(共6张PPT)
不等关系
生活中我们经常听到类似下面的话，你是怎样了解的？
地球上海洋面积大于陆地面积，铅球的质量比篮球的质量大，……
生活中还有哪些类似的例子可以用不等式来表示？
利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。请你各举一个例子，说明它们的不同。
利用你周围的实物设置情景，并用不等式来表示其中的不等关系。
用不等式来表示三角形中的三边之间的关系。
27纪
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总 课 题 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 总课时 第32课时
分 课 题 简单的线性规划问题（二） 分课时 第 2 课时
教学目标 能够将实际问题抽象概括为线性问题；培养应用线性规划的知识知识解决实际问题的能力．
重点难点 将实际问题抽象概括为线性规划问题并解决之．
引入新课
1．已知满足，则的最小值是__________．
2．设实数满足，则的最大值是__________．
3．已知满足约束条件，则的最大值是__________．
例题剖析
例1 投资生产产品时，每生产需要资金万元，需场地，可获利润万元；投资生产产品时，每生产需资金万元，需场地，可获利润万元，现某单位可使用资金万元，场地，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送．该公司有辆载重为的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为型车次，型车次．每辆卡车每天往返的成本费型车为元，型车为元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．
巩固练习
1．要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
的小钢板块数如下表示：
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需三种规格的成品分别为，，块，问各截这两种钢板多少张
可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．
课堂小结
将实际问题抽象概括为线性规划问题并解决之．
课后训练
一 基础题
1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每份李子汁加份苹果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得元，生产乙种饮料得元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？
2．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效率如下表示：
轮船运输费(t) 飞机运输费(t)
粮食
石油
现在要在一天内运输吨粮食和吨石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
二 提高题
3．若点满足，求到原点的最小距离．
4．设实数满足不等式组．
（1）求作此不等式组表示的平面区域；
（2）设，求函数的最大值和最小值．
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正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】
例1 已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
1. 已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α
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教 案
课题
一元二次不等式解法(二)
教学目标
（1） 教学知识点
1、 会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.
2、 简单分式不等式求解.
（2） 能力训练要求
1、 通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力.
2、 通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力.
（3） 德育渗透目标
通过问题求解过程，渗透..
教学重点
一元二次不等式求解.
教学难点
将已知不等式等价转化成合理变形式子.
教学方法
创造教学法
为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破.
教学过程
Ⅰ 课题导入
1、 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2、 一元二次不等式的解法.
3、 数形结合思想运用.
Ⅱ 新课讲授
1.一元二次不等式(x+a)(x+b)<0的解法:
首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)<0的特点，以不等式两边来观察.
特点：左边是两个x一次因式的积，右边是0.
思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？
不等式(x+4)(x-1)<0可以实现转化，可转化成一次不等式组：
与
注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.
一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法：
解：将(x+4)(x-1)<0转化为
与
由 x| ={x|-4=
得原不等式的解集是{x|-4步骤：从上可看出一般形式(x+a)(x+b)<0解的步骤：
将所解不等式转化为一次不等式组,求其解集的并集，即为所求不等式的解.
通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法,
[例] 求解下列不等式.
1、 x2-3x-4>0
解：将x2-3x-4>0分解为(x-4)(x+1)>0
转化为 与
由 x|x ={x|-4由 x|x =
原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-1}={x|x<-1或x>4}
2、x(x-2)>8
解：将x(x-2)>8变形为x2-2x-8>0化成积的形式为(x-4)(x+2)>0
x| ={x|x>4}
x| ={x|x<-2}
原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-2} ={x|x<-2或x>4}
说明：问题解决的关键在于通过正确因式分解,将不等号左端化成两个一次因式积的形式.
2.分式不等式 >0的解法
比较 〈0与(x-3)(x+7)<0与的解集
思考： 〈0与(x-3)(x+7)<0的解集，是否相同.
它们都可化为一次不等式组 与
[例5] 解不等式 <0
解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是 >0 ab>0及 <0 ab<0
解：这个不等式解集是不等式组
与 的解集的并集.
由 x ={x|-7x| =
得原不等式的解集是{x|-7由些得出不等式 >0的解法同(x+a)(x+b)>0的解法相同.
[例] 求不等式3+ <0的解集.
解：3+ <0可变形为 <0.
转化为（3x+2）x<0
x| ∪ x|
={x|- Ⅲ 课堂练习：
Ⅳ 课时小结：
1、(x+a)(x+b)<0型不等式转化方法是 与
2、 >0型不等式转化结果:(x+a)(x+b)>0
3、上述两类不等式解法相同之处及关键、 注意点.
Ⅴ 课后作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
x+4>0
x-1<0
x-1<0
x-1<0
x+4<0
x-1>0
x-1<0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x-1<0
x-1<0
x+4<0
x-1>0
x-1<0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x-1<0
x-1<0
x+4<0
x-1>0
x-1<0
x-1<0
x+4<0
x-1>0
x+4>0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x-4>0
x+2>0
x-4<0
x+2<0
x+a
x+b
x-3
x+7
x-3
x+7
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x-3
x+7
a
b
a
b
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x+a
x+b
2
x
2
x
3x+2
x
3x+2<0
x>0
3x+2>0
x<0
2
3
2
3
x+a<0
x+b>0
x+a>0
x+b<0
x+a
x+b
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2.a、b、c成等差数列
2b= a+c
1.{an}为等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
b为a、c 的等差中项
知识回顾
结论归纳:
数列{an}是公差为d 的等差数列。
数列a1,a3,a5,a7,……是公差为 等差数列
数列a2,a4,a6,a8,……是公差为 等差数列
数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为 等差数列
数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,……是公差
为 等差数列
2d
2d
2md
2d
等差数列的性质
1.
2.
3.
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ，d=
am+(n - m) d
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
课本P37. 1, 2. 3 ，4，5，
课堂练习
由练习1可知:对于数列a1,a2,a3,a4,……
观察其规律,可以写出通项公式
例如:数列9,99,999,9999,……观察其规律,
可以写出通项公式
那么:数列1,11,111,1111,……观察其规律,
可以写出通项公式
例 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
例题分析
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数.
已知{an}为等差数列
且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
解：a1=1,
a1=4
a2=5=a1+1
a3=6=a2+1
…………
an=an-1+1 （2≤n≤7）
定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几 项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式
Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an
Sn-1
∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1
例.已知｛an｝的前 n项和Sn=n2＋n－2 ,求an.
