上海市嘉定区2019-2020学年九年级上期中数学试题（Word版 含解析）

2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
3．已知、为非零向量，下列判断错误的是（　　）
A．如果＝3，那么∥
B．＝，那么＝或＝
C．的方向不确定，大小为0
D．如果为单位向量且＝﹣2，那么＝2
4．已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列比例式中能够判断AB∥CD的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（　　）
A．5
B．2
C．2
D．4
二、填空题（共12小题，每小题分，满分48分）
7．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为　
　m．
8．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP?AB，如果AB＝2cm，那么BP＝　
　cm．
9．已知△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为　
　cm．
10．如图，已知a∥b∥c，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝　
　．
11．△ABC中，已知点D在边BC上，且BD＝2DC，设，则等于　
　．
12．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是　
　．
13．如图，在△ABC中，DE∥AC，交AB、BC于点D、E，如果S△BDE：S△CDE＝1：3，那么C△DOE：C△AOC的值等于　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为　
　．
15．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，且∠ACD＝∠B，那么＝　
　．
16．如图，矩形ABCD中，点E在边BC上，EF⊥AE交AD于点F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，则FD的长度为　
　．
17．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此时AC的长为　
　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，点D、E分别在边BC、AC上，且BD＝CE，将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，且DF∥AB，则BD的长为　
　．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积．
20．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝　
　，BC＝　
　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出+．（不需要写画法，但需要结论）
22．如图，在△ABC中，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC?BE．
（1）求证：△BCD∽△BDE；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
23．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．
（1）求证：ME2＝MC?MB；
（2）如果BA2＝BD?BE，求证：
24．如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
25．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用比例的性质表示出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵3x＝4y，
∴设x＝4a，则y＝3a，
∴＝，故选项A错误；
＝＝4，故选项B正确；
＝，故选项C错误；
＝，故选项D错误；
故选：B．
2．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
【解答】解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选：D．
3．已知、为非零向量，下列判断错误的是（　　）
A．如果＝3，那么∥
B．＝，那么＝或＝
C．的方向不确定，大小为0
D．如果为单位向量且＝﹣2，那么＝2
【分析】根据平面向量的性质解答．
【解答】解：A、如果＝3，那么两向量是共线向量，则∥，故本选项不符合题意．
B、如果＝，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．
C、的方向不确定，大小为0，故本选项不符合题意．
D、根据向量模的定义知，＝2||＝2，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：A．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；
B．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；
C．由平行线分线段成比例可得，，即，选项正确，
D．由平行线分线段成比例可得，即x＝，选项错误．
故选：C．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列比例式中能够判断AB∥CD的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似，根据相似三角形的对应角相等、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：A、＝，不具备夹角相等，不能证明两个三角形相似，不能得到内错角相等，无法判断AB∥CD；
B、＝，无法判断AB∥CD；
C、＝，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠BAO＝∠CDO，无法判断AB∥CD；
D、＝，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∴AB∥CD；
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE＝2，CF＝3，∠EPF＝90°，则EF的长为（　　）
A．5
B．2
C．2
D．4
【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠CPF＝90°，∠CPF+∠CFP＝90°，
∴∠EPB＝∠CFP，
∴△EPB∽△PFC，
∴＝，
∵PB＝CP，BE＝2，CF＝3，
∴BP＝PC＝，
∴PE＝＝＝，PF＝＝＝，
∴EF＝＝＝5，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
7．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为　100　m．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离．
【解答】解：设AB两地间的实际距离为x，
＝，
解得x＝10000cm＝100m．
故答案为：100m．
8．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP?AB，如果AB＝2cm，那么BP＝　（﹣1）　cm．
【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP＝AB，代入数据即可得出BP的长度．
