沪教版上海九年级数学上册 第24章相似三角形单元测试卷(word 版 含解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版上海九年级数学上册 第24章相似三角形单元测试卷(word 版 含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 306.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-25 08:39:25 | ||
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文档简介
第二十四章
相似三角形
单元测试卷
一、选择题
1．△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．27
B．
12
C．
18
D．
20
2.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=20米，BD=30米，CE=90米，则河宽BC为(
)
A.50米
B.40米
C.60米
D.80米
3.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（
）
A．19
B．17
C．24
D．21
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为，则点P的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
第2题
第4题
第5题
5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(
)
A.增大1.5米
B.减小1.5米
C.增大3.5米
D.减小3.5米
6．如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=6，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为(
)
A.8 B.
C.8或
D.8或9
7.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(
)
①
；
②
；
③
；④CE2=CD×BC；
⑤BE2=AE×BC
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
第6题
第7题
第8题
8．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是
．
10.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC= ．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.
12．如图，在口ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE=
厘米.
13.
如图，口ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则口ABCD的面积为
.(用a的代数式表示)
第12题
第13题
第14题
14.如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为_____.
15．若，，，则用向量、表示________．
16．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
19.
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值.
（1）尝试探究
在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是
，CG和EH的数量关系是
，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若则的值是
（用含的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是
（用含的代数式表示）.
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2．
（1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设，，
求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，
若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
22.
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P,
Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm?．
（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；
（2）当t=_____s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q,
B两点之间（不包括
Q,
B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
答案与解析
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴=，
解得x=18．故选C．
2．【答案】B；
【解析】.
3．【答案】C；
【解析】用相似三角形的对应边的比相等求出其他两边，再求和.
4.【答案】B；
【解析】A到BD的距离为2，故在AB、AD存在P.
5．【答案】D；
【解析】由题意，，
由相似，，
同理，.
6．【答案】C；
【解析】如图，情况分两种：
7．【答案】B；
【解析】②③④成立.
8．【答案】B.
二、填空题
9.【答案】7．
【解析】∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
故答案为：7．
10．【答案】4.8或；
【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
当△ABC∽△PCA时，则
AB：PC=BC：AC，
即10：PC=6：8，
解得：PC=，
当△ABC∽ACP△时，则
AB：AC=BC：PC，
即10：8=6：PC，
解得：PC=4.8．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．
11．【答案】2；1:4；1:6；
【解析】由题意，，且，
，又，
.
12.【答案】3.6；
【解析】△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，
∴=,∴
=,∴DE=3.6厘米.
13.【答案】12a；
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.
14.【答案】；
【解析】，，
(三角形等高，面积比等于底边比)
，
阴影部分的面积与ABCD的面积之比为1：3.
15.【答案】；
16.【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解答题
17.【答案与解析】
（1）；
（2）.
18.【答案与解析】
解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∴E（2，2），或（3，）．
19．【答案与解析】
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
20.【答案与解析】
（1）
(2)
作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF，
∴
∵AB=CD，∴
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，
∴，∴CG=2EH，
∴
（3）.
提示：此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件，所以添加如图3，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有,,两式相比就可得出
21.【答案与解析】
（1）∵∠ACB=900，AB=10，AC=6
∴BC=8
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
∴
∴DE=4
（2）∵FG⊥AB
∴∠BGF=∠BCA=90°
又∵∠B=∠B
∴△BGF∽△BCA
∴
∴）
∴（）
（3）由（1）（2）可得：，
∴，
当∠A=∠CEF时，，解得：；
当∠A=∠CFE时，，解得：
∴当AD的长为或，△AED与△CEF相似．
22.【答案与解析】
（1）∵P,
Q的运动速度都是1cm/s,
∴P,
Q在AB的中点重合．
∴当t=1s时，P,
Q重合．
（2）∵QF‖AC
∴，即，
∴AF=4-2t，
又∵DP‖AF，
∴，即，
.
（3）①当1＜t≤时，如图1、图2.
∵FQ‖BC，
∴，即AF=4-2t，EF=4-3t，
又∵DE‖AB，
∴△FEG∽△FAQ得，，，
EG=，
∴GD=t-()=，
QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2，
S=
②当时，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4-2x.