解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1
=n2＋n－2－(n－1)2－(n－1) ＋2
=2n
当n=1时，a1=0
1.若Sn=n2－1，求an
2.若Sn=2n2－3n，求an
在某个活动中，学校为烘托节日气氛，在200米长的校园主干道一侧，从起点开始，每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列，迎风飘扬。问最后一面旗子会插在终点处吗？一共应插多少面旗子？
0
3
6
9
200
……
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？若是，是第几面旗子？
2
5
8
11
80
…
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
n
↓
↓
答：应该插第27面旗子
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100= ；
②前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= .
思考题：如何求下列和？
n(n+1)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 13 课时：§3.4.2 基本不等式的应用（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；
3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．
4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
三、情感、态度与价值观
1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
【教学重点与难点】：
重点：（1）根据实际问题，建立恰当的数学模型；（2）能利用基本不等式求出函数的最值．
难点：掌握建立不等式模型解决实际问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例3）过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程．
解：点，，则直线的方程为，∵直线过点，∴，
由基本不等式得：，∴，当且仅当，即时，取“”，
此时的面积取最小值，∴所求直线的方程为，即．
例2 （教材例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？
解：设排版矩形的长和宽分别是，则．
纸张面积为．
当且仅当，即时，取“”，即有最小值，
此时纸张长和宽分别是和．
答：当纸张长和宽分别是和时，纸张的用量最是少．
例3 甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
，所以，函数及其定义域为，；
（2）由题知都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；
若，则当时，全程运输成本最小；
若，当时，有，
∵， ∴，
∴，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小．
综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；
当时，行驶速度应为．
例4 四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状。
解：设，，则
，，
，，
∴
，当且仅当时取“”， ∴的最小值为，此时由得：，即，∴，即四边形是梯形．
例5 如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为，横断面是面积为定值（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长（米）与底宽（米）之比应是多少？
四、巩固深化，反馈矫正
1.过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程．
2.教材练习第3，4题，习题第6，8，9题
五、归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式：，，．
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计
八、课后记：
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基本不等式
一、知识回顾
1.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
最值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
注意：
前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
2.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
二、基本练习
1、（05福建卷）下列结论正确的是 （ ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
2、下列函数中，最小值为2的是 （ ）
A． B．
C． D．
3、设，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
5、若则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、若实数a、b满足 （ ）
A．8 B．4 C． D．
7、函数的值域为 ．
8、已知x>0，y>0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是 ．
若正数满足，则的取值范围是_____________________.
三、例题分析
例1、已知x>0，y>0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．
例2
例3、已知，求函数的最小值。
例4、设，求证：
（1） ； （2）；
（3）≤ （4）()()≥9
（5）≥
例5、（05江苏卷）设数列｛an｝的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且
,
(Ⅱ)求数列｛an｝的通项公式;
(Ⅲ)证明不等式.
四、同步练习 基本不等式
1、若a、b，，则的最小值是（ ）
A） B） C） D）
2、函数的最小值是（ ）
A）24 B）13 C）25 D）26
3、已知α=lgalgb,β=[lg(ab)] ,γ=[lg(a+b)],其中a>0、b>0、a+b<1且a≠b则α、β、γ的大小顺序为（ ）
A) γ<β<α B) γ<α<β C) α<β<γ D) α<γ<β
4、某公司租地建仓库，每月士地占用费y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
A) 5公里处 B) 4公里处 C) 3公里处 D) 2公里处
5、设，则中最大的一个是（ ）
A.a B. b C. c D. 不能确定
6、一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于千米，问这批物资全部运到灾区最少需要____小时.
7、 知x、y，则使恒成立的实数的取值范围是____________.
8、已知且，求的最大值________.
9、设实数,,,满足条件，，求的最大值。
10、若，，是互不相等的正数，求证：
11、已知、、是不全相等的正数，求证：
12、已知a、b、c∈R,求证
答案 ACBAC 7、8. 8、 9、
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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§2.2等差数列练习（第1课时）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
3.若，则“”是“成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10.如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12.已知，，求.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10.8
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
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第三章 数列
三 等比数列
【考点阐述】
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
【考试要求】
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共6题）
1.（福建卷理3）设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（ ）
A.63 B.64 C.127 D.128
解：由及｛an｝是公比为正数得公比，所以
2.（海南宁夏卷理4文8）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
解：
3.（全国Ⅰ卷文7）已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
4.（四川卷理7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；
【解2】：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故选D；
【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；
5.（浙江卷理6）已知是等比数列，，则=
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
数列仍是等比数列:其首项是公比为所以,
6.（浙江卷文4）已知是等比数列，，则公比=
（A） （B） （C）2 （D）
答案：D
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
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第三章 数列
一 数列
【考点阐述】
数列．
【考试要求】
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【考题分类】
（一）选择题（共2题）
1.（北京卷理6）．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.（江西卷理5文5）在数列中，， ，则
A． B． C． D．
解析：. ，，…，
（二）填空题（共2题）
1.（北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
2.（四川卷文16）设数列中，，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
（三）解答题（共1题）
1.（福建卷文20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ ···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的
元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
正弦定理
例题讲解
正弦定理
例题讲解
正弦定理
例题讲解
例3 在 中， ，求
的面积S．
h
A
B
C
三角形面积公式
解：
∴由正弦定理得
正弦定理中的比值常数
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a
c
>
B
正弦定理
练习：
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
C
（2）在 中，若 ，则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三有形
D
正弦定理
练习：
（3）在任一 中，求证：
证明：由于正弦定理：令
左边＝
代入左边得：
∴ 等式成立
=右边
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或直角三角形。
利用正弦定理证明“角平分线定理”
三角形面积计算公式本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
[课题] 正弦定理、余弦定理的应用（1）
[知识摘记]
[例题解析]
例1．为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得
，。设在同一平面内，试求之间的距离？
例 2．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救。求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）？
例3．半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形。问：点在什么位置时，四边形面积最大？
[练习与反思]
书第21页 习题6，7
反思：
[课外作业]
1. 在中，若，则B= 。
2. 在中，若，边的中线，则 。
3．在中，，则 。
4. 山顶上有一座电视塔，在塔顶处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的
俯角。已知塔高，求山高。
5. 某海岛上一观察哨在上午11时测得一轮船在海岛北偏东的处，12时20分测得轮船在海岛北偏西的处，12时40分轮船到达海岛正西方的港口。如果轮船始终匀速前进，求船速。
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国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？
左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
情景展示（1）
1844,6744,0737,0955,1615
给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？
猜一猜：
把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！
曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
庄子
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
某种汽车购买时的价格是36万元，每年
的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价
格（单位：万元）。
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
各年汽车的价格组成数列：
1, 3, 5, 7, 9…; (1)
3, 0, -3, -6, … ; (2)
回忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
比较下列数列
共同特点？
从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.
