等比数列测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在等比数列中，，则= ．
1．20×2n-3.提示：q3==8,q=2.an=20×2n-3.
2.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .
2.4. 提示：=×（）n-1,n=4.
3.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
3..提示：由题设知anq2=an+anq,得q=.
4.在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．
4.b=-1.提示：a1=S1=3+b，n≥2时，an=Sn－Sn－1=2×3n－1．
an为等比数列，∴a1适合通项，2×31－1=3+b，∴b=－1．
5.等比数列中，已知，，则=
5.4.提示：∵在等比数列中, ,,也成等比数列,∵，∴.
6.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于 。
6．（1－）.提示：an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=（1－）。
7.等比数列的前项和Sn= .
7. 。提示：公比为，
当，即时，
当，即时，，则.
8. 已知等比数列的首项为8，是其前n项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.
8.；。提示：设等比数列的公比为，若计算正确，则有，但此时，与题设不符,故算错的就是,此时, 由可得,且也正确.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。
9．解：由题设知两式相除得，
代入，可求得或8，
10.设等比数列的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.
解 设的公比为q，由S4=1,S8=17知q≠1,
∴解得或。
∴an=或an=。
11.已知数列是公差为1 的等差数列，数列的前100项的和等于100，求数列的前200项的和。
11.解：由已知，得，，
所以数列是以2为公比的等比数列，设的前n项和为Sn。
则S100==，
S200=== S100=
故数列的前200项的和等于。
12.设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
12.解：（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有．
两式相减，得（）．
又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．
因此，（）；
（Ⅱ）因为，所以．
要使为等比数列，当且仅当，即．
备选题：
1.已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是。
1.。提示：由得。
2．在等比数列中, 若则 =___________.
2. 。提示：。
3.设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由,得
∴ 又,即,得.
(Ⅱ)当n>1时,
得所以是首项,公比为的等比数列.
B组
一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4= 。
1．28提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．
2.三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则 _ 。
2. 。提示：
。
3.在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于 。
3. （4n－1）。提示：由Sn=2n－1，易求得an=2n－1，a1=1，q=2，∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列， a12+a22+…+an2= （4n－1）。
4. 设数列，则=________.
解析
5.已知函数，若方程有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则= 。
5.。提示：设最小的根为，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 ，所以， 解得，。
6.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
十进制 1 2 3 4 5 6 …….
二进制 1 10 11 100 101 110 ……..
观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是
6.63.提示：
于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是。
二．解答题(本大题共2小题，共36分)
7． 数列满足：
（1）记，求证：{dn}是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前n项和Sn。
（1）
又。
故数列的等比数列.
（2）由（1）得
（3）
令 ①
②
－②得
8. 已知关于x的二次方程的两根满足
，且
（1）试用表示 （2）求证：是等比数列
（3）求数列的通项公式 （4）求数列的前n项和
8. 解(1) 的两根
(2)
(3)令
(4)
备选题：
1.数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列。
1. =。提示：
an=a1+（n-1）d cn=c1qn-1
an= cn2=cn-1cn+1
an+am=ap+aq cncm=cpcq （若m+n=p+q，m、n、p、q∈N+）
由此可知，等差数列元素间（或结果）的加减运算对应等比数列相应元素间（或结果）
的乘除运算;倍数运算（（n-1）d ）对应幂的运算（qn-1）；算术平均数对应几何平均数。因此猜想=。
2. 如下图所示是一个计算机程序运行装置示意图，是数据入口，C是计算结果出口，计算过程是：由分别输入正整数m和n,经过计算后得出的正整数k由C输出。此种计算装置完成的计算满足：①若分别输入1，则输出结果为1；②若输入任意固定的正整数，输入的正整数增加1，则输出的结果比原来增加2；③若输入1，输入的正整数增加1，则输出结果为原来的2倍，试问：
(1)若输入1，输入正整数n，输出结果为多少？
(2)若输入1，输入正整数m，输出结果为多少？
(3)若输入正整数m，输入正整数n，输出结果为多少？
m n
2. 解(1)
(2)
(3)
www.第 10课时：§2.3 等比数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前项求和公式解决相关问题，
2.提高学生分析、解决问题能能力。理解这种数列的模型应用．
二、过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
三、情感、态度与价值观
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
【教学重点与难点】：
重点：用等比数列的通项公式和前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）．
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：=（,）
2.等比数列的通项公式: ，
3．性质：①成等比数列G=ab（）
②在等比数列中，若，则
4．等比数列的前项和公式：
∴当时， ① 或 ②
当时，，当已知,,时用公式①；当已知,,时，用公式②.
