§2.2等差数列练习（第1课时）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
3.若，则“”是“成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10.如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12.已知，，求.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10.8
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
www.第三章 数列
二 等差数列
【考点阐述】
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
【考试要求】
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共8题）
1.（北京卷文7）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【解析】由,
所以【答案】 C
2.（福建卷文3）设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为
A.128 B.80 C.64 D.56
解：因为是等差数列，
3.（广东卷理2）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
【解析】，，故
4.（广东卷文4）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A、2 B、3 C、6 D、7
【解析】,选B.
5.（全国Ⅰ卷理5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
【解析】C. 由；
6.（陕西卷理4文4）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
解：设公差为，则由已知得
7.（天津卷文4）若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：，所以，选B．
8.（重庆卷文1）已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由得：，故选C。
（二）填空题（共7题）
1.（安徽卷文15）在数列在中，，，,其中为常数，则
解：∵∴从而。
∴a=2，，则
2.（海南宁夏卷文13）已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
【标准答案】：１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
【易错点】：对有关性质掌握不到位而出错。
【备考提示】：等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以重点掌握并灵活应用。
3.（湖北卷理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .
解：依题意，所以
4.（四川卷理16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
【解】：∵等差数列的前项和为，且
∴ 即 ∴
∴，，
∴ 故的最大值为，应填
【点评】：此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围；
【突破】：利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键；
5.（重庆卷理14）设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
解： ，
6.（上海春卷5）已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则 .
解析：原设等差数列的公差为d，由a22=a1a5得(1+d)2=1(1+4d)即d2-2d=0解得d=0（舍）或d=2，于是an=1+(n-1)2=2n-1.
7．（四川延考理14文15）设等差数列的前项和为，且。若，则 。
解：，取特殊值
令，所以
（三）解答题（共1题）
1.（海南宁夏卷理17）已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项；
（2）求前n项和的最大值。
解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．
（Ⅱ）．
所以时，取到最大值．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.(共17张PPT)
高一数学备课组
a、b、c成等差数列
2b= a+c
{an}为等差数列
an+1- an=d
an= a1+(n-1) d
b为a、c 的等差中项
知识回顾
更一般的情形，an= ，d=
am+(n - m) d
在等差数列{an}中，由 m+n=p+q,m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
等差数列前n 项和Sn =
= .
=an2+bn
a、b 为常数
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；
②等差数列的前n项和公式类同于 ；
③{an}为等差数列 ，这是一个关于 的
没有 的“ ”
倒序相加法
梯形的面积公式
Sn=an2+bn
n
常数项
二次函数
（ 注意 a 还可以是 0）
课堂练习
课本P41:练习1,2,3,4,
例3、等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8
法一：a 1 + a 1 + 14d = 12
即 a 1 + a 15 = 12
即 a 1 + 7d = 6
∴ a 8 = a 1 + 7d = 6
= 6
归纳：选用中项求等差数列的前 n 项之和 S n
当 n 为奇数时，S n = ____________；
当 n 为偶数时， S n = _______________________。
例4、一个等差数列，共有 10 项，其中奇数项的和为 125，
偶数项的和为 15，求 a 1、d。
法二：相减得 5 d = －110
即 d = －22
归纳：等差数列中，
n 为奇数，必有
________________
n 为偶数，必有
________________
练习
1. 若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1， b2，b3，n的公差为d1和d2，
则 的值是 .
2. 若 ， ，
成等差数列，则x的值为 .
4:3
3.等差数列{an}的首项a1=32，公差d为整数，
若前7项为正数，第7项以后的各项都是负数，
则 d 的值为 .
a8<0
且 a7>0
-5
例. 若两个等差数列{an}与{bn}的前n项和之比为
Sn:S n=(4n+1):(9n+3)，求a20:b20.