(1)
(2)
(3）
……
……
9，92，93，94，95，96， 97
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
（4）
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
或
其数学表达式：
(q≠0）
问：如果an+1=anq(n∈N+,q为常数），那么数列{an}是否是等比数列？为什么？
答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若an=0,等式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
所以，如果an+1=anq(n∈N，q为常数），数列{an}不一定是等比数列。
名 称
等差数列
等比数列
定 义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.
注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非零常数。
练习
是
不是
是
不是
q =
1、判别下列数列是否为等比数列
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
q =
……
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？
(2)公比q=1时是什么数列？
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：
(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；
(3)
q=1，常数列；
q<0，摆动数列；
例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
解：
解得 a=4或a=-4
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1
±3
±2
±6
±1
小 结：
等比数列的概念。
方程的思想。
类比
知识内容
研究方法
思想方法
通项公式
数学式
子表示
定 义
等比数列
等差数列
名 称
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
an+1-an=d
an = a1 +（n-1）d
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示
当n=1时，
（等比数列通项公式）
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是,那么这个等比数列的第 项 如何表示
……
∵
∴
……
猜一猜？
想一想？
证明：
将等式左右两边分别相乘可得：
化简得：
即：
此式对n=1也成立
∵
……
……
……
∴
叠乘法推导
一般形式：
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项：
（2）1.2，2.4，4.8，…
（1） 5，-15，45，…
解得
因此，
例1在等比数列{an}中，已知
求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
巩固 应用
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.
变形 2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.
例题讲解
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？
由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成等比数列，记为
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.
解：
巩固 应用
练一练
１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个？
4
2.已知等比数列的通项公式 ，求首项为（ ）公比为（ ）。
256
3.在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数 等于（ ）
10
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义式
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
归纳：
例题讲解
例３ 已知｛an｝｛bn｝是项数相同的等比数列，试证｛anbn｝是等比数列.
变形1：已知{an}、{bn}为等比数列，c是非零常数，则{can}、{an+c}、{an+bn}是否为等比数列？
变形３：已知{an} 为等比数列，问a10,a20,a30,…是否为等比数列？
变形2：已知{an} 为等比数列，问a2,a4,a6,…是否为等比数列？
等比数列的定义；
等比数列的通式公式及其简单应用：
类比思想的运用；
思考题:
已知数列满足
（1）求证：数列 是等比数列。
（2）求 的通项公式。本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
等比数列测试题
A组
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在等比数列中，，则= ．
1．20×2n-3.提示：q3==8,q=2.an=20×2n-3.
2.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .
2.4. 提示：=×（）n-1,n=4.
3.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
3..提示：由题设知anq2=an+anq,得q=.
4.在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．
4.b=-1.提示：a1=S1=3+b，n≥2时，an=Sn－Sn－1=2×3n－1．
an为等比数列，∴a1适合通项，2×31－1=3+b，∴b=－1．
5.等比数列中，已知，，则=
5.4.提示：∵在等比数列中, ,,也成等比数列,∵，∴.
6.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于 。
6．（1－）.提示：an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=（1－）。
7.等比数列的前项和Sn= .
7. 。提示：公比为，
当，即时，
当，即时，，则.
8. 已知等比数列的首项为8，是其前n项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.
8.；。提示：设等比数列的公比为，若计算正确，则有，但此时，与题设不符,故算错的就是,此时, 由可得,且也正确.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。
9．解：由题设知两式相除得，
代入，可求得或8，
10.设等比数列的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.
解 设的公比为q，由S4=1,S8=17知q≠1,
∴解得或。
∴an=或an=。
11.已知数列是公差为1 的等差数列，数列的前100项的和等于100，求数列的前200项的和。
11.解：由已知，得，，
所以数列是以2为公比的等比数列，设的前n项和为Sn。
则S100==，
S200=== S100=
故数列的前200项的和等于。
12.设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
12.解：（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有．
两式相减，得（）．
又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．
因此，（）；
（Ⅱ）因为，所以．
要使为等比数列，当且仅当，即．
备选题：
1.已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是。
1.。提示：由得。
2．在等比数列中, 若则 =___________.
2. 。提示：。
3.设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由,得
∴ 又,即,得.
(Ⅱ)当n>1时,
得所以是首项,公比为的等比数列.
B组
一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4= 。
1．28提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．
2.三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则 _ 。
2. 。提示：
。
3.在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于 。
3. （4n－1）。提示：由Sn=2n－1，易求得an=2n－1，a1=1，q=2，∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列， a12+a22+…+an2= （4n－1）。
4. 设数列，则=________.
解析
5.已知函数，若方程有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则= 。
5.。提示：设最小的根为，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 ，所以， 解得，。
6.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
十进制 1 2 3 4 5 6 …….
二进制 1 10 11 100 101 110 ……..
观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是
6.63.提示：
于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是。
二．解答题(本大题共2小题，共36分)
7． 数列满足：
（1）记，求证：{dn}是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前n项和Sn。
（1）
又。
故数列的等比数列.
（2）由（1）得
（3）
令 ①
②
1 －②得
8. 已知关于x的二次方程的两根满足
，且
（1）试用表示 （2）求证：是等比数列
（3）求数列的通项公式 （4）求数列的前n项和
8. 解(1) 的两根
(2)
(3)令
(4)
备选题：
1.数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列。
1. =。提示：
an=a1+（n-1）d cn=c1qn-1
an= cn2=cn-1cn+1
an+am=ap+aq cncm=cpcq （若m+n=p+q，m、n、p、q∈N+）
由此可知，等差数列元素间（或结果）的加减运算对应等比数列相应元素间（或结果）
的乘除运算;倍数运算（（n-1）d ）对应幂的运算（qn-1）；算术平均数对应几何平均数。因此猜想=。
2. 如下图所示是一个计算机程序运行装置示意图，是数据入口，C是计算结果出口，计算过程是：由分别输入正整数m和n,经过计算后得出的正整数k由C输出。此种计算装置完成的计算满足：①若分别输入1，则输出结果为1；②若输入任意固定的正整数，输入的正整数增加1，则输出的结果比原来增加2；③若输入1，输入的正整数增加1，则输出结果为原来的2倍，试问：
(1)若输入1，输入正整数n，输出结果为多少？
(2)若输入1，输入正整数m，输出结果为多少？
(3)若输入正整数m，输入正整数n，输出结果为多少？
m n
2. 解(1)
(2)
(3)
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第 10课时：§2.3 等比数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前项求和公式解决相关问题，
2.提高学生分析、解决问题能能力。理解这种数列的模型应用．
二、过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
三、情感、态度与价值观
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
【教学重点与难点】：
重点：用等比数列的通项公式和前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）．
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：=（,）
2.等比数列的通项公式: ，
3．性质：①成等比数列G=ab（）
②在等比数列中，若，则
4．等比数列的前项和公式：
∴当时， ① 或 ②
当时，，当已知,,时用公式①；当已知,,时，用公式②.
