3.1不等关系
【基础练习】
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为 。
2．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 。
3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t。生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。
【巩固练习】
某次数学测验，共有１６道题，答对一题得６分，答错一题倒扣２分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在６０分以上？列出其中的不等关系。
2．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放４只，则有一鸡无笼可放：若每个笼里放５只，则有一笼无鸡可放。设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼？至多有多少只鸡多少个笼？
3．某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。在这２０名工人中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满足的不等关系．
4．某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等关系．
5．某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．
6．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时受费1.5元；公司B的收费规则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）如图所示.
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．
3.1不等关系参考答案
【基础练习】
3x≥300－60 2.v≤40 3.设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则
【巩固练习】
设至少答对x题，则16x－2(15－x)≥60
，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡。
16×5×（20－x）+24×4x≥1800
98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n－1）×4]＜50n
设租用大卡车x辆，农用车y辆
6.设一次上网时间为xh，选择A公司，费用1.5x(元)；选择B公司，x<17时费用为元，x≥17时为15.3元，所以＞1.5x （0www.课时30 不等关系
目标展示：1.感受现实世界和日常生活中存在的不等关系,会用不等式表示现实生活中的不等 关系
2.了解不等式的基本性质,并能用实数基本关系理论来比较(或证明)两个代数式的 大小关系
重点难点:不等式常见基本性质及应用;永不等式(组)表示不等关系
知识铺垫：不等式的概念和一些基本性质
在数量上刻画实现世界中不等关系的数学模型为不等式
熟悉的一元一次不等式（组）的解集求法回顾：如何求解
实数基本理论及比较大小的依据
____________ ②____________
____________
不等式的一些简单基本性质
____________(传递性)
____________；____________（同向不等式可加）
____________；____________
特别地___________；，______
___________
注：性质利用时，关键要注意成立的条件.如且等
实数比较大小的方法:
基本方法是作差法：作差→变形→判断符号→结论（有时可以作商比较）变形时常考虑配方、因式分解、有理化等方法.
一、 情境和问题（用不等式（组）表示不等关系
(1) 沪宁高速公路全程限速；
(2) 某钢铁厂把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍
(3) 某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票方案？
(4) 某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2 元,则发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内
二、合作研究
用不等式（组）表示不关系是，可选取适当的符号表示变量如时间（t）,距离(d)等，还应准确运用不等符号，如超过（>）,小于，不小于，不大于等.同时还要标明变量的单位和变化范围.如个数,月份等.
试用不等式(组)刻画(1)(2)中的不等关系为:
(1)_____________ (2)__________________
(3)(4)中的问题又如何考虑列式，你能求解吗？
课堂练习 ：（课本练习1，2，3）
三、例题讲解：
例1、试比较下列两式的大小
(1) 和 (2) 与(其中)
(3) 与(其中) (4) 与
例2、判断下列各命题是否成立,并简述理由：
(1)若，则 （2）若，则
(3)若则 （4）若则
例3、设 求：（1）的取值范围；（2）的取值范围
例4、若二次函数图像关于轴对称，且，求的范围.
四、课后反馈
某高速公路对行驶的各种车辆的速度的最大限速为,行使过程中,同一车道上的车间距不得小于10m，用不等式（组）表示为__________________
已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变甜了，根据这个事实，满足的不等关系是__________________
若，则与的大小关系为_______________
已知则与的大小关系为_______________
给出三个不等式：（1）；（2）（3）.其中对一切都成立的不等式有_______________
已知,则的范围为_____________,的范围为________________
已知三个不等式:(1) (2) (3) 以其中两个作为条件,余下的一个作结论,则可组成_______________个正确命题
咖啡馆配置两种饮料.每杯甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9，4，3，每杯乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4，5，5.已知每天用原料为奶粉3600，咖啡2000，糖3000,写出满足上述所有不等关系的不等式.
(08广州高考)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉受到的阻力越来越大,使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的.已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个例子中提炼出一个不等式.
制定投资计划时不仅要考虑到可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大亏损分别为30％和10％.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,请用不等式(组)把此实例中的不等量关系表示出来.
设,比较与的大小
当时.比较与的大小
www.(共6张PPT)
不等关系
生活中我们经常听到类似下面的话，你是怎样了解的？
地球上海洋面积大于陆地面积，铅球的质量比篮球的质量大，……
生活中还有哪些类似的例子可以用不等式来表示？
利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。请你各举一个例子，说明它们的不同。
利用你周围的实物设置情景，并用不等式来表示其中的不等关系。
用不等式来表示三角形中的三边之间的关系。
27纪
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21世纪教育网普通教学资源模版第 1 课时： §3.1 不等关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
二、过程与方法
1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【教学重点与难点】：
重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)下表给出了三种食物,,的维生素含量及成本：
维生素 (单位/kg) 维生素 (单位/kg) 成本(元/kg)
300 700 5
500 100 4
300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素，设,这两种食物各取kg，kg，那么,应满足怎样的关系？
问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二、研探新知
在问题(1)中,设人()买20人的团体票不比普通票贵,则有．
在问题(2)中,设每本杂志价格提高元,则发行量减少万册,杂志社的销售收入为万元．根据题意，得，化简，得．
在问题(3)中,因为食物,分别为kg，kg，故食物为kg，则有 即
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.
总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管根，截得的600mm钢管根．
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：：
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件．
解：满足的条件为．
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例3 比较大小：
（1）与；（2）与（其中，）．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：（1）
∴．
（2），∵，，∴，所以．
说明：不等式（，）在生活中可以找到原型：克糖水中有克糖（），若再添加克糖（），则糖水便甜了．（浓度＝）
例4 已知比较与的大小．
解：
=…………………（*）
①当时，（*）式，所以 ；
②当时，（*）式，所以 ；
③当时，（*）式，所以
说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）比较 的大小；
（2）如果,比较 的大小．
（3）比较和的大小
（4）当、都为正数且时，试比较代数式与的大小
注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
（5）比较与的大小
（6）比较的大小，其中.
（7）比较当时，的大小.
（8）设实数满足的大小关系是_________.
（9）配制两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若两种药至少各配一剂，则两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
五、归纳整理，整体认识
1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法——求差比较法．
六、承上启下，留下悬念
1．比较与的大小；
2．已知且，比较与的大小．
七、板书设计（略）
八、课后记：