5.，
6．是等比数列的前项和，
①当且为偶数时，不是等比数列.
②当或为奇数时， 仍成等比数列
二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知：是等比数列的前项和，成等差数列，
求证：成等差数列．
证明：∵成等差数列，∴， 若，则， 由，与题设矛盾，∴,,整理，得，∵，∴，．
∴成等差数列．
例2 已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数。
例3 （教材例4）水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占．国家确定年西部地区退耕土地面积为万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
则（万亩）．
答：从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有万亩．
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例4 某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．
解：设每月应还贷元，付款次数为次，则
，
即，（元）．答：设每月应还贷元．
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材练习第1，2，3题；2. 教材习题第3,7题
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：(共30张PPT)
国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？
左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
情景展示（1）
1844,6744,0737,0955,1615
给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？
猜一猜：
把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！
曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
庄子
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
某种汽车购买时的价格是36万元，每年
的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价
格（单位：万元）。
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
各年汽车的价格组成数列：
1, 3, 5, 7, 9…; (1)
3, 0, -3, -6, … ; (2)
回忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
比较下列数列
共同特点？
从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.
(1)
(2)
(3）
……
……
9，92，93，94，95，96， 97
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
（4）
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
或
其数学表达式：
(q≠0）
问：如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是否是等比数列？为什么？
答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不一定是等比数列。
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.
注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非零常数。
练习
是
不是
是
不是
q =
1、判别下列数列是否为等比数列
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
q =
……
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？
(2)公比q=1时是什么数列？
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：
(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；
(3)
q=1，常数列；
q<0，摆动数列；
例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
解：
解得 a=4或a=-4
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
小 结：
等比数列的概念。
方程的思想。
类比
知识内容
研究方法
思想方法
通项公式
数学式
子表示
定 义
等比数列
等差数列
名 称
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
an+1-an=d
an = a1 +（n-1）d
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示
当n=1时，
（等比数列通项公式）
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是,那么这个等比数列的第 项 如何表示
……
∵
∴
……
猜一猜？
想一想？
证明：
将等式左右两边分别相乘可得：
化简得：
即：
此式对n=1也成立
∵
……
……
……
∴
叠乘法推导
一般形式：
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项：
（2）1.2，2.4，4.8，…
（1） 5，-15，45，…
解得
因此，
例1在等比数列{an}中，已知
求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
巩固 应用
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.
变形 2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.
例题讲解
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？
由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成等比数列，记为
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.
解：
巩固 应用
练一练
１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个？
4
2.已知等比数列的通项公式 ，求首项为（ ）公比为（ ）。
256
3.在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数 等于（ ）
10
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义式
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
归纳：
例题讲解
例３ 已知｛an｝｛bn｝是项数相同的等比数列，试证｛anbn｝是等比数列.
变形1：已知{an}、{bn}为等比数列，c是非零常数，则{can}、{an+c}、{an+bn}是否为等比数列？
变形３：已知{an} 为等比数列，问a10,a20,a30,…是否为等比数列？
变形2：已知{an} 为等比数列，问a2,a4,a6,…是否为等比数列？
等比数列的定义；
等比数列的通式公式及其简单应用：
类比思想的运用；
思考题:
已知数列满足
（1）求证：数列 是等比数列。
（2）求 的通项公式。第三章 数列
三 等比数列
【考点阐述】
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
【考试要求】
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共6题）
1.（福建卷理3）设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（ ）
A.63 B.64 C.127 D.128
解：由及｛an｝是公比为正数得公比，所以
2.（海南宁夏卷理4文8）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
解：
3.（全国Ⅰ卷文7）已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
4.（四川卷理7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；
【解2】：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故选D；
【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；
5.（浙江卷理6）已知是等比数列，，则=
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
数列仍是等比数列:其首项是公比为所以,
6.（浙江卷文4）已知是等比数列，，则公比=
（A） （B） （C）2 （D）
答案：D
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
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