5.，
6．是等比数列的前项和，
①当且为偶数时，不是等比数列.
②当或为奇数时， 仍成等比数列
二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知：是等比数列的前项和，成等差数列，
求证：成等差数列．
证明：∵成等差数列，∴， 若，则， 由，与题设矛盾，∴,,整理，得，∵，∴，．
∴成等差数列．
例2 已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数。
例3 （教材例4）水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占．国家确定年西部地区退耕土地面积为万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
则（万亩）．
答：从年起到年底，西部地区退耕还林的面积共有万亩．
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例4 某人从年初向银行申请个人住房公积金贷款万元用于购房，贷款的月利率为，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．
解：设每月应还贷元，付款次数为次，则
，
即，（元）．答：设每月应还贷元．
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材练习第1，2，3题；2. 教材习题第3,7题
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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正余弦定理的应用
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边 大边对大角
三角形中的边角关系
例1 在 中，已知 ，求 .
解：由
得
∵ 在 中
∴ A 为锐角
例题分析：
变题：
A
B
C
4
待求角
例题分析：
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小
(2)
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
解（1）
在△ABC中，由余弦定理得
在△ABC中，由正弦定理得
解（2）
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
解（1）
在△ABC中，由余弦定理得
在△ABC中，由正弦定理得
解（2）
法一：
法二：
(04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，已知a,b,c成等比数列，且
(1)求A的大小 (2)
练习：
例3.在△ABC中，
(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
判断△ABC的形状．
例题分析：
分析：
例3.在△ABC中，
(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
判断△ABC的形状．
分析：
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
分析：
思路一：
思路二：
思路三：
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
练习：
思考题：
(06江西)在△ABC中设
命题p:
命题q: △ABC是等边三角形，那么
命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既充分也不必要条件
C
2
“边角互化”是解决三角问题常用的一个策略
结论
1
正弦定理和余弦定理的应用
3
正余定理掌握住
三角地带任漫步
边角转化是关键
正余合璧很精彩
思考题：
1、已知在△ABC中，角A、B、C 的对
边分别为a、b、c . 向量
且
（1）求角C.
（2）若 ，试求 的值.
思考题：
3.在△ABC中，三边a、b、c满足
(a+b+c)(a+b-c)= ab，求tanC．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
基本不等式
一、填空题：（每小题5分，计50分）
1.若x>0,y>0且，则xy的最小值是 ；
2.若x、y且x+3y=1，则的最大值 ；
3.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
5.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；
6.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项 ；
7.设a，b，a+2b=3 ，则最小值是 ；
8.当x>1时，则y=x+的最小值是 ；
9.已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ；
10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.
二、解答题：（12分×3+14分，计50分）
11.在△ABC中，已知A=600，a=4，求△ABC的面积的最大值.
12.已知x＞y＞0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.
13.已知a、b、c都为正数，且不全相等，求证：
14.已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.
参考答案
1.64
2.
3.6
4.4
5.9
6.
7.1+
8.8
9.4
10.20
11.4
12.当且仅当时所求的最小值是8
13.略
14.设
①时，
令，得
故
，（当且仅当时取“＝”号）
所以当时，
②当时，
由①②得，当时，，此时，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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二元一次不等式（组）
与简单的线性规划
1、会根据二元一次不等式（组）确定它所表示的平面区域.
2、能用平面区域表示二元一次不等式（组)，能把平面区域用二元一次不等式(组）表示.
3、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
4、理解线性规划问题的图解法；
5、会利用图解法求线性目标函数的最优解．
学习目标
例1、不等式 所表示的平面区域在直
线 的 （填方向）
分析：同号上，异号下；
注意直线的虚实
例1
例2、已知点 和 在直线 的两侧，
则 的取值范围是
解依题意：必有
即
例2
例3、将图1中的（阴影部分）用不等式表示出来
C
0
A
B
C
例3
例4、实数 满足不等式组 ，则
的取值范围是
分析：
方法：数形结合
的几何意义：
表示过
直线斜率
例4
例5、若 ， 则目标函数 的取值
范围是
解：先画二元一次不等式组表示的平面区域
变形：
要求
表示斜率为-2，
在y轴上的截距为
的直线
的最大(小）值，
即求直线在
轴上的截距的
最大（小）值.
例5
例6、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
例6
解：设每天食用 kg食物A， kg食物B，总花费为 元，
作出约束条件所表示的可行域，如图所示
则目标函数为
满足
约束条件
整理为
目标函数可变形为
作直线
平移经过可行域时
在点M处达到
轴上截距
即此时
有最小值，
当直线
有最小值
解方程组
得点M的坐标为
答：每天需要同时食用食物A约0.143 kg，食物B约0.571 kg，能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.
祝愿同学们
学习愉快！本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.3 .1二元一次不等式表示的平面区域
一、填空题
1． 直线右上方的平面区域可用不等式 表示．
2．若不等式ax+（2a-1）y+1<0表示直线ax+（2a-1）y+1=0的下方区域，则实数a的取值范围为________________________。
3．用三条直线x+2y=2，2x+y=2，x-y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）可用不等式表示为 ．
4．在坐标平面上，不等式所表示的平面区域的面积为 ．
5．已知点P及其关于原点对称点均在不等式表示的平面区域内，则b的取值范围是 ．
三、解答题,
6.不等式|x|+|y|＜3表示的区域内的点的横坐标、纵坐标都是整数的有 个.
7.画出不等式y－2x＋3表示的平面区域
8．不等式|2x-y+m|＜3表示的平面区域包含点（0，0）和（-1，1），求m的取值范围
参考答案
1. x+2y－1>0
2.
3.
4.2
5.
6.13
7.在坐标系内先画出直线y＝－2x＋3，然后判断区域为直线的右上方。（注意包括直线本身）
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3
O
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高一数学备课组
a、b、c成等差数列
2b= a+c
{an}为等差数列
an+1- an=d
an= a1+(n-1) d
b为a、c 的等差中项
知识回顾
更一般的情形，an= ，d=
am+(n - m) d
在等差数列{an}中，由 m+n=p+q,m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
等差数列前n 项和Sn =
= .