解法1 根据题意,可设Sn= kn(4n+1)， S n= kn(9n+3)
当n 2时，an= Sn- Sn-1
，bn= S n- S n-1
解法2
【小结】若两个等差数列{an}与{bn}的前n项和
分别为Sn、S n，则 .
an:bn= S2n -1: S 2n-1
解：∵a6+a15=a9+a12=a1+a20
∴a1+a20=10
∴S20=(1／2)(a1+a20) ×20=100
例4.在等到差数列｛an｝中，a6+a9+a12+a15=20,
求S20
变式：在等差数列｛an｝中
1.已知a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15=_____
－30
2、已知a1+a2+…+a4=40,an+an-1+…an-3=80，Sn=720则n=___
例:某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位
例：教育储畜是一种零存整取定期储畜存款，它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.10/00.
(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元
(2)零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元此时3年后本息合计大约为多少(精确到1元) ●课 题
等差数列的前n项和（二）
●教学目标
（一）教学知识点
等差数列的前n项和公式Sn==na1+d .
（二）能力训练要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
（三）德育渗透目标
提高学生的应用意识.
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式.
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题.
●教学方法
讲练结合法
结合具体例子讲解分析问题，解决问题的方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力.
●教具准备
投影片两张
第一张：
［例1］求集合M=｛m｜m=7n,n∈N*,且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和.
［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗
第二张：
［例3］已知数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.
求证：S6,S12－S6,S18－S12成等差数列，设其k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列吗
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］请同学们回顾一下等差数列的通项公式及前n项和公式.
［生］通项公式：an=a1+（n－1）d,求和公式：Sn==na1+d
Ⅱ.讲授新课
（打出投影片
下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.
［例1］分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.
解：由m＜100,得7n＜100,即n＜
所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为｛an｝,其中a1=7,a14=98，n=14
则S14==735
答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.
这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.
［例2］分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10=310,S20=1220,
将它们代入公式Sn=na1+d，得到
解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6
所以Sn=4n+×6=3n2+n
这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，这个公式是Sn=3n2+n.
下面，同学们再来思考这样一个问题：（打出投影片§3.3.2 B）
［生］仔细分析题意，解决问题.
解：设{an}的首项是a1,公差为d，则S3=a1+a2+a3
S6－S3=a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9d
S9－S6=a7+a8+a9=（a4+3d）+（a5+3d）+（a6+3d）=（a4+a5+a6）+9d=（S6－S3）+9d
∴S3,S6－S3,S9－S6成等差数列.
同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列.
［Sk=a1+a2+…+ak（S2k－Sk）=ak+1+ak+2+…+a2k=（a1+kd）+（a2+kd）+…+（ak+kd）=（a1+a2+…+ak）+k2d=Sk+k2d
（S3k－S2k）=a2k+1+a2k+2+…+a3k=（ak+1+kd）+（ak+2+kd）+…+（a2k+kd）=（ak+1+ak+2+…+a2k）+k2d=（S2k－Sk）+k2d
∴Sk,S2k－Sk,S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.］
Ⅲ.课堂练习
［生］（板演）课本
4.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数，并求这些元素的和.
解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*
∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.
即：集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1,a30=59,n=30的等差数列.
∵Sn=,∴S30==900.
答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.
评述：要注意看清所有的条件.
5.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2？这些数的和是多少？
分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}
解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}
由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.
即：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差数列.
由Sn=,得S33==1650.
答案：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
6.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得S4=24,S5－S2=27
则设等差数列首项为a1,公差为d,
即：
解之得：∴am=3+2（n－1）=2n+1.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要能灵活应用等差数列的通项公式和前n项和公式解决一些相关问题.另外，需注意一重要结论：若一数列为等差数列，则Sk,S2k－Sk,S3k－S2k也成等差数列.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本
2.预习提纲：
（1）什么是等比数列 （2）等比数列的通项公式 （3）等比数列的通项公式的推导过程及推导思路？
●板书设计
课 题例1 复习回顾 an=a1+（n－1）d例2 公式Sn=例3 =na1+d
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
