1或ｘ＜０}
11．设集合, , 则A∩B=（　　　　）
　 A． 　　　 B． 　　　
C． D．
二．填空题：
12．若二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 。
13．若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2－4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝，则Ａ∩Ｂ=_______________________________．
14．关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是 ．
15．不等式（x-2）≥0的解集为________________．
三．解答题：
16．若a2－a+1<0，求使不等式x2+ax+1>2x+a成立的x的取值范围．
17．设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0
求证：（1）a>0，－2<<－1
（2）函数f(x)在（0，1）内有零点。
18．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为（1，3）。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
参考答案：
一、选择题：
1．C解析：只能是开口朝上，最多与x轴一个交点情况∴a>0,Δ≤0；
2．C解析：所给不等式即（x+2）(x-1)<0∴－2＜ｘ＜1
3．C解析：由f(－1)=f(3)知b=-2，∴f(x)=x2－2x+1 ∴f(x)>0的解集是｛ｘ｜ｘ≠1｝
4．C解析：不等式组的解集为x<-6∴x+2<-4,x-2<-8∴点P在第三象限。
5．D
6．C解析：设f(x)= ax2+bx+1，则f(-1)=f()=0∴a=-3,b=-2∴ab=6。
7．D解析：A＝（－∞，－1）∪（3，＋∞）依题意可得，B＝[1，4]∴a=-3,b=-4∴a+b＝－7
8．A
9．C
10．C解析：M＝{x│x>1或x≤0}，N＝{x│x≥1}∴M∩N＝{x│x>1}
11．D解析：A＝{x│x≥2.5或x≤－2}，B＝{x│x≥0或x<－3}∴A∩B＝
二．填空题：
12．(－∞，－2)∪（3，＋∞）解析：两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。
13．{x│214。3-115。4{x│x≥3或x=2或x=-1}解析：等价于x-2=0或x2-2x-3=0或取并集可得{x│x≥3或x=2或x=-1}。
三．解答题：
16．解析：由a2－a+1<0得a∈(,4)，由x2+ax+1>2x+a得x<1-a或x>1∴x≤－3或x>1。
17．解析：（1）∵f(0)>0,f(1)>0∴c>0,3a+2b+c>0再由a+b+c=0,消去b，得a>c>0；消去c，得a+b<0,2a+b>0。故－2<<－1
（2）抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（，）。∵－2<<－1
∴。由于f()===<0而f(0)>0，f(1)>0，所以函数f(x)在（0，）和（，1）内各有一个零点
18．解析：（1）依题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0∴f(x)= a(x-1)(x-3)-2x
由f(x)+6a=0有两个相等的实数根，即方程ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根，∴△＝0∴a=1，a=－∵a<0∴f(x)=。
（2）f(x)= a(x-1)(x-3)-2x=a(x-且a<0∴
∴a的取值范围为。
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3.4 不等式的实际应用 教案
一、教材分析：
前面学生已经学习了一元二次不等式的解法，本节主要是一元二次不等式的实际应用。通过本节课的实例教学，让学生体验不等式在解决实际问题的作用，数学与日常及其他学科的联系。并通过解题过程，抽象出不等式模型，总结出解应用题的思路与步骤。
本节课的内容对于解决线性规划问题提供了很好的解题思路。同时，应用题中不等式模型也是高考经常经常涉及的问题，其地位也就不言而喻了。
二、三维目标：
1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，
2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
三、教学重点和难点：
重点：不等式的实际应用
难点：数学建模
四、教学方法：通过启发、引导、归纳、总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊到一般的认知规律，引导学生分析归纳如何抽象不等式模型及解不等式应用题的一般步骤。
五、教具：多媒体
六、教学过程：
（一）温故知新：
1、比较两实数大小的常用方法
2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0（a>0）的根
ax2+bx+>0（a>0）的解集
ax2+bx+c<0（a>0）的解集
（二）情景引入
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式 ，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。（引出课题）
（三）、典例分析：
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
分析：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙, 若要解决此问题，只需比较t甲，t乙的大小即可
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,由题意得
，
所以 t甲= ， t乙=
所以t甲- t乙=-==
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，即t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
方法二：做商比较。
回归情景：对糖水问题你能给出证明吗？
例2、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？
分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x升
第1次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度
第1次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（）4］，
中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：有学生完成。
2、由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
练习：
1、某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是多少？
2、某工人共加工300个零件。在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务。问改进操作方法前，每天至少要加工多少个零件？
（四）、小结：
知识：
方法：
（五）、作业：课本P83 A 2 B 2
参考答案：
练习：
1．解：设这种书的最高定价应当为x元？
由题意得：[80000-(x-2.5)×20000] ×x≥200000,
解得：，所以最高定价为4元。
2．解：设每天至少要加工x零件？
由题意得：
解得：或，
设每天至少要加工9个零件。
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