=an2+bn
a、b 为常数
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；
②等差数列的前n项和公式类同于 ；
③{an}为等差数列 ，这是一个关于 的
没有 的“ ”
倒序相加法
梯形的面积公式
Sn=an2+bn
n
常数项
二次函数
（ 注意 a 还可以是 0）
课堂练习
课本P41:练习1,2,3,4,
例3、等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8
法一：a 1 + a 1 + 14d = 12
即 a 1 + a 15 = 12
即 a 1 + 7d = 6
∴ a 8 = a 1 + 7d = 6
= 6
归纳：选用中项求等差数列的前 n 项之和 S n
当 n 为奇数时，S n = ____________；
当 n 为偶数时， S n = _______________________。
例4、一个等差数列，共有 10 项，其中奇数项的和为 125，
偶数项的和为 15，求 a 1、d。
法二：相减得 5 d = －110
即 d = －22
归纳：等差数列中，
n 为奇数，必有
________________
n 为偶数，必有
________________
练习
1. 若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1， b2，b3，n的公差为d1和d2，
则 的值是 .
2. 若 ， ，
成等差数列，则x的值为 .
4:3
3.等差数列{an}的首项a1=32，公差d为整数，
若前7项为正数，第7项以后的各项都是负数，
则 d 的值为 .
a8<0
且 a7>0
-5
例. 若两个等差数列{an}与{bn}的前n项和之比为
Sn:S n=(4n+1):(9n+3)，求a20:b20.
解法1 根据题意,可设Sn= kn(4n+1)， S n= kn(9n+3)
当n 2时，an= Sn- Sn-1
，bn= S n- S n-1
解法2
【小结】若两个等差数列{an}与{bn}的前n项和
分别为Sn、S n，则 .
an:bn= S2n -1: S 2n-1
解：∵a6+a15=a9+a12=a1+a20
∴a1+a20=10
∴S20=(1／2)(a1+a20) ×20=100
例4.在等到差数列｛an｝中，a6+a9+a12+a15=20,
求S20
变式：在等差数列｛an｝中
1.已知a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15=_____
－30
2、已知a1+a2+…+a4=40,an+an-1+…an-3=80，Sn=720则n=___
例:某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位
例：教育储畜是一种零存整取定期储畜存款，它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.10/00.
(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元
(2)零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元此时3年后本息合计大约为多少(精确到1元) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.1不等关系
【基础练习】
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为 。
2．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 。
3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t。生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。
【巩固练习】
1． 某次数学测验，共有１６道题，答对一题得６分，答错一题倒扣２分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在６０分以上？列出其中的不等关系。
2．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放４只，则有一鸡无笼可放：若每个笼里放５只，则有一笼无鸡可放。设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼？至多有多少只鸡多少个笼？
3．某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。在这２０名工人中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满足的不等关系．
4．某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等关系．
5．某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．
6．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时受费1.5元；公司B的收费规则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）如图所示.
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．
[
3.1不等关系参考答案
【基础练习】
1． 3x≥300－60 2.v≤40 3.设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则
【巩固练习】
1． 设至少答对x题，则16x－2(15－x)≥60
2． ，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡。
3． 16×5×（20－x）+24×4x≥1800
4． 98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n－1）×4]＜50n
5． 设租用大卡车x辆，农用车y辆
[
6.设一次上网时间为xh，选择A公司，费用1.5x(元)；选择B公司，x<17时费用为元，x≥17时为15.3元，所以＞1.5x （021世纪教育网
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创设情境
数学理论
数学理论
已知b=3，c=1，A=60°，求a.
例题讲解
求A.
例题讲解
用余弦定理证明：在△ABC中，当∠C为锐角时，a2＋b2＞c2；当∠C为锐角时，a2+b2＜c2．
例题讲解
a，b是方程
的两个根，且
求：（1）C的度数；（2）AB的长；(3)面积
例题讲解
课堂训练
课堂训练
课堂训练
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边形ABCD的面积
2.若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段()
A.能组成直角三角形
B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形
D.不能组成三角形
27纪
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课时30 不等关系
目标展示：1.感受现实世界和日常生活中存在的不等关系,会用不等式表示现实生活中的不等 关系
2.了解不等式的基本性质,并能用实数基本关系理论来比较(或证明)两个代数式的 大小关系
重点难点:不等式常见基本性质及应用;永不等式(组)表示不等关系
知识铺垫：不等式的概念和一些基本性质
1. 在数量上刻画实现世界中不等关系的数学模型为不等式
2. 熟悉的一元一次不等式（组）的解集求法回顾：如何求解
3. 实数基本理论及比较大小的依据
1 ____________ ②____________
2 ____________
4. 不等式的一些简单基本性质
(1) ____________(传递性)
(2) ____________；____________（同向不等式可加）
(3) ____________；____________
特别地___________；，______
(4) ___________
注：性质利用时，关键要注意成立的条件.如且等
5. 实数比较大小的方法:
基本方法是作差法：作差→变形→判断符号→结论（有时可以作商比较）变形时常考虑配方、因式分解、有理化等方法.
一、 情境和问题（用不等式（组）表示不等关系
(1) 沪宁高速公路全程限速；
(2) 某钢铁厂把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍
(3) 某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票方案？
(4) 某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2 元,则发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内
二、合作研究
用不等式（组）表示不关系是，可选取适当的符号表示变量如时间（t）,距离(d)等，还应准确运用不等符号，如超过（>）,小于，不小于，不大于等.同时还要标明变量的单位和变化范围.如个数,月份等.
试用不等式(组)刻画(1)(2)中的不等关系为:
(1)_____________ (2)__________________
(3)(4)中的问题又如何考虑列式，你能求解吗？
课堂练习 ：（课本练习1，2，3）
三、例题讲解：
例1、试比较下列两式的大小
(1) 和 (2) 与(其中)
(3) 与(其中) (4) 与
例2、判断下列各命题是否成立,并简述理由：
(1)若，则 （2）若，则
(3)若则 （4）若则
例3、设 求：（1）的取值范围；（2）的取值范围
例4、若二次函数图像关于轴对称，且，求的范围.
四、课后反馈
1. 某高速公路对行驶的各种车辆的速度的最大限速为,行使过程中,同一车道上的车间距不得小于10m，用不等式（组）表示为__________________
2. 已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变甜了，根据这个事实，满足的不等关系是__________________
3. 若，则与的大小关系为_______________
4. 已知则与的大小关系为_______________
5. 给出三个不等式：（1）；（2）（3）.其中对一切都成立的不等式有_______________
6. 已知,则的范围为_____________,的范围为________________
7. 已知三个不等式:(1) (2) (3) 以其中两个作为条件,余下的一个作结论,则可组成_______________个正确命题
8. 咖啡馆配置两种饮料.每杯甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9，4，3，每杯乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4，5，5.已知每天用原料为奶粉3600，咖啡2000，糖3000,写出满足上述所有不等关系的不等式.
