第 13 课时：§3.4.2 基本不等式的应用（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；
3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．
4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
三、情感、态度与价值观
1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
【教学重点与难点】：
重点：（1）根据实际问题，建立恰当的数学模型；（2）能利用基本不等式求出函数的最值．
难点：掌握建立不等式模型解决实际问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例3）过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程．
解：点，，则直线的方程为，∵直线过点，∴，
由基本不等式得：，∴，当且仅当，即时，取“”，
此时的面积取最小值，∴所求直线的方程为，即．
例2 （教材例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？
解：设排版矩形的长和宽分别是，则．
纸张面积为．
当且仅当，即时，取“”，即有最小值，
此时纸张长和宽分别是和．
答：当纸张长和宽分别是和时，纸张的用量最是少．
例3 甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
，所以，函数及其定义域为，；
（2）由题知都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；
若，则当时，全程运输成本最小；
若，当时，有，
∵， ∴，
∴，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小．
综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；
当时，行驶速度应为．
例4 四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状。
解：设，，则
，，
，，
∴
，当且仅当时取“”， ∴的最小值为，此时由得：，即，∴，即四边形是梯形．
例5 如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为，横断面是面积为定值（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长（米）与底宽（米）之比应是多少？
四、巩固深化，反馈矫正
1.过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程．
2.教材练习第3，4题，习题第6，8，9题
五、归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式：，，．
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计
八、课后记：基本不等式
一、知识回顾
1.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
最值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
注意：
前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
2.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
二、基本练习
1、（05福建卷）下列结论正确的是 （ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
2、下列函数中，最小值为2的是 （ ）
A． B．
C． D．
3、设，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
5、若则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、若实数a、b满足 （ ）
A．8 B．4 C． D．
7、函数的值域为 ．
8、已知x>0，y>0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是 ．
若正数满足，则的取值范围是_____________________.
三、例题分析
例1、已知x>0，y>0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．
例2
例3、已知，求函数的最小值。
例4、设，求证：
（1） ； （2）；
（3）≤ （4）()()≥9
（5）≥
例5、（05江苏卷）设数列｛an｝的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且
,
(Ⅱ)求数列｛an｝的通项公式;
(Ⅲ)证明不等式.
四、同步练习 基本不等式
1、若a、b，，则的最小值是（ ）
A） B） C） D）
2、函数的最小值是（ ）
A）24 B）13 C）25 D）26
3、已知α=lgalgb,β=[lg(ab)] ,γ=[lg(a+b)],其中a>0、b>0、a+b<1且a≠b则α、β、γ的大小顺序为（ ）
A) γ<β<α B) γ<α<β C) α<β<γ D) α<γ<β
4、某公司租地建仓库，每月士地占用费y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
5公里处 B) 4公里处 C) 3公里处 D) 2公里处
5、设，则中最大的一个是（ ）
A.a B. b C. c D. 不能确定
6、一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于千米，问这批物资全部运到灾区最少需要____小时.
知x、y，则使恒成立的实数的取值范围是____________.
8、已知且，求的最大值________.
9、设实数,,,满足条件，，求的最大值。
10、若，，是互不相等的正数，求证：
11、已知、、是不全相等的正数，求证：
12、已知a、b、c∈R,求证
答案 ACBAC 7、8. 8、 9、
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.(共39张PPT)
3.4基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
前者只要求a, b都是实数，而后者要
求a, b都是正数.
复习引入
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
小结:
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤
，等号当且仅当a＝b时
成立.
复习引入
小结:
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤
，等号当且仅当a＝b时
成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最
小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定
值，则a＋b≥2
，等号当且仅当a＝b
时成立.
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一个
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，菜园的面积最大.最大面积
是多少？
讲授新课
例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水
池，其容积为4800m3，深为3m.如果池
底每平方米的造价为150元，池壁每平
方米的造价为120元，怎样设计能使总
造价最低？最低总造价是多少？
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
(4)正确写出答案.
归纳:
讲授新课
练习.已知△ABC中，∠ACB=90o，BC=3，
AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是__________.
基本不等式在实际问题中的应用
讲授新课
练习1.
100平方米
15米
讲授新课
练习2.
第一次提价 第二次提价
甲 p% q%
乙 q% p%
丙
丙
讲授新课
练习3.某人购买小汽车,购车费用为10万元,
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元,年维修费是0.2万元,以后逐年递增
0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年
平均费用最少？
10年
3万元
讲授新课
练习4.经过长期观测得到：在交通繁忙的
时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)
与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数
关系为：
(1)该时段内，当汽车的平均速度v为多少
时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内，车流量超过10千辆
/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
例5. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A
P
B
H
b
a
例5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学
生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
如图，为处理含有某杂质的污水，
要制造一底宽为2米的无盖长方体沉
淀箱，污水从A孔流入，处理后从B
孔流出，设箱长 a 米，箱高b米，流
出水中该杂质的质量分数与ab成反
比，现有制箱材料60平方米，问a、
b各为多少，可使流出水的质量分数
最小？(A、B孔面积不计)
题
例
课堂
小结
算术平均数与几何平均数的关系及变形
重点：基本形式与均值定理
涉及三种转化
(和和、和积、实际问题与数学问题)
关键：类比结构，配式转化
应用数学思想
思想：方程与函数思想
数形结合思想
等价转换思想
分类讨论思想等
课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数
与几何平均数的关系顺利解决了函数的一
些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值
得重视的一种方法，但在具体求解时，应
注意考查下列三个条件：
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.
1. 教材P101；
2.《导学案》
课后作业基本不等式
一、填空题：（每小题5分，计50分）
1.若x>0,y>0且，则xy的最小值是 ；
2.若x、y且x+3y=1，则的最大值 ；
3.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
5.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；
6.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项 ；
7.设a，b，a+2b=3 ，则最小值是 ；
8.当x>1时，则y=x+的最小值是 ；
9.已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ；
10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
二、解答题：（12分×3+14分，计50分）
11.在△ABC中，已知A=600，a=4，求△ABC的面积的最大值.
12.已知x＞y＞0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.
13.已知a、b、c都为正数，且不全相等，求证：
14.已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.
参考答案
1.64
2.
3.6
4.4
5.9
6.
7.1+
8.8
9.4
10.20
11.4
12.当且仅当时所求的最小值是8
13.略
14.设
①时，
令，得
故
，（当且仅当时取“＝”号）
所以当时，
②当时，
由①②得，当时，，此时，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
