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2.a、b、c成等差数列
2b= a+c
1.{an}为等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
b为a、c 的等差中项
知识回顾
结论归纳:
数列{an}是公差为d 的等差数列。
数列a1,a3,a5,a7,……是公差为 等差数列
数列a2,a4,a6,a8,……是公差为 等差数列
数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为 等差数列
数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,……是公差
为 等差数列
2d
2d
2md
2d
等差数列的性质
1.
2.
3.
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ，d=
am+(n - m) d
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
课本P37. 1, 2. 3 ，4，5，
课堂练习
由练习1可知:对于数列a1,a2,a3,a4,……
观察其规律,可以写出通项公式
例如:数列9,99,999,9999,……观察其规律,
可以写出通项公式
那么:数列1,11,111,1111,……观察其规律,
可以写出通项公式
例 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
例题分析
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数.
已知{an}为等差数列
且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
解：a1=1,
a1=4
a2=5=a1+1
a3=6=a2+1
…………
an=an-1+1 （2≤n≤7）
定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几 项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
Sn-1
∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1
例.已知｛an｝的前 n项和Sn=n2＋n－2 ,求an.
解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1
=n2＋n－2－(n－1)2－(n－1) ＋2
=2n
当n=1时，a1=0
1.若Sn=n2－1，求an
2.若Sn=2n2－3n，求an
在某个活动中，学校为烘托节日气氛，在200米长的校园主干道一侧，从起点开始，每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列，迎风飘扬。问最后一面旗子会插在终点处吗？一共应插多少面旗子？
0
3
6
9
200
……
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？若是，是第几面旗子？
2
5
8
11
80
…
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
n
↓
↓
答：应该插第27面旗子
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100= ；
②前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= .
思考题：如何求下列和？
n(n+1)第三章 数列
一 数列
【考点阐述】
数列．
【考试要求】
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【考题分类】
（一）选择题（共2题）
1.（北京卷理6）．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.（江西卷理5文5）在数列中，， ，则
A． B． C． D．
解析：. ，，…，
（二）填空题（共2题）
1.（北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
2.（四川卷文16）设数列中，，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
（三）解答题（共1题）
1.（福建卷文20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ ···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.§2.2等差数列练习（第1课时）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
3.若，则“”是“成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10.如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12.已知，，求.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10.8
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.第 2 课时：§ 2.1 数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3.理解数列的前项和与的关系；掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．
4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
二、过程与方法
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
三、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列的递推公式的理解与应用；
难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.
2.提问：已知数列满足，能写出这个数列的前5项吗？
思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
二、研探新知
1．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
（2）数列的前项的和
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
（3）与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即注意验证的情况．
证明：显然时 ， 当即时 ，
∴ ∴
注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当时 满足时，则
（4）数列的单调性：
设是由连续的正整数构成的集合，若对于中的每一个都有（或），则数列在内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
① ②
注意：1．求数列的通项公式与求数列的前项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对求导，应先对函数求导，然后再分析的单调性.
3．与的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
变题：已知数列的首项，求出这个数列的第5项.（学生口答）
例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
变题：若数列中，，，且各项满足，则是该数列的第几项？
例3已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即 ∴
∴
变题：若数列中，，且各项满足，写出该数列的前四项．
例4已知数列的前n项和为① ；② 。求数列的通项公式。
解：①当时， 当时，,经检验 时 也适合
②当时， 当时，
∴
思考题：已知数列为，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.
例5 已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式．
解：（1）当时，；
当时，；所以．
（2）因为，且，，所以
说明：由数列的前项和求时，要注意分和讨论，然后将代入所得的通项公式，看结果是否符合的情况，不是则需要写成分段形式．
四、巩固深化，反馈矫正
1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2)＝3, ＝3－2 (n∈N).
(3) ＝1, ＝ (n∈N)；
2.已知数列满足，，写出它的前项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
3.数列的前项和满足，求该数列的通项公式．
4.解答下述问题：（I）数列 ，求数列的通项公式.
（II）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.
五、归纳整理，整体认识
1．递推公式及其用法；递推公式（简单阶差、阶商法）
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3．的定义及与之间的关系，由数列的前项的和求数列的通项公式的过程．
六、承上启下，留下悬念
１．数列中，，，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
２．数列的前项和，求该数列的通项公式．
3．根据数列=1, =+（n≥2）的首项和递推公式，写出它的前五项
七、板书设计（略）
八、课后记：
1.重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