【解答】解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP?AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，
∴BP＝2×＝（﹣1）cm．
故答案为：（﹣1）．
9．已知△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为　45　cm．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，
∴＝，
∵△ABC的周长为30cm，
∴△DEF的周长为：45cm．
故答案为：45．
10．如图，已知a∥b∥c，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝　10　．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴BD：BE＝AC：AF，
∵AC：CO：OF＝2：1：4，
∴AC：AF＝2：7，
∴BD：BE＝2：7，
∴BD＝BE＝×35＝10，
故答案为10．
11．△ABC中，已知点D在边BC上，且BD＝2DC，设，则等于　　．
【分析】＝，又BD＝2DC，结合平面向量的运算法则，通过一步一步代换即可求出答案．
【解答】解：根据平面向量的运算法则及题给图形可知：
＝＝＝）＝＝．
故答案为：．
12．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是　1：3：5　．
【分析】根据△ADE∽△AFG，得到＝（）2＝，根据△ADE∽△ABC，得到＝（）2＝，计算得到答案．
【解答】解：∵DE∥FG，
∴△ADE∽△AFG，
∴＝（）2＝，
∴S1：S2＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S1：S四边形DBCE＝1：8，
∴S1：S2：S3＝1：3：5，
故答案为：1：3：5．
13．如图，在△ABC中，DE∥AC，交AB、BC于点D、E，如果S△BDE：S△CDE＝1：3，那么C△DOE：C△AOC的值等于　1：4　．
【分析】根据三角形的面积公式得到BE：EC＝1：3，根据△BDE∽△BAC，得到DE：AC＝BE：BC＝1：4，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC＝1：4，
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴C△DOE：C△AOC＝DE：AC＝1：4，
故答案为：1：4．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为　　．
【分析】连接BG并延长交AC于D，如图，利用重心的性质得到BG＝2GD，CD＝AD＝，再证明△BHG∽△BDC，然后利用相似比可计算出GH的长．
【解答】解：连接BG并延长交AC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴BG＝2GD，CD＝AD＝，
∵HG⊥BC，∠C＝90°，
∴GH∥CD，
∴△BHG∽△BDC，
∴＝，即＝，
∴GH＝．
故答案为．
15．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，且∠ACD＝∠B，那么＝　　．
【分析】首先根据∠ACD＝∠B，∠A＝∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到结论．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴＝＝．
∵D是AB的中点，AB＝10，
∴AD＝AB，
∴AC2＝AB?AD＝AB2，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
16．如图，矩形ABCD中，点E在边BC上，EF⊥AE交AD于点F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，则FD的长度为　　．
【分析】首先利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据相似三角形的性质可得＝，代入相应线段的长可得EF的长，再在在Rt△AEF中里利用勾股定理即可算出AF的长，进而得到DF的长．
【解答】解：在△ABE中：AE2＝AB2+BE2，
∵AB＝2，BE＝5，
∴AE＝＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，∠B＝90°，
∴∠EAF＝∠BEA，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∵∠EAF＝∠BEA，∠B＝∠AEF，
∴△ABE∽△FEA，
∴＝，
即＝，
EF＝，
在Rt△AEF中：AF2＝AE2+EF2，
AF2＝（）2+（）2，
解得：AF＝，
∵BC＝7，
∴FD＝7﹣＝，
故答案为：．
17．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此时AC的长为　3　．
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AP＝3，BP＝3，再利用中线的定义和重心的性质得到AE＝CE，PE＝BP＝，然后利用勾股定理计算AE的长，从而得到AC的长．
【解答】解：如图，∵AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝90°，
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝3，
BP＝AP＝3，
∵AF、BE是中线，
∴AE＝CE，点P为△ABC的重心，
∴PE＝BP＝，
在Rt△APE中，AE＝＝，
∴AC＝2AE＝3．
故答案为3．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，点D、E分别在边BC、AC上，且BD＝CE，将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，且DF∥AB，则BD的长为　　．
【分析】根据题意作出草图，根据勾股定理求出AC，根据轴对称的性质可得EF＝CE，根据两直线平行，同位角相等可得∠A＝∠EGF，利用相似三角形对应边成比例列式表示出GE，再表示出CG，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长DF交AC于点G，
，设BD＝CE＝x，
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12，
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，
∴EF＝CE＝x，
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠EGF，
∴△ABC∽△GEF，
∴，
即，
解得GE＝，
∴CG＝GE+CE＝，
∵DF∥AB，
∴，
即，
解得x＝．
即BD＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积．
【分析】（1）证明△DOE∽△COB即可解决问题．
（2）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，＝＝，推出＝，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3，
∴OC＝4，＝，＝，
∴＝，∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴∠ODE＝∠OCB，
∴DE∥BC．
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝＝，