9. (08广州高考)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉受到的阻力越来越大,使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的.已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个例子中提炼出一个不等式.
10. 制定投资计划时不仅要考虑到可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大亏损分别为30％和10％.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,请用不等式(组)把此实例中的不等量关系表示出来.
11. 设,比较与的大小
12. 当时.比较与的大小
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[课题] 一元二次不等式（1）
[知识摘记]
[例题解析]
例 1．解下列不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
例 2．当是什么实数时，函数的值是：
（1）0； （2）正数； （3）负数.
[练习与反思]
1. 求解一元二次不等式的步骤是什么？一元二次不等式和相应的二次函数有什么内在的联系？
2．解下列不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
反思：
[课外作业]
1. 不等式的解集为 .
2. 若关于的不等式的解集为，则实数 .
3. 函数的定义域为 .
4. 下列不等式中与同解的是 .
① ② ③ ④.
5. 解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
6. 已知集合，求.
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正弦定理、余弦定理的应用（一）作业
1.在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ）
2. 在△ABC中，
3.海上有两个小岛相距，从岛望所成的视角为，从岛望所成的视角为，试求间的距离。
4.甲船在A处观察到乙船在它的东偏北方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？
5.如图，已知圆内接四边形中，，如何求四边形的面积？
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一元二次不等式与线性规划
一、填空题：（每小题5分，计50分）
1.不等式的解集是 ；
2.点（）在平面区域内，则m的范围是_________________；
3.直线上方平面区域的不等式表示为_______________________；
4.关于x的不等式对一切实数x都成立，则a的范围是 ；
5.点（-2，-1）在直线下方，则m的取值范围为_______________；
6.如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是__；
7.不等式组表示平面区域的面积为____________；
8.关于x的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是 ；
9.已知，则= ；
10.若关于的方程组有实数解,则的取值范围是 .
二.解答题：
11.（12分）关于的不等式的解集为.求关于的不等式的解集.
12.（14分）已知集合,若
.求实数的取值范围.
13.（14分）三个顶点坐标为.①求内任一点所满足的条件；②求最小值,其中是内的整点.
14.（14分）某公司计划2008年在甲,乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲,乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问:该公司如何分配在甲乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元
参考答案
1.[-2，]
2.（-∞,1）∪（2,∞）
3.x-3y+2＞0
4.
5. （-∞,-3）∪（0,∞）
6.-1
7.16
8.（-4，0）
9.[3，4]
10.[- ，]
11. （-∞,-6）∪（4,∞）
12. [1，4]
13.①
②当直线y=x-z经过整点（2，3）时z最小为-1
14.该公司分配在甲乙两个电视台的广告时间分别为100分钟和200分钟时，公司收益最大，最大收益为70万元.
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x
y
0
问题：
0.8
1.2
x
y
0
它的一般形式是
含有一个未知数
并且未知数的最高次数是二次
的不等式叫做一元二次不等式，
思考：
一元二次方程、一元二次不等式与相应的二次函数之间
有什么内在联系
判别式
方程：
的解情况
函数：
的图象
不等式的解集
不等式的解集
a＞0
x
y
o
x1
x2
x
o
x0
y
x
o
y
R
大于取两边
小于取中间
若a<0呢
⊿<0
⊿=0
⊿>0
⊿
方程有两不等
的根
方程有两个相等的实数根
方程无实根
结论:图象法解一元二次不等式的步骤如下：
1.将不等式化为标准形式：
2.判断相应方程的根的情况;
3.画出对应二次函数图象;
4.结合对应图象确定所求不等式的解集.
练习：
-6
1
(-2,2)
[0,4)
课堂小结
3.一种思想方法:数形结合思想、图象法
2.一类关系:三个二次之间的关系
1.一个概念:一元二次方程的概念
作业
课堂作业:书本73页 第1、2题
评价手册P64 1︶5 必做6,7选做(共39张PPT)
3.4基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
复习引入
1．基本不等式：
前者只要求a, b都是实数，而后者要
求a, b都是正数.
复习引入
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
练习
复习引入
小结:
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤
，等号当且仅当a＝b时
成立.
复习引入
小结:
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤
，等号当且仅当a＝b时
成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最
小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定
值，则a＋b≥2
，等号当且仅当a＝b
时成立.
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一个
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，菜园的面积最大.最大面积
是多少？
讲授新课
例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水
池，其容积为4800m3，深为3m.如果池
底每平方米的造价为150元，池壁每平
方米的造价为120元，怎样设计能使总
造价最低？最低总造价是多少？
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
归纳:
讲授新课
用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
(4)正确写出答案.
归纳:
讲授新课
练习.已知△ABC中，∠ACB=90o，BC=3，
AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是__________.
基本不等式在实际问题中的应用
讲授新课
练习1.
100平方米
15米
讲授新课
练习2.
第一次提价 第二次提价
甲 p% q%
乙 q% p%
丙
丙
讲授新课
练习3.某人购买小汽车,购车费用为10万元,
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元,年维修费是0.2万元,以后逐年递增
0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年
平均费用最少？
10年
3万元
讲授新课
练习4.经过长期观测得到：在交通繁忙的
时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)
与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数
关系为：
(1)该时段内，当汽车的平均速度v为多少
时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内，车流量超过10千辆
/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
例5. 如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A
P
B
H
b
a
例5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下
边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学
生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
如图，为处理含有某杂质的污水，
要制造一底宽为2米的无盖长方体沉
淀箱，污水从A孔流入，处理后从B
孔流出，设箱长 a 米，箱高b米，流
出水中该杂质的质量分数与ab成反
比，现有制箱材料60平方米，问a、
b各为多少，可使流出水的质量分数
最小？(A、B孔面积不计)
题
例
课堂
小结
算术平均数与几何平均数的关系及变形
重点：基本形式与均值定理
涉及三种转化
(和和、和积、实际问题与数学问题)
关键：类比结构，配式转化
应用数学思想
思想：方程与函数思想
数形结合思想
等价转换思想
分类讨论思想等
课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数
与几何平均数的关系顺利解决了函数的一
些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值
得重视的一种方法，但在具体求解时，应
注意考查下列三个条件：
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.