∴
同理由△CEH∽△CBA可得EH=，HD=；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4
∴S=
=
=.
相似三角形
单元测试卷
一、选择题
1．△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．27
B．
12
C．
18
D．
20
2.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=20米，BD=30米，CE=90米，则河宽BC为(
)
A.50米
B.40米
C.60米
D.80米
3.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（
）
A．19
B．17
C．24
D．21
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为，则点P的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
第2题
第4题
第5题
5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(
)
A.增大1.5米
B.减小1.5米
C.增大3.5米
D.减小3.5米
6．如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=6，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为(
)
A.8 B.
C.8或
D.8或9
7.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(
)
①
；
②
；
③
；④CE2=CD×BC；
⑤BE2=AE×BC
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
第6题
第7题
第8题
8．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是
．
10.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC= ．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的面积之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.
12．如图，在口ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE=
厘米.
13.
如图，口ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则口ABCD的面积为
.(用a的代数式表示)
第12题
第13题
第14题
14.如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为_____.
15．若，，，则用向量、表示________．
16．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
19.
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值.
（1）尝试探究
在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是
，CG和EH的数量关系是
，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若则的值是
（用含的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是
（用含的代数式表示）.
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2．
（1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设，，
求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，
若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
22.
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P,
Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm?．
（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；
（2）当t=_____s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q,
B两点之间（不包括
Q,
B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
答案与解析
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴=，
解得x=18．故选C．
2．【答案】B；
【解析】.
3．【答案】C；
【解析】用相似三角形的对应边的比相等求出其他两边，再求和.
4.【答案】B；
【解析】A到BD的距离为2，故在AB、AD存在P.
5．【答案】D；
【解析】由题意，，
由相似，，
同理，.
6．【答案】C；
【解析】如图，情况分两种：
7．【答案】B；
【解析】②③④成立.
8．【答案】B.
二、填空题
9.【答案】7．
【解析】∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
故答案为：7．
10．【答案】4.8或；
【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
当△ABC∽△PCA时，则
AB：PC=BC：AC，
即10：PC=6：8，
解得：PC=，
当△ABC∽ACP△时，则
AB：AC=BC：PC，
即10：8=6：PC，
解得：PC=4.8．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．
11．【答案】2；1:4；1:6；
【解析】由题意，，且，
，又，
.
12.【答案】3.6；
【解析】△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，
∴=,∴
=,∴DE=3.6厘米.
13.【答案】12a；
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.
14.【答案】；
【解析】，，
(三角形等高，面积比等于底边比)
，
阴影部分的面积与ABCD的面积之比为1：3.
15.【答案】；
16.【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解答题
17.【答案与解析】
（1）；
（2）.
18.【答案与解析】
解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∴E（2，2），或（3，）．
19．【答案与解析】
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
20.【答案与解析】
（1）
(2)
作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF，
∴
∵AB=CD，∴
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，
∴，∴CG=2EH，
∴
（3）.
提示：此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件，所以添加如图3，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有,,两式相比就可得出
21.【答案与解析】
（1）∵∠ACB=900，AB=10，AC=6
∴BC=8
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
∴
∴DE=4
（2）∵FG⊥AB
∴∠BGF=∠BCA=90°
又∵∠B=∠B
∴△BGF∽△BCA
∴
∴）
∴（）
（3）由（1）（2）可得：，
∴，
当∠A=∠CEF时，，解得：；
当∠A=∠CFE时，，解得：
∴当AD的长为或，△AED与△CEF相似．
22.【答案与解析】
（1）∵P,
Q的运动速度都是1cm/s,
∴P,
Q在AB的中点重合．
∴当t=1s时，P,
Q重合．
（2）∵QF‖AC
∴，即，
∴AF=4-2t，
又∵DP‖AF，
∴，即，
.
（3）①当1＜t≤时，如图1、图2.
∵FQ‖BC，
∴，即AF=4-2t，EF=4-3t，
又∵DE‖AB，
∴△FEG∽△FAQ得，，，
EG=，
∴GD=t-()=，
QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2，
S=
②当时，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4-2x.
∴
同理由△CEH∽△CBA可得EH=，HD=；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4
∴S=
=
=.