∴＝，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，
∴四边形BCED的面积为3x，
由题意3x﹣x＝2x＝12，
∴x＝6，
∴S△ABC＝4x＝24．
20．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝　135°　，BC＝　2　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出+．（不需要写画法，但需要结论）
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用三角形法则求出即可解决问题，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）如图，延长CD到H，使得＝AG，连接AH．则即为所求．
【解答】解：（1）∵四边形AB平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝2AE，
∴＝＝，∵CE＝8，
∴＝，
∴GE＝4．
（2）∵＝+＝﹣，DE∥BC，DE＝2AE，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝﹣（﹣）＝﹣．
（3）如图，延长CD到H，使得＝AG，连接AH．则即为所求．
∵AE∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴+＝+＝，
∴即为所求．
22．如图，在△ABC中，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC?BE．
（1）求证：△BCD∽△BDE；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
【分析】（1）由BD2＝BC?BE得到＝，则根据直角三角形相似的判定方法可得到结论；
（2）利用射影定理得到BD2＝BE?BA，加上BD2＝BC?BE，则有BA＝BC＝10，再利用射影定理得到AD2＝AE?AB，于是可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，
∵BD2＝BC?BE，
∴＝，
∴△BCD∽△BDE；
（2）解：∵BD2＝BE?BA，BD2＝BC?BE，
∴BA＝BC＝10，
∵AD2＝AE?AB，
∴AE＝＝3.6．
23．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．
（1）求证：ME2＝MC?MB；
（2）如果BA2＝BD?BE，求证：
【分析】（1）证明△AMC∽△BMA即可解决问题．
（2）由△MAC∽△BMA，推出＝，推出＝，推出＝，再证明△BAC∽△BMA，推出＝，推出AB2＝BC?BM，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵DM＝ME，
∴AM＝MD＝ME，
∴∠MAD＝∠MAD，
∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠MAC＝∠B，
∵∠AMC＝∠AMB，
∴△AMC∽△BMA，
∴＝，
∴AM2＝MC?MB，∵ME＝MA，
∴ME2＝MC?MB．
（2）证明：∵△MAC∽△BMA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AB2＝BD?BE，
∴＝，∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BEA，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BMA，
∴＝，
∴AB2＝BC?BM，
∴＝＝．
24．如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标可得出OA的长，利用勾股定理可求出OB的长，结合点B在y轴正半轴上即可得出点B的坐标，由点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC两种情况考虑：①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8），利用相似三角形的性质可求出CP2的长，结合点C的坐标可得出关于m的方程，解之即可得出点P2的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴OB＝＝8．
∵点B在y轴的正半轴，
∴点B的坐标为（0，8）．
设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8．
（2）分两种情况考虑，如图所示．
①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，
当x＝﹣4时，y＝﹣x+8＝，
∴点P1的坐标为（﹣4，）；
②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8）．
∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（﹣4，0），
∴AC＝10．
∵△AOB∽△AP2C，
∴＝，即＝，
∴CP2＝8，
∴＝8，
整理，得：（m﹣4）2＝0，
解得：m＝，
∴点P2的坐标为（，）．
综上所述：点P的坐标为（﹣4，）或（，）．
25．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
【分析】（1）通过证明△AOH∽△ABC，即可判断出，求出OH的长度；
（2）通过证明△AOD∽△ABC，求出AD、PD的长度各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△POD∽QPC，即可推得，据此求出y关于x的函数解析式．并写出函数定义域即可．
（3）根据题意，分两种情况：当OQ∥AC时；当PQ平分∠CQO时；然后根据相似三角形的性质，分类讨论，求出AP长是多少即可．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，
∴△AOH∽△ABC，
∴，
即，
∴OH＝；
（2）如图2，过点O作OD⊥AC，
由（1）可得OD＝，
∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴，
∴AD＝，
∴PD＝x﹣，
∵PQ⊥OP，
∴∠OPD+∠CPQ＝90°，
又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，
∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，
∴△POD∽△QPC，
∴，
∴
∴y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）
（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△CPQ，
∵OQ∥AC，
∴△QOB∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴CQ＝，
∴＝﹣x2+x﹣，
∴x＝，
∴AP＝；
如图4，作PE⊥OQ于点E，
当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△CPQ，
∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，
∴PC＝PE，
∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，
∴∠POQ＝∠DOP，
又∵PD⊥OD，PE⊥OE，
∴PD＝PE，
∴PC＝PD，
即点P为CD的中点，
由AP﹣AD＝AC﹣AP，
∴2AP＝AC+AD＝4+，
∴AP＝，
综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．