1. 教材P101；
2.《导学案》
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[课题] 1.1.1余弦定理(1)
[知识摘记]
1．余弦定理：
(1)， ，
(2) 变形：， ，
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）已知三边，求三个角；
（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
[例题解析]
例1.在中，
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求．
例2. 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得
，求两地之间的距离（精确到）．
例3．用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
练习：在中，已知，试求的大小．
[课外作业]
1．在△ABC中，若，则∠A=
2．三角形三边的比为，则三角形的形状为
3．在△ABC中，，，则的最大值为
4．在△ABC的三内角A、B、C的对应边分别为，，，当时，角B的取值范围为
5．中，若（，则的最小内角为（精确到10）
6．在中，，则B的余弦值为 。
7．△ABC中，BC=10，周长为25，则cosA的最小值是 。
8．在△ABC中，已知，且，b=4，+=8,求，的长。
9．如图：在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=，∠BCD=，求BC的长。
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第 1 课时： §3.1 不等关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
二、过程与方法
1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【教学重点与难点】：
重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)下表给出了三种食物,,的维生素含量及成本：
维生素 (单位/kg) 维生素 (单位/kg) 成本(元/kg)
300 700 5
500 100 4
300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素，设,这两种食物各取kg，kg，那么,应满足怎样的关系？
问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二、研探新知
在问题(1)中,设人()买20人的团体票不比普通票贵,则有．
在问题(2)中,设每本杂志价格提高元,则发行量减少万册,杂志社的销售收入为万元．根据题意，得，化简，得．
在问题(3)中,因为食物,分别为kg，kg，故食物为kg，则有 即
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.
总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管根，截得的600mm钢管根．
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：：
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件．
解：满足的条件为．
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例3 比较大小：
（1）与；（2）与（其中，）．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：（1）
∴．
（2），∵，，∴，所以．
说明：不等式（，）在生活中可以找到原型：克糖水中有克糖（），若再添加克糖（），则糖水便甜了．（浓度＝）
例4 已知比较与的大小．
解：
=…………………（*）
①当时，（*）式，所以 ；
②当时，（*）式，所以 ；
③当时，（*）式，所以
说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）比较 的大小；
（2）如果,比较 的大小．
（3）比较和的大小
（4）当、都为正数且时，试比较代数式与的大小
注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
（5）比较与的大小
（6）比较的大小，其中.
（7）比较当时，的大小.
（8）设实数满足的大小关系是_________.
（9）配制两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若两种药至少各配一剂，则两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
五、归纳整理，整体认识
1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法——求差比较法．
六、承上启下，留下悬念
1．比较与的大小；
2．已知且，比较与的大小．
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第三章 数列
二 等差数列
【考点阐述】
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
【考试要求】
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共8题）
1.（北京卷文7）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【解析】由,
所以【答案】 C
2.（福建卷文3）设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为
A.128 B.80 C.64 D.56
解：因为是等差数列，
3.（广东卷理2）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
【解析】，，故
4.（广东卷文4）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A、2 B、3 C、6 D、7
【解析】,选B.
5.（全国Ⅰ卷理5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
【解析】C. 由；
6.（陕西卷理4文4）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
解：设公差为，则由已知得
7.（天津卷文4）若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：，所以，选B．
8.（重庆卷文1）已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由得：，故选C。
（二）填空题（共7题）
1.（安徽卷文15）在数列在中，，，,其中为常数，则
解：∵∴从而。
∴a=2，，则
2.（海南宁夏卷文13）已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
【标准答案】：１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
【易错点】：对有关性质掌握不到位而出错。
【备考提示】：等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以重点掌握并灵活应用。
3.（湖北卷理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .
解：依题意，所以
4.（四川卷理16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
【解】：∵等差数列的前项和为，且
∴ 即 ∴
∴，，
∴ 故的最大值为，应填
【点评】：此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围；
【突破】：利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键；
5.（重庆卷理14）设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
解： ，
6.（上海春卷5）已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则 .
解析：原设等差数列的公差为d，由a22=a1a5得(1+d)2=1(1+4d)即d2-2d=0解得d=0（舍）或d=2，于是an=1+(n-1)2=2n-1.
7．（四川延考理14文15）设等差数列的前项和为，且。若，则 。
解：，取特殊值
令，所以
（三）解答题（共1题）
1.（海南宁夏卷理17）已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项；
（2）求前n项和的最大值。
解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．
（Ⅱ）．
所以时，取到最大值．
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●课 题
等差数列的前n项和（二）
●教学目标
（一）教学知识点
等差数列的前n项和公式Sn==na1+d .
（二）能力训练要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.
（三）德育渗透目标
提高学生的应用意识.
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式.
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题.
●教学方法
讲练结合法
结合具体例子讲解分析问题，解决问题的方法，从而提高学生分析问题，解决问题的能力.
●教具准备
投影片两张
第一张：
［例1］求集合M=｛m｜m=7n,n∈N*,且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和.
［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗
第二张：
［例3］已知数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.
求证：S6,S12－S6,S18－S12成等差数列，设其k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列吗
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］请同学们回顾一下等差数列的通项公式及前n项和公式.
［生］通项公式：an=a1+（n－1）d,求和公式：Sn==na1+d
Ⅱ.讲授新课
（打出投影片
下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.
［例1］分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.
解：由m＜100,得7n＜100,即n＜
所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为｛an｝,其中a1=7,a14=98，n=14
则S14==735
答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.
这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.
［例2］分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10=310,S20=1220,
将它们代入公式Sn=na1+d，得到
解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6
所以Sn=4n+×6=3n2+n
这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，这个公式是Sn=3n2+n.
下面，同学们再来思考这样一个问题：（打出投影片§3.3.2 B）
［生］仔细分析题意，解决问题.
解：设{an}的首项是a1,公差为d，则S3=a1+a2+a3
S6－S3=a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9d
S9－S6=a7+a8+a9=（a4+3d）+（a5+3d）+（a6+3d）=（a4+a5+a6）+9d=（S6－S3）+9d
∴S3,S6－S3,S9－S6成等差数列.
同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列.
［Sk=a1+a2+…+ak（S2k－Sk）=ak+1+ak+2+…+a2k=（a1+kd）+（a2+kd）+…+（ak+kd）=（a1+a2+…+ak）+k2d=Sk+k2d
（S3k－S2k）=a2k+1+a2k+2+…+a3k=（ak+1+kd）+（ak+2+kd）+…+（a2k+kd）=（ak+1+ak+2+…+a2k）+k2d=（S2k－Sk）+k2d
∴Sk,S2k－Sk,S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.］
Ⅲ.课堂练习
［生］（板演）课本
4.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数，并求这些元素的和.
解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*
∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.
即：集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1,a30=59,n=30的等差数列.
∵Sn=,∴S30==900.
答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.
评述：要注意看清所有的条件.
5.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2？这些数的和是多少？
分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}
解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}
由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.
即：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.
把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.
它们可组成一个以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差数列.
由Sn=,得S33==1650.
答案：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.
