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正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的
元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
正弦定理
例题讲解
正弦定理
例题讲解
正弦定理
例题讲解
例3 在 中， ，求
的面积S．
h
A
B
C
三角形面积公式
解：
∴由正弦定理得
正弦定理中的比值常数
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
c
>
B
正弦定理
练习：
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
C
（2）在 中，若 ，则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三有形
D
正弦定理
练习：
（3）在任一 中，求证：
证明：由于正弦定理：令
左边＝
代入左边得：
∴ 等式成立
=右边
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或直角三角形。
利用正弦定理证明“角平分线定理”
三角形面积计算公式正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】
已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.
A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α正弦定理（二）
1.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
2.在△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
3.在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． B． C．或 D． 或
4.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于
6.在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为 .
7.在△ABC中，，则sinA:sinB:sinC=
8、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
9.在△ABC中，若∠A=600，∠B=450，,那么△ABC的面积为 .
10.= .
11.在△ABC中，证明：。
12．在中，已知，判定的形状．
13.在中，，证明为正三角形.
参考答案
正弦定理(二)
1.D;2.C;3.B;4.C;5、600或1200；6.; 7.7:5:3; 8.1::2; 9.;10.;
11.略; 12.等腰三角形或直角三角形;13.略第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；
2.能熟练运用正弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；
2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
【教学重点与难点】：
重点：利用正弦定理解斜三角形
难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.正弦定理：
2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例4）在中，已知，试判断三角形的形状.
例2 （教材例5）在中，是的平分线，用正弦定理证明：．
证明：设，，则，．在和中分别运用正弦定理，得，，又，所以，即．
例3 在中，已知角所对的边分别为，若,（1）求证：；（2）若，试确定形状
例4 在中，分别为三边长，若，（1）求的值；（2）若，求的最大值
例5 （教材例3）某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度(精确到米)．
分析：要求，只要求，为此考虑解．
解：过点作交于，因为，所以，
于是．又，
所以．在中，由正弦定理，得
．
在中，．
答：山的高度约为．
四、巩固深化，反馈矫正
1.在中，，那么一定是________
2.在中，为锐角，，则形状为_______
3.在中，若，则
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
（1）知识总结：
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