6.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得S4=24,S5－S2=27
则设等差数列首项为a1,公差为d,
即：
解之得：∴am=3+2（n－1）=2n+1.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要能灵活应用等差数列的通项公式和前n项和公式解决一些相关问题.另外，需注意一重要结论：若一数列为等差数列，则Sk,S2k－Sk,S3k－S2k也成等差数列.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本
2.预习提纲：
（1）什么是等比数列 （2）等比数列的通项公式 （3）等比数列的通项公式的推导过程及推导思路？
●板书设计
课 题例1 复习回顾 an=a1+（n－1）d例2 公式Sn=例3 =na1+d
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正弦定理、余弦定理的应用（一）
教学目标：
1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；?
2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力??
教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：
2．余弦定理：
，
3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
二、讲解范例：
例1：如图，为了测量河对岸两点间的距离，在河岸这边取点，测得在同一平面内，求之间的距离（精确到）
例2:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间
例3:如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
三．随堂练习
1．已知两地的距离为两地的距离为，现测得，则两地的距离为 （ ）
A. B. C. D.
四．小结
通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
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高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理测试题
一、选择题
1．在中，如果，则满足上述条件的三角形有（ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．0个 Ｄ．无数个
答案：Ｂ
2．在中，，下列四个不等式中不一定正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
3．在中，，，，则边上的高为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
4．在中，，则的周长为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
5．在锐角中，，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．不确定
答案：Ｃ
二、填空题
6．在中，若，，则 ．
答案：
7．已知三角形三边长分别为，则此三角形的最大内角的大小是 ．
答案：
8．已知的三个内角为所对的三边为，若的面积为，则 ．
答案：
三、解答题
9．如图，在四边形中，已知，，，，，求的长．
解：在中，设，
由余弦定理，得，
即，
解得，
所以（舍去），
在中，由正弦定理，得，
所以．
10．如图，在中，已知，点为的三等分点，求的长（精确到0.1）．
解：在中，由余弦定理，
得，
即，
．
解得，（舍），
在中，由正弦定理，得，
．．
在中，由余弦定理，
得，
．
同理：在中求得．
11．在中，求证：．
证明：
，同理可得，，
．
12．在中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
（1）求最大角；
（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解：（1）设三边且，
为钝角，，
，，
，
或3，但时不能构成三角形，应舍去，
当时，，；
（2）设角的两边分别为，
则，
当时，平行四边形面积最大，．
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第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；
2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性
三、情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；
难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.余弦定理的内容？
2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？
2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例6）在中，是边上的中线，求证：
例2 （教材例5）在中，已知，试判断三角形的形状
例3 在中，证明：
例4 已知三角形一个内角为，周长为20，面积为，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正
1．在中，设,，且||,||, ，则
2. 在中，已知，、、分别为角、、所对的边，则的值等于________
3.已知边上的中线，,则
4.已知圆内接四边形中，,求四边形的面积
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课所学的内容及方法
（1）知识总结：
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
1．书面作业
七、板书设计（略）
八、课后记：
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正弦定理（二）
1.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
2.在△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
3.在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． B． C．或 D． 或
4.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于
6.在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为 .
7.在△ABC中，，则sinA:sinB:sinC=
8、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
9.在△ABC中，若∠A=600，∠B=450，,那么△ABC的面积为 .
10.= .
11.在△ABC中，证明：。
12．在中，已知，判定的形状．
13.在中，，证明为正三角形.
参考答案
正弦定理(二)
1.D;2.C;3.B;4.C;5、600或1200；6.; 7.7:5:3; 8.1::2; 9.;10.;
11.略; 12.等腰三角形或直角三角形;13.略
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第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；
2.能熟练运用正弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；
2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
【教学重点与难点】：
重点：利用正弦定理解斜三角形
难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.正弦定理：
2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例4）在中，已知，试判断三角形的形状.
例2 （教材例5）在中，是的平分线，用正弦定理证明：．
证明：设，，则，．在和中分别运用正弦定理，得，，又，所以，即．
例3 在中，已知角所对的边分别为，若,（1）求证：；（2）若，试确定形状
例4 在中，分别为三边长，若，（1）求的值；（2）若，求的最大值
例5 （教材例3）某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度(精确到米)．
分析：要求，只要求，为此考虑解．
解：过点作交于，因为，所以，
于是．又，
所以．在中，由正弦定理，得
．
在中，．
答：山的高度约为．
四、巩固深化，反馈矫正
1.在中，，那么一定是________
2.在中，为锐角，，则形状为_______
3.在中，若，则
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
（1）知识总结：
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
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§2.2等差数列练习（第1课时）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
3.若，则“”是“成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10.如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12.已知，，求.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10.8
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
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第 2 课时：§ 2.1 数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3.理解数列的前项和与的关系；掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．
4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
二、过程与方法
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
三、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列的递推公式的理解与应用；
难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.
2.提问：已知数列满足，能写出这个数列的前5项吗？
思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
二、研探新知
1．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
（2）数列的前项的和
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
（3）与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即注意验证的情况．
证明：显然时 ， 当即时 ，
∴ ∴
注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当时 满足时，则
（4）数列的单调性：
设是由连续的正整数构成的集合，若对于中的每一个都有（或），则数列在内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
① ②
注意：1．求数列的通项公式与求数列的前项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对求导，应先对函数求导，然后再分析的单调性.
3．与的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
变题：已知数列的首项，求出这个数列的第5项.（学生口答）
例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
变题：若数列中，，，且各项满足，则是该数列的第几项？
例3已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即 ∴
∴
变题：若数列中，，且各项满足，写出该数列的前四项．
例4已知数列的前n项和为① ；② 。求数列的通项公式。
解：①当时， 当时，,经检验 时 也适合
②当时， 当时，
∴
思考题：已知数列为，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.
例5 已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式．
解：（1）当时，；
当时，；所以．
（2）因为，且，，所以
说明：由数列的前项和求时，要注意分和讨论，然后将代入所得的通项公式，看结果是否符合的情况，不是则需要写成分段形式．
四、巩固深化，反馈矫正
1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2)＝3, ＝3－2 (n∈N).
(3) ＝1, ＝ (n∈N)；
2.已知数列满足，，写出它的前项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
3.数列的前项和满足，求该数列的通项公式．
4.解答下述问题：（I）数列 ，求数列的通项公式.
（II）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.
五、归纳整理，整体认识
1．递推公式及其用法；递推公式（简单阶差、阶商法）
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3．的定义及与之间的关系，由数列的前项的和求数列的通项公式的过程．
六、承上启下，留下悬念
１．数列中，，，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
２．数列的前项和，求该数列的通项公式．
3．根据数列=1, =+（n≥2）的首项和递推公式，写出它的前五项
七、板书设计（略）
八、课后记：
1.重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
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